數(shù)列求和課件

1、數(shù)列求和制作：劉松青數(shù)列的求和數(shù)列的求和一一 復習提問復習提問1 等差數(shù)列的前n項和Sn=？2)1(2) 1(1anandnnan2 等比數(shù)列的前n項和Sn=？) 1(1)1 (1) 1(1qqnqaqnanS3 平方數(shù)的前n項和Sn=n2222321) 12)(1(61nnn怎么求特殊數(shù)列的和呢？研究數(shù)列的前n項和的關鍵是分析數(shù)列的構成規(guī)律，而數(shù)列的構成規(guī)律反應在數(shù)列的通項公式。因此，求數(shù)列的和要：1、找到找準數(shù)列的通項公式、找到找準數(shù)列的通項公式2、觀察分析數(shù)列的通項公式的特征。、觀察分析數(shù)列的通項公式的特征。如果是等差或等比的求和，可直接用公式求解；如果是非等差非等比的求和，主要有兩種思

2、路：1、轉化的思想：即將一般數(shù)列設法轉化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分解或錯位相消來完成。2、不能轉化的特殊數(shù)列，往往通過裂項相消法，錯位相減法，倒序相加法等來完成。例題精析) 3n253111（）（、求下列各式的和例sxxxnxs11111232）（分析：項有什么特點？怎么看是不是通項？通?na13212122, 15 , 3 , 11nxnxxndaaaxn項，則設該數(shù)列有，且顯然該數(shù)列是等差數(shù)列， ) 1(22)321)(1(nsnnn（2）項有什么特點？怎么看是不是通項？通?naxnxxxs13121112）（111nSnx時，）當（分析：要分x=1和x 1討論Snx時，

3、）當（12) 1(1111111xxxxxnnn點評：運用公式法求等差數(shù)列和時，要特別注意找準它們的點評：運用公式法求等差數(shù)列和時，要特別注意找準它們的項數(shù)，求等比數(shù)列和時要特別注意它們的公比是否等于項數(shù)，求等比數(shù)列和時要特別注意它們的公比是否等于1 1，不知道，不肯定就要展開討論。不知道，不肯定就要展開討論。 練習：求和xxxnx32)1()1()1(22222xxxxxxnnSn1111111111個nSn(1) S=2+4+6+.+(2n+4)（2)S=1+（答案）（答案）二、分組求和法：二、分組求和法：對于某些數(shù)列，根據(jù)項的結構特征，可將數(shù)列的每一項分成若干項或把數(shù)列的項重新組合，或把

4、整個數(shù)列分成幾部分，使其轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，再分別求和，然后相加求得。例2、求下列各式的和。（1） （2）)1()1()1(22222xxxxxxnnSn2222111)()1(222nxxxxxxannnnnn）（數(shù)列的公比展開討論時務必不能忘記對等比我們求和個等比數(shù)列之和，但在顯然該數(shù)列可分解為三)222()111()(242242xxxxxxnnSn9191210nna）通項（1）分析：通項an=?有什么特點？解答過程解答過程1111111111個nSn（2）練習：求下列各式的和個nnsns333333333)2(1813412211) 1 (22222112) 1(211)11

5、(212) 1()1814121()21 (11nnnnnnnnnnsna）解（) 1(492331)1 (2923223-23331nnnnnnSna）解（點評：設數(shù)列點評：設數(shù)列Cn=An+Bn,則當：則當：1.An、Bn都是等比都是等比數(shù)列時，數(shù)列數(shù)列時，數(shù)列Cn的的前前n項和可分組求和。項和可分組求和。2.An、Bn一個等差一個等差一個等比數(shù)列時，數(shù)一個等比數(shù)列時，數(shù)列列Cn的前的前n項和可分項和可分組求和。組求和。nnn11n1三三 裂項相消：即將數(shù)列的通項分成兩個式子的代裂項相消：即將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和，即數(shù)和，即a an n= =f f( (n n+1)+1)f f(

6、 (n n) )，然后累加時抵消中間的，然后累加時抵消中間的許多項，應掌握以下常見的裂項許多項，應掌握以下常見的裂項 ； ；例：求下列各式的和。 （1）Sn= （2）Sn=1)2(1141121222n12121531311nn)121121(21) 12)(12(1) 1 (:nnnnan分析)1211 (21)121121(21)5131(21)311 (21nnnSn1212121212nnnnan）（分析：112) 1212() 35() 13(nnnSn練習：求下列各式的和練習：求下列各式的和)22(21641421) 1 (nnSnnSn321132112111) 2()22121

7、(21) 22(211nnnnan）解（)22121(21)22121(21)6141(21)4121(21nnnSn) 1(22) 1(132112nnnnnan）解（)111 (2nSn點評：應用裂項法求和一般有兩種形式，一種是點評：應用裂項法求和一般有兩種形式，一種是“分母的不同因子按分母的不同因子按一定的順序一定的順序 可以排列等差數(shù)列的形式可以排列等差數(shù)列的形式”，在裂項相減后要除以等差數(shù)列，在裂項相減后要除以等差數(shù)列的公差，另一種是含有根號的形式，其根號中的數(shù)按一定順序也可以排列的公差，另一種是含有根號的形式，其根號中的數(shù)按一定順序也可以排列成等差數(shù)列。主要采用分母有理化的方法進行

8、裂項。成等差數(shù)列。主要采用分母有理化的方法進行裂項。四：錯位相減法四：錯位相減法求由等差、等比數(shù)列對應項相乘構成的新數(shù)列前求由等差、等比數(shù)列對應項相乘構成的新數(shù)列前n n項和時通常項和時通常采用采用“錯位相減法錯位相減法”以消掉中間項，方法是同乘以等比數(shù)列以消掉中間項，方法是同乘以等比數(shù)列的的“公比公比”，并錯位相減。，并錯位相減。例、已知例、已知an=(2n-1)4an=(2n-1)4n-1n-1, ,求數(shù)列求數(shù)列anan的前的前n n項和項和TnTn相減法比數(shù)列，故應采用錯位分析：該數(shù)列是一個差12210214) 12(4)32(454341nnnnnaaaTn解：nnnnTn4) 12(

9、4)32(45434141321)444(24)12(13121nnnTnnnnnnnnn4)352(35)44(324)12(1)41)41(4(24)12(11nnTn4)9532(95練習：（練習：（1 1）已知）已知anan的通項的通項an=n3an=n3n n求求anan的前項和的前項和SnSn nxnxxxSn323212）求和，（433)412() 13(4332) 13(233)333(33233) 1(3231333) 1(333231) 1 (1113211321321nnnnnnnnnnnnnSnnnSnnnSnnnSn解效果好）（方程兩邊同時乘時，當時，當解xxxnxx

10、xSnxnnnSnxnn) 1() 1()11 (12) 1(3211)2(2點評：涉及到等比數(shù)列時，首先確定其公比是否是點評：涉及到等比數(shù)列時，首先確定其公比是否是1，不能確定就要討論。，不能確定就要討論。五、倒序相加法：五、倒序相加法： 在某些數(shù)列求和中，把式子前后順序顛倒后相加可以相等于在某些數(shù)列求和中，把式子前后順序顛倒后相加可以相等于一個確定的值，這就是倒序相加法求和。一個確定的值，這就是倒序相加法求和。例例 求證：求證：CnCn0 0+3Cn+3Cn1 1+5Cn+5Cn2 2+ +(2n+1)Cn+ +(2n+1)Cnn n=(n+1)2=(n+1)2n n（對稱性）組合數(shù)滿足分析CmnnmnC則令CCCCCsCCCCnnnnnnnnnnnnnnn)12()12(53,1210110CCCCnnnnnnnns0113)12()12(CCCnnnnnnnS) 112()312() 112(210)(22(10CCCnnnnnnns2)1(練習（練習（1 1）求證：）求證：Cn+2CnCn+2Cn1 1+3Cn+3Cn2 2+.+(n+1)Cn+.+(n+1)Cnn n=(n+2)2=(n+2)2n n （2 2）計算）計算Si