專題15幾何最值之費(fèi)馬點(diǎn)知識(shí)精講-沖刺2020年中考幾何專項(xiàng)復(fù)習(xí)

1、幾何最值之費(fèi)馬點(diǎn)知識(shí)精講皮耶德費(fèi)馬，17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家，有"業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的美譽(yù)，之所以叫業(yè)余并非段位不夠，而是因?yàn)槠渲髀毷锹蓭?，兼職搞搞?shù)學(xué).費(fèi)馬在解析幾何、微積分等領(lǐng)域都有卓越的貢獻(xiàn)，除此之外，費(fèi)馬廣為人知的是以其名字命名的"費(fèi)馬小定理"、"費(fèi)馬大定理”等.今天所講的問題不是費(fèi)馬提出來的，而是他解決的，因此又叫費(fèi)馬點(diǎn)，問題如下: 問題：如圖，在 ABC內(nèi)部找到一點(diǎn)P,使得PA+PB+PC的值最小.解答：若點(diǎn) P滿足/ APB = /BPC=/ CPA=120o,則PA+PB+PC的值最小，P點(diǎn)稱為三角形的費(fèi)馬點(diǎn) 1.如何作出費(fèi)馬點(diǎn)第一步：分別以 A

2、B、AC為邊作等邊 ABD與等邊 ACE,如圖所示:如圖所示:8第三步：此時(shí) CD、BE的交點(diǎn)即為點(diǎn)P （費(fèi)馬點(diǎn)），第四步：以 BC為邊，作等邊 BCF,連接 AF , AF必過點(diǎn)P,且/ APB = / BPC=Z CPA= 120o.注：上述結(jié)論成立有個(gè)前提條件， ABC中，最大的角要小于 120。，若最大的角大于或等于120。，對(duì)應(yīng)的圖如下所示：此時(shí)費(fèi)馬點(diǎn)就是最大角的頂點(diǎn)A,這種情況不會(huì)考，了解即可，接下來的研究，都是默認(rèn)最大角小于1200.接下來就是要證明，證明分兩部分，一部分過三角形兩條邊向外作等邊三角形，連接CD、BE,這兩條線的交點(diǎn)為什么就是費(fèi)馬點(diǎn)？另一部分就是為什么費(fèi)馬點(diǎn)到對(duì)應(yīng)

3、頂點(diǎn)的連線之和是最小的如下圖所示，在 AEB與4ACD中， AB = AD , AE=AC, / BAE = / DAC = / BAC + 600, ABE ACD ,/ ABE = / ADC ,. / BMP = / DMA ,BPM = / DAM =60o, . . / BPC= 120o；在PD上截取PG = PB,連接PA、BG,如下圖所示：I)由題意可得 BPG為等邊三角形，則 PB = BG,易證ABP0DBG, PA= GD, Z APB =Z DGB = 120o, ./ APC = 120o,PA+PB+PC= GD + PG + PC=CD.接下來只需證明 CD為最短的線段，那么以上的問題都可以得證了！如下圖所示，在 ABC中任取一個(gè)異于點(diǎn) P的點(diǎn)Q,連接QA、QB、QC、QD,將 ABQ繞著點(diǎn)A順時(shí)針 方向旋轉(zhuǎn)60o得到八力則 ABQ與丹。Q'重合，且Q'在線段DQ上或DQ外，易證是等邊 三角