初三數(shù)學壓軸題訓練

1、一、解答題（共8小題）1（2012隨州）一列快車由甲地開往乙地，一列慢車由乙地開往甲地，兩車同時出發(fā)，勻速運動，快車離乙地的路程y1（km）與行使的時間x（h）之間的函數(shù)關系，如圖中AB所示；慢車離乙地的路程y2（km）與行使的時間x（h）之間的函數(shù)關系，如圖中線段OC所示，根據圖象進行以下研究解讀信息：（1）甲，乙兩地之間的距離為_km；（2）線段AB的解析式為_；線段OC的解析式為_；問題解決：（3）設快，慢車之間的距離為y（km），求y與慢車行駛時間x（h）的函數(shù)關系式，并畫出函數(shù)圖象2（2012沈陽）已知，如圖，MON=60°，點A，B為射線OM，ON上的動點（點A，B不與點

2、O重合），且AB=4，在MON的內部，AOB的外部有一點P，且AP=BP，APB=120°（1）求AP的長；（2）求證：點P在MON的平分線上（3）如圖，點C，D，E，F(xiàn)分別是四邊形AOBP的邊AO，OB，BP，PA的中點，連接CD，DE，EF，F(xiàn)C，OP當ABOP時，請直接寫出四邊形CDEF的周長的值；若四邊形CDEF的周長用t表示，請直接寫出t的取值范圍3（2012濰坊）如圖，已知平行四邊形ABCD，過A點作AMBC于M，交BD于E，過C點作CNAD于N，交BD于F，連接AF、CE（1）求證：四邊形AECF為平行四邊形；（2）當AECF為菱形，M點為BC的中點時，求AB：AE的值

3、4（2012云南）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+2交x軸于點P，交y軸于點A拋物線y=x2+bx+c的圖象過點E（1，0），并與直線相交于A、B兩點（1）求拋物線的解析式（關系式）；（2）過點A作ACAB交x軸于點C，求點C的坐標；（3）除點C外，在坐標軸上是否存在點M，使得MAB是直角三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由5（2012南通）菱形ABCD中，B=60°，點E在邊BC上，點F在邊CD上（1）如圖1，若E是BC的中點，AEF=60°，求證：BE=DF；（2）如圖2，若EAF=60°，求證：AEF是等邊三角形6（2012溫州）溫州

4、享有“中國筆都”之稱，其產品暢銷全球，某制筆企業(yè)欲將n件產品運往A，B，C三地銷售，要求運往C地的件數(shù)是運往A地件數(shù)的2倍，各地的運費如圖所示設安排x件產品運往A地（1）當n=200時，根據信息填表：A地B地C地合計產品件數(shù)（件）x2x200運費（元）30x2 若運往B地的件數(shù)不多于運往C地的件數(shù)，總運費不超過4000元，則有哪幾種運輸方案？（2）若總運費為5800元，求n的最小值7（2012山西）問題情境：將一副直角三角板（RtABC和RtDEF）按圖1所示的方式擺放，其中ACB=90°，CA=CB，F(xiàn)DE=90°，O是AB的中點，點D與點O重合，DFAC于點M，DEBC

5、于點N，試判斷線段OM與ON的數(shù)量關系，并說明理由探究展示：小宇同學展示出如下正確的解法：解：OM=ON，證明如下：連接CO，則CO是AB邊上中線，CA=CB，CO是ACB的角平分線（依據1）OMAC，ONBC，OM=ON（依據2）反思交流：（1）上述證明過程中的“依據1”和“依據2”分別是指：依據1：_依據2：_（2）你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程拓展延伸：（3）將圖1中的RtDEF沿著射線BA的方向平移至如圖2所示的位置，使點D落在BA的延長線上，F(xiàn)D的延長線與CA的延長線垂直相交于點M，BC的延長線與DE垂直相交于點N，連接OM、ON，試判斷線段OM、ON的數(shù)量關系與位置

6、關系，并寫出證明過程8（2012珠海）如圖，二次函數(shù)y=（x2）2+m的圖象與y軸交于點C，點B是點C關于該二次函數(shù)圖象的對稱軸對稱的點已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經過該二次函數(shù)圖象上點A（1，0）及點B（1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）根據圖象，寫出滿足kx+b（x2）2+m的x的取值范圍參考答案與試題解析一、解答題（共8小題）1（2012隨州）一列快車由甲地開往乙地，一列慢車由乙地開往甲地，兩車同時出發(fā)，勻速運動，快車離乙地的路程y1（km）與行使的時間x（h）之間的函數(shù)關系，如圖中AB所示；慢車離乙地的路程y2（km）與行使的時間x（h）之間的函數(shù)關系，如圖中線段OC所示，根據

7、圖象進行以下研究解讀信息：（1）甲，乙兩地之間的距離為450km；（2）線段AB的解析式為y1=450150x（0x3）；線段OC的解析式為y2=75x （0x6）；問題解決：（3）設快，慢車之間的距離為y（km），求y與慢車行駛時間x（h）的函數(shù)關系式，并畫出函數(shù)圖象考點：一次函數(shù)的應用。菁優(yōu)網版權所有分析：（1）利用A點坐標為（0，450），可以得出甲，乙兩地之間的距離；（2）利用A點坐標為（0，450），B點坐標為（3，0），代入y1=kx+b求出即可，利用線段OC解析式為y2=ax 求出a即可；（3）利用（2）中所求得出，y=|y1y2|進而求出函數(shù)解析式，得出圖象即可解答：解：（1）

8、根據左圖可以得出：甲、乙兩地之間的距離為450km；故答案為：450km；（2）問題解決：線段AB的解析式為：y1=kx+b，根據A點坐標為（0，450），B點坐標為（3，0），得出：，解得： 故y1=450150x（0x3）；將（6，450）代入y2=ax 求出即可： y2=75x，故線段OC的解析式為 y2=75x （0x6）； （3）根據（2）得出：y=|y1y2|=|450150x75x|=，利用函數(shù)解析式y(tǒng)=450225x（0x2），當x=0，y=450，x=2，y=0，畫出直線AE，利用函數(shù)解析式y(tǒng)=225x450（2x3），當x=2，y=0，x=3，y=225，畫出直線EF，利用

9、函數(shù)解析式y(tǒng)=75x（3x6），當x=3，y=225，x=6，y=450，畫出直線FC，求出端點，畫出圖象，其圖象為折線圖AEEFFC點評：此題主要考查了一次函數(shù)的應用和待定系數(shù)法求解析式，根據已知圖象上的點得出函數(shù)解析式以及利用分段函數(shù)分析是解題關鍵2（2012沈陽）已知，如圖，MON=60°，點A，B為射線OM，ON上的動點（點A，B不與點O重合），且AB=4，在MON的內部，AOB的外部有一點P，且AP=BP，APB=120°（1）求AP的長；（2）求證：點P在MON的平分線上（3）如圖，點C，D，E，F(xiàn)分別是四邊形AOBP的邊AO，OB，BP，PA的中點，連接CD，

10、DE，EF，F(xiàn)C，OP當ABOP時，請直接寫出四邊形CDEF的周長的值；若四邊形CDEF的周長用t表示，請直接寫出t的取值范圍考點：全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；三角形中位線定理；解直角三角形。菁優(yōu)網版權所有專題：幾何綜合題。分析：（1）過點P作PQAB于點Q根據等腰三角形的“三線合一”的性質推知AQ=BQ=AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函數(shù)的定義可以求得AP的長度；（2）作輔助線PS、PT（過點P分別作PSOM于點S，PTON于點T）構建全等三角形APSBPT；然后根據全等三角形的性質推知PS=OT；最后由角平分線的性質推知點P在MON的平分線上；（3）利用三角形中位線定

11、理知四邊形CDEF的周長的值是OP+AB當ABOP時，根據直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義可以求得OP的長度；當ABOP時，OP取最大值，即四邊形CDEF的周長取最大值；當點A或B與點O重合時，四邊形CDEF的周長取最小值解答：（1）解：過點P作PQAB于點QPA=PB，APB=120°，AB=4AQ=BQ=2，APQ=60°（等腰三角形的“三線合一”的性質），在RtAPQ中，sinAPQ=AP=4；（2）證明：過點P分別作PSOM于點S，PTON于點TOSP=OTP=90°（垂直的定義）； 在四邊形OSPT中，SPT=360°OSPSOPOTP=360&

12、#176;90°60°90°=120°，APB=SPT=120°，APS=BPT；又ASP=BTP=90°，AP=BP，APSBPT，PS=PT（全等三角形的對應邊相等）點P在MON的平分線上；（3）8+4 4+4t8+4點評：本題綜合考查了等腰三角形的性質、三角形中位線定理、解直角三角形以及全等三角形的判定與性質解答該題時，利用了角平分線逆定理到角兩邊的距離相等的點在角平分線角平分線上3（2012濰坊）如圖，已知平行四邊形ABCD，過A點作AMBC于M，交BD于E，過C點作CNAD于N，交BD于F，連接AF、CE（1）求證：四邊形A

13、ECF為平行四邊形；（2）當AECF為菱形，M點為BC的中點時，求AB：AE的值考點：平行四邊形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；解直角三角形。菁優(yōu)網版權所有專題：幾何綜合題。分析：（1）根據平行四邊形的性質、垂直的定義、平行線的判定定理可以推知AECF；然后由全等三角形的判定定理ASA推知ADECBF；最后根據全等三角形的對應邊相等知AE=CF，所以對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（2）如圖，連接AC交BF于點0由菱形的判定定理推知ABCD是菱形，根據菱形的鄰邊相等知AB=BC；然后結合已知條件“M是BC的中點，AM丄BC”證得ADECBF（ASA），所以AE

14、=CF（全等三角形的對應邊相等），從而證得ABC是正三角形；最后在RtBCF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求得CF：BC=tanCBF=，利用等量代換知（AE=CF，AB=BC）AB：AE=解答：（1）證明四邊形ABCD是平行四邊形（已知），BCAD（平行四邊形的對邊相互平行）；又AM丄BC（已知），AMAD；CN丄AD（已知），AMCN，AECF；又由平行得ADE=CBD，又AD=BC（平行四邊形的對邊相等），在ADE和CBF中，ADECBF（ASA），AE=CF（全等三角形的對應邊相等），四邊形AECF為平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；（2）如圖，連接AC交BF于點0，當AE

15、CF為菱形時， 則AC與EF互相垂直平分，BO=OD（平行四邊形的對角線相互平分），AC與BD互相垂直平分，ABCD是菱形（對角線相互垂直平分的平行四邊形是菱形），AB=BC（菱形的鄰邊相等）；M是BC的中點，AM丄BC（已知），ABMCAM，AB=AC（全等三角形的對應邊相等），ABC為等邊三角形，ABC=60°，CBD=30°；在RtBCF中，CF：BC=tanCBF=，又AE=CF，AB=BC，AB：AE=點評：本題綜合考查了解直角三角形、全等三角形的判定與性質、菱形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質等知識點證明（2）題時，證得ABCD是菱形是解題的難點4（201

16、2云南）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+2交x軸于點P，交y軸于點A拋物線y=x2+bx+c的圖象過點E（1，0），并與直線相交于A、B兩點（1）求拋物線的解析式（關系式）；（2）過點A作ACAB交x軸于點C，求點C的坐標；（3）除點C外，在坐標軸上是否存在點M，使得MAB是直角三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由考點：二次函數(shù)綜合題。菁優(yōu)網版權所有分析：（1）首先求出A點坐標，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）利用相似三角形（RtOCARtOPA）比例線段之間的關系，求出線段OC的長度，從而得到C點的坐標，如題圖所示；（3）存在所求的M點，在x軸上有3個，y

17、軸上有2個，注意不要遺漏求點M坐標的過程并不復雜，但要充分利用相似三角形比例線段之間的關系解答：解：（1）直線解析式為y=x+2，令x=0，則y=2，A（0，2），拋物線y=x2+bx+c的圖象過點A（0，2），E（1，0），解得拋物線的解析式為：y=x2+x+2 （2）直線y=x+2分別交x軸、y軸于點P、點A，P（6，0），A（0，2），OP=6，OA=2ACAB，OAOP，RtOCARtOPA，OC=，又C點在x軸負半軸上，點C的坐標為C（，0）（3）拋物線y=x2+x+2與直線y=x+2交于A、B兩點，令x2+x+2=x+2，解得x1=0，x2=，B（，）如答圖所示，過點B作BDx軸于

18、點D，則D（，0），BD=，DP=6=點M在坐標軸上，且MAB是直角三角形，有以下幾種情況：當點M在x軸上，且BMAB，如答圖所示設M（m，0），則MD=mBMAB，BDx軸，即，解得m=，此時M點坐標為（，0）；當點M在x軸上，且BMAM，如答圖所示設M（m，0），則MD=mBMAM，易知RtAOMRtMDB，即，化簡得：m2m+=0，解得：x1=，x2=，此時M點坐標為（，0），（，0）；（說明：此時的M點相當于以AB為直徑的圓與x軸的兩個交點）當點M在y軸上，且BMAM，如答圖所示此時M點坐標為（0，）；當點M在y軸上，且BMAB，如答圖所示設M（0，m），則AM=2=，BM=，MM=m

19、易知RtABMRtMBM，即，解得m=，此時M點坐標為（0，）綜上所述，除點C外，在坐標軸上存在點M，使得MAB是直角三角形符合條件的點M有5個，其坐標分別為：（，0）、（，0）、（，0）、（0，）或（0，）點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)、解一元二次方程、相似三角形的判定與性質等重要知識點難點在于第（3）問，所求的M點有5個（x軸上有3個，y軸上有2個），需要分情況討論，不要遺漏5（2012南通）菱形ABCD中，B=60°，點E在邊BC上，點F在邊CD上（1）如圖1，若E是BC的中點，AEF=60°，求證：BE=DF；（2）如圖2

20、，若EAF=60°，求證：AEF是等邊三角形考點：菱形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定。菁優(yōu)網版權所有專題：證明題。分析：（1）首先連接AC，由菱形ABCD中，B=60°，根據菱形的性質，易得ABC是等邊三角形，又由三線合一，可證得AEBC，繼而求得FEC=CFE，即可得EC=CF，繼而證得BE=DF；（2）首先連接AC，可得ABC是等邊三角形，即可得AB=AC，以求得ACF=B=60°，然后利用平行線與三角形外角的性質，可求得AEB=AFC，證得AEBAFC，即可得AE=AF，證得：AEF是等邊三角形解答：證明：（1）連接AC，菱形ABCD中，B

21、=60°，AB=BC=CD，C=180°B=120°，ABC是等邊三角形，E是BC的中點，AEBC，AEF=60°，F(xiàn)EC=90°AEF=30°，CFE=180°FECC=180°30°120°=30°，F(xiàn)EC=CFE，EC=CF，BE=DF；（2）連接AC，四邊形ABCD是菱形，B=60°AB=BC，D=B=60°，ACB=ACF，ABC是等邊三角形，AB=AC，ACB=60°，B=ACF=60°，ADBC，AEB=EAD=EAF+FAD=60

22、°+FAD，AFC=D+FAD=60°+FAD，AEB=AFC，在ABE和AFC中，ABEACF（AAS），AE=AF，EAF=60°，AEF是等邊三角形點評：此題考查了菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的判定與性質此題難度適中，注意準確作出輔助線，注意數(shù)形結合思想的應用6（2012溫州）溫州享有“中國筆都”之稱，其產品暢銷全球，某制筆企業(yè)欲將n件產品運往A，B，C三地銷售，要求運往C地的件數(shù)是運往A地件數(shù)的2倍，各地的運費如圖所示設安排x件產品運往A地（1）當n=200時，根據信息填表：A地B地C地合計產品件數(shù)（件）x2x2

23、00運費（元）30x（2）若總運費為5800元，求n的最小值考點：一次函數(shù)的應用；一元一次不等式組的應用。菁優(yōu)網版權所有專題：應用題。分析：（1）運往B地的產品件數(shù)=總件數(shù)n運往A地的產品件數(shù)運往B地的產品件數(shù)；運費=相應件數(shù)×一件產品的運費；根據運往B地的件數(shù)不多于運往C地的件數(shù)，總運費不超過4000元列出不等式組，求得整數(shù)解的個數(shù)即可；（2）總運費=A產品的運費+B產品的運費+C產品的運費，進而根據函數(shù)的增減性及（1）中得到的x的取值求得n的最小值即可解答：解：（1）根據信息填表A地B地C地合計產品件數(shù)（件）2003x運費160024x50x56x+1600解得40x42，x為整

24、數(shù)，x=40或41或42，有三種方案，分別是（i）A地40件，B地80件，C地80件； （ii）A地41件，B地77件，C地82件； （iii）A地42件，B地74件，C地84件；（2）由題意，得30x+8（n3x）+50x=5800，整理，得n=7257xn3x0，x72.5，又x0，0x72.5且x為整數(shù)n隨x的增大而減少，當x=72時，n有最小值為221點評：考查一次函數(shù)的應用；得到總運費的關系式是解決本題的關鍵；注意結合自變量的取值得到n的最小值7（2012山西）問題情境：將一副直角三角板（RtABC和RtDEF）按圖1所示的方式擺放，其中ACB=90°，CA=CB，F(xiàn)DE=

25、90°，O是AB的中點，點D與點O重合，DFAC于點M，DEBC于點N，試判斷線段OM與ON的數(shù)量關系，并說明理由探究展示：小宇同學展示出如下正確的解法：解：OM=ON，證明如下：連接CO，則CO是AB邊上中線，CA=CB，CO是ACB的角平分線（依據1）OMAC，ONBC，OM=ON（依據2）反思交流：（1）上述證明過程中的“依據1”和“依據2”分別是指：依據1：等腰三角形的三線合一（等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合）依據2：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等（2）你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程拓展延伸：（3）將圖1中的RtDEF沿著射線BA

26、的方向平移至如圖2所示的位置，使點D落在BA的延長線上，F(xiàn)D的延長線與CA的延長線垂直相交于點M，BC的延長線與DE垂直相交于點N，連接OM、ON，試判斷線段OM、ON的數(shù)量關系與位置關系，并寫出證明過程考點：全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；等腰三角形的性質；矩形的判定與性質。菁優(yōu)網版權所有專題：幾何綜合題。分析：（1）根據等腰三角形的性質和角平分線性質得出即可；（2）證OMAONB（AAS），即可得出答案；（3）求出矩形DMCN，得出DM=CN，MOCNOB（SAS），推出OM=ON，MOC=NOB，得出MOCCON=NOBCON，求出MON=BOC=90°，即可得出答案解答：（1）解：故答案為：等腰三角形三線合一（或等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合），角平分線上的點到角的兩邊距離相等（2）證明：CA=CB，A=B，O是AB的中點，OA=OBDFAC，DEBC，AMO=BNO=90°，在OMA和ONB中，OMAONB（AAS），OM=ON （3）解：OM=ON，OMON理由如下：連接CO，則CO是AB邊上的中線ACB=90°，OC=AB=OB，又CA=CB，CAB=B=45，1=2=45°，AOC=BOC=90&