數(shù)列求和7種方法(方法全,例子多)

1、數(shù)列求和的基本方法和技巧（配以相應(yīng)的練習(xí)）一、總論：數(shù)列求和7種方法：利用等差、等比數(shù)列求和公式錯(cuò)位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項(xiàng)消去法求和分段求和法（合并法求和）利用數(shù)列通項(xiàng)法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和方法是錯(cuò)位相減三、逆序相加法、錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和的二個(gè)基本方法。數(shù)列是爲(wèi)中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在鬲考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的地 位.數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要 一定的技巧.下面，就幾個(gè)歷屆鬲考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題來(lái)談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和

2、利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.等差數(shù)列求和公式：s” =巴匸12（廠1）等比數(shù)列求和公式：=1一§一必1一§（§工1）S” =工£ =才心+ 1）例1已纟dlog, x =,求x + x2 +x3 + /"+的前n項(xiàng)#口.log 2 3-11解：由 log3 X =-=> log3 A =-log. 2 => X =- log 2 32（利用常用公式丿由等比數(shù)列求和公式得S" =«¥ + +X+ + X”丄(1-丄) x(-xn)_2 h 2S例2設(shè)&=1 + 2 +

3、3+ n, nGN求/G) =的最大值.G + 32)St解：由等差數(shù)列求和公式得sn =177（/7 + 1）, S” =丄（"+ 1）（ + 2）（利用常用公式）2 2皿?T 771 =1 V 丄” + 34 + 嚴(yán)(亦-2)2+50 50當(dāng) 亦一備，即n=8時(shí),/（«）max =傘-1題1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=2n- 1,則旬+勺+勺+-+*=3題2若 12+22+-+(f7-1)2=n34-bn+c/7,則滬i. i.i 答案：3 2?6。2-1）旳（2- 1） _ 2 - 3泥2 ¥譏解：原式二二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

4、時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列a. M 的前n項(xiàng)和，其中a.、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3/ 求和：S” = + 3x + 5x2 + 73 + +（2/? _ ）x解：由題可知， （2舁一1）兀心的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n- 1 的通項(xiàng)與等比數(shù)列pi 的通項(xiàng)之積3 殳 xSn =lx + 3x2 + 5x3 + 7/4 + +（2n _ ）xtl （設(shè)制錯(cuò)位）一得 （l-x）S = l + 2x +2x2 + 2x3 +2x4 + + 2*“ 一（2一l）x"（錯(cuò)位相沁再利用等比數(shù)列的求和公式得：（1 一 x）Sn = 1 + 2x 1 V-? - l）x"1-

5、x(2/1- l)x" - (2/1 + )xn + (1 + x)(1-x)2Sn =29前n項(xiàng)的和.T2 46例4求數(shù)列一,2 223解：由題可知, 的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列 的通項(xiàng)之積 2"T“2 462n2 2 22"1.2462n ，*7* | *4* ，2 n22 23 24位）+ +2"i練習(xí)題1金 2 r 1、G222222/7-甸（1-必飛+尹+去+尹+歹-矛r =2_丄_空2心 2"利c , n + 2S”=4_-已知%=八2,求數(shù)列日訂的飾項(xiàng)和s“.（設(shè)制錯(cuò)（錯(cuò)位相減）再把它與原（反= 詁一卜2。 2】2心=佔(zhàn)

6、 一 2” +11 352必-1練習(xí)題2的前* n項(xiàng)和為三. 反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序）, 數(shù)列相加,就可以得到n個(gè)（如+心）例刃求證：c： + 3C* + 5C； + + （2n + 1）C； = （n + 1）2H證明：設(shè)S“ =C,；+3C；+5C；+ （2n + l）C； 把式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得 S” =? + 1）C； + ? - 1）C；-* + + 3C* + C；序）又由C；： = c;：f可得S” = (2n + 1)U + (2n 一 1)C： + + 3C；J + C：.+得 2S “ =? + 2)(C： +

7、C： + + C：J + C；) = 2(/t +1) 2W加) S=S + 1)2(反序相例6求 sin21° +sin2 2° +sin2 3° +- + sin2 88° +sin2 89c 的值解：設(shè) S = sin2V +sin22° +sin23° + + sin2 88° + sin2 89°將式右邊反序得S= sin2 89°+sin2 88° + + sin23° +sin2 2*+sin21°.序)又因?yàn)?sinx = cos(90° -x),s

8、in2 x + cos2 x = 1 + (反序相加)(反2S = (sin2l° +cos2 r)+ (siii22° + cos? 2°) + + (sin? 89° +cos2 89°) =89S二44. 5“)二已知函數(shù)證明：“)+人1-滬1;110丿r o 110丿110丿的值.(2)求解：(1)先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，后證明左邊=右邊(2)利用第(1 )小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，°=/沁、= = /110丿丿帀丿則S*兩式相加得:2S = 9xr+/9 H1©S=-所以 2I2_5* 4-_-J-JL 練習(xí)

9、.求值：12+10222+9232 +82102+?2232四、分組法求和有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差.等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例7求數(shù)列的前n項(xiàng)和：1 + 1,丄+ 4,亠+ 7,，丄+ 3并一2, a a2i 嚴(yán)解:設(shè)S =（1 + 1） + （丄+ 4） + （丄+ 7） + （點(diǎn) + 3并一2）acra將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得= （1 + 丄 + 丄 + + ） + （1 + 4 + 7 + + 3n-2） a a2”+ +組）當(dāng)冷時(shí)，s”F+竺嘰i2（分組求和）丄p ，丄廠an(3n -1)/7 a-an

10、(3n -l)n當(dāng) oHl 時(shí)，Sn =一 + =+" 1 2 6/-1 2a例8求數(shù)列n（n+ 1）（2n+1）的前n項(xiàng)和.解：設(shè)=心 + 1)(2« + 1) = 2宀3宀&；s” = ° 伙 + l)(2k + 1)=工(2 宀 3宀燈將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得2工疋+3+工kk（分組）=2(13+23 +- + n3)+3(l2+22 + - + n2)+(l+2+ + «)；72(72 +1)2 + n(n +1)(2 +1) + n(n +1)（分組求和）n（n + l） + y/2,y2, + y/3yfn + Q IT + 1(裂

11、項(xiàng)求和)=(y/2 - >/) + (V3 - y/2) + + (y/n + 1 - yjn)=Vn+T-1 12 210在數(shù)列 an中，=+ - + + ,又仇=-，求數(shù)列bn的前"n項(xiàng)的和n + 1/7 + 1n + % a（n + 2）2五.裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng),最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如:(1)an =/(« +0-/00sin lc(2)= tan(n + l)c tan ncos7?"cos(/? + l)° U，'

12、; = n(n+ 1) n n + 1分川十丄(丄)"?-1)(2“+ 1)2 2n -1 2n + nn - 1X« + 2)2' n(n + ) (n +1)(/? + 2)z 、n + 212(n + l)-n(6)廠 U，t (An + B)(An + C) C-B( An + B An+ C(8) an = =" j= Jn + 1 -長(zhǎng)例9求數(shù)列111 + V2'V2 + V3yn + J" + 1，的祈n項(xiàng)和.解：設(shè) an =；=Vn + I _ 4n(裂/n +y/n + 口+i項(xiàng))解:（裂項(xiàng)）/.數(shù)列b的前n項(xiàng)和S “

13、=8(1 丄)+ (丄一丄)+ (丄一丄)+ (丄一丄) 22334n n + 1 8/?= 8(1)H + l/2 + 1例11 求證：+cosO° cosl0 cosT cos2°+ +項(xiàng)）b>l=T/z + l（裂項(xiàng)求和）解：設(shè)3 =+cosO° cosT cosl° cos2c+ +sin lc=tan(n + l)° - tan/z° cos/0 cos(w + l)ccosTcos88° cos89° sin21°cos88° cos89°（裂S = ：7 +；cos

14、(T cosf cosf cos2°=!(tanT - tan0°) + (tan2° - tanT) + (tan3c - tan2°) + tan89° -tan883) sin lc+ +cos88° cos89°（裂項(xiàng)求和）1 Zn nan =+hf=n +1 n +1 n + 2=!(tan89° - tan0c) = !cotr= C°Vsmlsin 1sin 1原等式成立1 1 1b1h =練習(xí)題 1 1乂44x7(3- 2)x(3+ 1)答案：知十111 1 + +練習(xí)題2。24'

15、3®5 ' 4"14-1 1 答案：臥23總+ 2«+3>(«+!)(«+3)=六、分段求和法（合并法求和）針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一是就具有菜種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一是先求和，然后再求S.例 12 求 c o s 1 c + c o s 2 J + co s 3° + + cos178" + cos1 7 9 " 解：設(shè)Sn= cos1 ” + c os2° + c o s3° + + cos1 78c + cos 179°: co

16、s if =-cos(180° n°)質(zhì)項(xiàng)):.S n= (cos10 + cos 179° ) + ( c os2° + cos178° )+ (cos3° + (co s 89 ° + cos910 )+ cos90c并求和)=0例 13 數(shù)列an: ax = .a2 = 3,a3 = 2yan2 =-an ,求 S2002.解：設(shè)S2O32= “ + G? +幻+他由=1, a2 =3, a3 = 2, at2 = % 一 an 可得5=_1, y=_3,心=_2,如=1,心=3, q>=2,絢0=-1,如=一3

17、, %=_2,如=1，6知 2 =3, “6 知3 =2, “6知4=一1，“625 = 一玄如6 = 一2T a6kl + “6 如 2 + “6 文+3 + "6Z + “6人+5 + "從+6 = °項(xiàng))S2002=Cl + '(合并求和)=(| +。2 +如 +也6)+(么7 +“8 +“2)+ +(d6E +6*+2d F (1993 + 1994 * "1998)+ 1999 + “2000 + 2(X)1 + °2002=|999 + “2000 + 2001 + “2002=a6kt- + a6kf2 + "6

18、*+3 + af>k4=5ZW 14在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若條=9,求log3 +log3 a2 + + log ：Sn =log3“ +log3«2 +- +由等比數(shù)列的性質(zhì) m + = + §=> aman = apaq的值.(找特殊性+ c os177° ) + (找特殊性質(zhì)“2 + 3 + + “2002+ + %")«|0的值.（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)logn M +logn N = logM N 得Sn = （bg3 絢 +10g3"】（）+（10g3“2 + bg3 «9） + + （

19、k）g3+log3«6） （合并求和）= (10g3 -«10) + (log3«2 5)+ (1003色心=logg 9 + logs 9 + + log3 9=10練習(xí)、求和：（"1） +（宀 2）+（*3）i + （練習(xí)題1設(shè)S廠1亠3-5亠7-亠（-1廣帥1）,則£ =答案:2(7”巴練習(xí)題2若$口一2+3-4+(-1)小門(mén)，則S+S33+ S5o等于A. 1B. 一 1C. 0解：對(duì)前n項(xiàng)和要分奇偶分別解決，即：$=叱位為奇）2-空（刃為偶）2答案：A練習(xí)題 3100 -992+ 982-972+-+22-12的值是A. 5000B.

20、 5050C 10100解：并項(xiàng)求和，每?jī)身?xiàng)合并，原式=(100+99)+ (98 + 97) +-+(2+1) = 5050.答案：BD.20200七.利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)掲示的規(guī)律來(lái) 求數(shù)列的前項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.例 15 求 1 + 11 + 111 + 111I 之和. 刃個(gè)1解：由于 111-.1 = 1x999 9 =丄(10* -1)'_V_z 9 v 9川1丁陽(yáng)7 1 + 11 + 111 + 1111"個(gè)I=1(10, -1) + 1(102 -1) + 1(103-1) + + 丄(10" -1)9999（找通項(xiàng)及特征）（分組求和）nM=£ (1(V +