大學(xué)物理第5章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(2)

1、鞍山科技大學(xué) 姜麗娜15.1 剛體的運動剛體的運動 5.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 5.3 轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算 5.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用 5.5 轉(zhuǎn)動中的功和能轉(zhuǎn)動中的功和能 5.6 剛體的角動量和角動量守恒定律剛體的角動量和角動量守恒定律(A rigid body about a fixed axis)轉(zhuǎn)軸鞍山科技大學(xué) 姜麗娜2一、一、 剛體剛體在受外力作用時不改變形狀和體積的物體稱剛體。在受外力作用時不改變形狀和體積的物體稱剛體。(2)(2)剛體可以看作是由許多質(zhì)點剛體可以看作是由許多質(zhì)點( (質(zhì)元質(zhì)元) )組成的組成的質(zhì)點系質(zhì)點系, ,在外

2、力作用下各質(zhì)元之間的相對位置在外力作用下各質(zhì)元之間的相對位置保持不變。保持不變。1. 定義定義:mimiN 支持力支持力注意：注意：(1)(1)剛體是固體物件的理想化模型。剛體是固體物件的理想化模型。質(zhì)元質(zhì)元5.1 5.1 剛體的運動剛體的運動鞍山科技大學(xué) 姜麗娜32. 剛體的運動形式剛體的運動形式: 剛體在運動中剛體在運動中, 所有點的運動軌所有點的運動軌跡都保持完全相同。跡都保持完全相同。 各質(zhì)元均做圓周運動各質(zhì)元均做圓周運動,而且各圓而且各圓 的圓心的圓心都在一條固定不動的直線上都在一條固定不動的直線上,這條直線叫這條直線叫轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸。如果轉(zhuǎn)軸方向不隨時間變化。如果轉(zhuǎn)軸方向不隨時間變化,

3、則稱則稱定定軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動。 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動:平動：平動：轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸mimi注意：注意： 在描述剛體的平動時在描述剛體的平動時, ,可以用一點的運動來代表，通可以用一點的運動來代表，通常就用剛體的質(zhì)心的運動來代常就用剛體的質(zhì)心的運動來代表整個剛體的平動。表整個剛體的平動。鞍山科技大學(xué) 姜麗娜4 轉(zhuǎn)動：剛體中所有的點都繞同一直線做圓周轉(zhuǎn)動：剛體中所有的點都繞同一直線做圓周運動運動. 轉(zhuǎn)動又分定軸轉(zhuǎn)動和非定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動又分定軸轉(zhuǎn)動和非定軸轉(zhuǎn)動 . 剛體的平面運動剛體的平面運動 . 鞍山科技大學(xué) 姜麗娜5 剛體的一般運動剛體的一般運動質(zhì)心的平動質(zhì)心的平動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動+鞍山科技大學(xué) 姜麗娜6轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)

4、動平面 二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述 雖然剛體上各質(zhì)元的線速度、雖然剛體上各質(zhì)元的線速度、 加速度一般是不同的。加速度一般是不同的。但各質(zhì)元運動的角量但各質(zhì)元運動的角量, 如角位移、如角位移、 角速度角速度 和角加速度都是和角加速度都是一樣的。因此描述剛體的運動時一樣的。因此描述剛體的運動時, 用角量最為方便。用角量最為方便。Ovimi轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸Zri轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸鞍山科技大學(xué) 姜麗娜72.角位移角位移1.角位置角位置4. 角加速度矢量角加速度矢量)/(2sraddtd轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面v);/(sraddtd3.角速度角速度:方向：方向：與轉(zhuǎn)動方向成右手螺旋法則與轉(zhuǎn)動方向成右手螺旋法則

5、當(dāng)減速轉(zhuǎn)動時當(dāng)減速轉(zhuǎn)動時, ,角加速度與角速度方向相反角加速度與角速度方向相反; ;方向方向: :當(dāng)加速轉(zhuǎn)動時當(dāng)加速轉(zhuǎn)動時, ,角加速度與角速度方向相同；角加速度與角速度方向相同；rpooX轉(zhuǎn)動方向轉(zhuǎn)動方向Z鞍山科技大學(xué) 姜麗娜8.當(dāng)角加速度矢量是常矢量時：當(dāng)角加速度矢量是常矢量時：)(02022 atvv0)(20202xxavv20021attvxxt 0 2210 tt)( 勻加速度直線運動公式：勻加速度直線運動公式：鞍山科技大學(xué) 姜麗娜9復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)一、質(zhì)點的角動量一、質(zhì)點的角動量 vmrPrL mPLrOxyz二、質(zhì)點的角動量定理二、質(zhì)點的角動量定理dtLdM 積分關(guān)系積分關(guān)系LLdd

6、tMLLtt 2121鞍山科技大學(xué) 姜麗娜10FrM 5.2.1 力矩力矩zOkFrFFFzFrkMzzFF 其中其中 不影響剛體不影響剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動，故繞定軸的轉(zhuǎn)動，故 對對轉(zhuǎn)軸的力矩轉(zhuǎn)軸的力矩zFF 一、一、若力若力 不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量 F二、二、合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和MFrFFFrFrFrFrMnnii)(2121FrM鞍山科技大學(xué) 姜麗娜11三、三、 剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消jiijMMjririjijFjiFdO

7、ijMjiM鞍山科技大學(xué) 姜麗娜12vi質(zhì)元質(zhì)元m1 ， m2 mi mn；位矢位矢 r1 、r2、ri 、 rn各質(zhì)元速率分別為各質(zhì)元速率分別為 v1 、v2 、vi、 vnrioi1. 第第 i 個質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的角動量個質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的角動量FiZmi一、剛體的角動量一、剛體的角動量5.2.2 5.2.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量iiiivmrLiiLL2. 剛體的角動量剛體的角動量iiiivmriiimrL2Jmriii)(22jjjrmJ定義轉(zhuǎn)動慣量定義轉(zhuǎn)動慣量鞍山科技大學(xué) 姜麗娜13記住幾個典型的轉(zhuǎn)動慣量：記住幾個典型的轉(zhuǎn)動慣量：*圓環(huán)（通過中心軸）圓環(huán)（通過中心軸） J

8、= mR2*圓盤、圓柱（通過中心軸）圓盤、圓柱（通過中心軸）*細(xì)棒（通過端點）細(xì)棒（通過端點）*細(xì)棒（通過質(zhì)心）細(xì)棒（通過質(zhì)心）221mRJ 231mLJA 2121mLJc 鞍山科技大學(xué) 姜麗娜145.2.3 5.2.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律tLMdd剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程JL ()dd JMJJdtdt 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的合外力矩合外力矩成成正比正比 ，與剛體的，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量成反比成反比 . 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律MJ剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量:鞍山科技大學(xué) 姜麗娜15沖量矩沖量矩-力矩作用于剛體的時間累積效應(yīng)力矩

9、作用于剛體的時間累積效應(yīng)21ttMdt定義定義: 5.2.45.2.4角動量定理角動量定理: :JL 剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量:2100000tJtJMdtd JJJLL()dd JdLMJJdtdtdt 轉(zhuǎn)動剛體所受合外力矩的沖量矩轉(zhuǎn)動剛體所受合外力矩的沖量矩,等于在這段時間內(nèi)剛體等于在這段時間內(nèi)剛體角動量的增量，角動量也稱動量矩。角動量的增量，角動量也稱動量矩。鞍山科技大學(xué) 姜麗娜16角動量守恒定律角動量守恒定律:由角動量定理可知：由角動量定理可知：dtLdM當(dāng)剛體所受合力矩為零時即當(dāng)剛體所受合力矩為零時即M=0時時,其角動量其角動量 L保持守恒。保持守恒。3.3.角動量守恒定

10、律與動量守恒定律、角動量守恒定律與動量守恒定律、 能量守恒定律一樣都能量守恒定律一樣都是自然界的規(guī)律。是自然界的規(guī)律。恒量J（M=0時）時）1.守守 恒條件恒條件0M若若 不變，不變， 不變；若不變；若 變，變， 也變，但也變，但 不變不變.JJLJ討論討論2. 內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動量內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動量.鞍山科技大學(xué) 姜麗娜17舞蹈中的角動量守恒現(xiàn)象舞蹈中的角動量守恒現(xiàn)象鞍山科技大學(xué) 姜麗娜18滑冰中的角動量守恒現(xiàn)象滑冰中的角動量守恒現(xiàn)象 鞍山科技大學(xué) 姜麗娜19跳水中的角動量守恒現(xiàn)象跳水中的角動量守恒現(xiàn)象 起跳入水鞍山科技大學(xué) 姜麗娜20 練習(xí)練習(xí)1：如圖所示：如圖所示,有兩個質(zhì)量分

11、別為有兩個質(zhì)量分別為 M1 、M2 ，半徑分，半徑分別為別為 R1 、R2 的勻質(zhì)定滑輪，輪緣上繞一細(xì)繩的勻質(zhì)定滑輪，輪緣上繞一細(xì)繩, 其兩端掛其兩端掛著質(zhì)量分別為著質(zhì)量分別為m1 和和m2 的物體。若的物體。若m1 m2 , 忽略軸承處的忽略軸承處的摩擦摩擦, 且繩子與滑輪間無相對滑輪且繩子與滑輪間無相對滑輪, 求滑輪的角加速度及繩求滑輪的角加速度及繩子的張力子的張力T1 、2 、T 3 。m2m1T2T1T3M1R1M2R2鞍山科技大學(xué) 姜麗娜21T2m2gT2M1R1M2 R2T3T1m1gT3T12222amTgm1111amgmT2222232RM21R)TT( 222111RaRa

12、 1211113RM21R)TT( 隔離物體分析力隔離物體分析力由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定律可列方程如下定律可列方程如下鞍山科技大學(xué) 姜麗娜2212121121RgMM)m2(m)m2(m gmMMmMMT121212111)2(m)m4(22121122RgMM)m2(m)m2(m gmMMmMMT221212112)2(m)m4(gMMmMMT21212112213)2(m)mmmm4(鞍山科技大學(xué) 姜麗娜231. 定軸轉(zhuǎn)動慣量定義定軸轉(zhuǎn)動慣量定義:iiirmJ2分立剛體分立剛體:轉(zhuǎn)動慣量等于剛體中每個質(zhì)轉(zhuǎn)動慣量等于剛體中每個質(zhì)點的質(zhì)量與這一質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的距點的質(zhì)量與這一質(zhì)點

13、到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積的總和。離平方的乘積的總和。mioiri5.3 5.3 轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算連續(xù)剛體連續(xù)剛體:dmrJ2質(zhì)量體密度質(zhì)量體密度dvr2dsr2dlr2質(zhì)量面密度質(zhì)量面密度質(zhì)量線密度質(zhì)量線密度dmor鞍山科技大學(xué) 姜麗娜242. 轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算 例例 1 剛性三原子分子其質(zhì)量分布如圖所示，剛性三原子分子其質(zhì)量分布如圖所示，求繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量求繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量233222211rmrmrmJ例例 2 質(zhì)量為質(zhì)量為m ，長為，長為 l 的均勻細(xì)棒，分別求其繞垂直中心轉(zhuǎn)軸的均勻細(xì)棒，分別求其繞垂直中心轉(zhuǎn)軸和繞一端轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。和繞一端轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。r1r2

14、r3m1m2m3轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸鞍山科技大學(xué) 姜麗娜25解解:設(shè)棒單位長質(zhì)量設(shè)棒單位長質(zhì)量:則則按如圖按如圖所示建立一維坐標(biāo)系所示建立一維坐標(biāo)系,繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為則則按如圖按如圖所示建立一維坐標(biāo)系繞一端的轉(zhuǎn)動慣量為所示建立一維坐標(biāo)系繞一端的轉(zhuǎn)動慣量為dmxJ21dmxJ22oX圖圖圖圖Xo=m/l,dxdxdxxll2222121mldxxl02231mldm=dxdm鞍山科技大學(xué) 姜麗娜26oRZ例例 3 求質(zhì)量為求質(zhì)量為 m ，半徑為，半徑為 R 的均勻薄圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量，軸與的均勻薄圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量，軸與圓環(huán)平面垂直并通過其圓心。圓環(huán)平面垂直并通過其圓心。dmdmRJ2mdm

15、R22mR解解:鞍山科技大學(xué) 姜麗娜27注意：注意：(1) J 只是對某個軸的。只是對某個軸的。 (2) dm 的取法：需使的取法：需使 dm 上各點的上各點的 r 相等。相等。例：對例：對 Jx ， Jy ， Jz ，dm 的不的不 同取法。同取法。dmdmdmyox鞍山科技大學(xué) 姜麗娜28RoZ例例 4 求質(zhì)量為求質(zhì)量為 m ，半徑為，半徑為 R 的均勻薄圓盤的轉(zhuǎn)動慣量，軸的均勻薄圓盤的轉(zhuǎn)動慣量，軸與圓盤平面垂直并通過其圓心。與圓盤平面垂直并通過其圓心。drr解解:設(shè)圓盤單位面積上的質(zhì)量為設(shè)圓盤單位面積上的質(zhì)量為在圓盤上取半徑為在圓盤上取半徑為r，寬為，寬為 dr 的圓環(huán)，該圓環(huán)質(zhì)量：的圓

16、環(huán)，該圓環(huán)質(zhì)量：rdrdsdm2dmrJ2rdrrR202221mR2Rm圓盤轉(zhuǎn)動慣量為圓盤轉(zhuǎn)動慣量為鞍山科技大學(xué) 姜麗娜29例例 5 求質(zhì)量為求質(zhì)量為 M ，半徑為，半徑為 R，厚為，厚為 l 的的均勻圓柱體的轉(zhuǎn)動慣均勻圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量，軸與圓柱平面垂直并通過其軸心。量，軸與圓柱平面垂直并通過其軸心。RoZldl解解:設(shè)圓柱體單位長度上的質(zhì)量為設(shè)圓柱體單位長度上的質(zhì)量為lmlmdd在圓柱體上沿軸向取長為在圓柱體上沿軸向取長為 dl 的的薄圓盤，該圓盤質(zhì)量：薄圓盤，該圓盤質(zhì)量：2d21dmRJ lRJJld21d02222121MRlR圓盤轉(zhuǎn)動慣量為圓盤轉(zhuǎn)動慣量為圓柱體轉(zhuǎn)動慣量為圓柱體轉(zhuǎn)動慣量

17、為鞍山科技大學(xué) 姜麗娜30記住幾個典型的轉(zhuǎn)動慣量：記住幾個典型的轉(zhuǎn)動慣量：*圓環(huán)（通過中心軸）圓環(huán)（通過中心軸） J = mR2*圓盤、圓柱（通過中心軸）圓盤、圓柱（通過中心軸）*細(xì)棒（通過端點）細(xì)棒（通過端點）*細(xì)棒（通過質(zhì)心）細(xì)棒（通過質(zhì)心）221mRJ 231mLJA 2121mLJc 鞍山科技大學(xué) 姜麗娜31Z3. 轉(zhuǎn)動慣量的物理意義及性質(zhì)轉(zhuǎn)動慣量的物理意義及性質(zhì):轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量類似轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量類似,它是剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度它是剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度;轉(zhuǎn)動慣量不僅與剛體質(zhì)量有關(guān)轉(zhuǎn)動慣量不僅與剛體質(zhì)量有關(guān),而且與剛體轉(zhuǎn)軸的而且與剛體轉(zhuǎn)軸的位置及剛體的質(zhì)量分布有關(guān)位置及剛體的質(zhì)量分布有

18、關(guān);轉(zhuǎn)動慣量具有迭加性轉(zhuǎn)動慣量具有迭加性;如圖如圖,三個剛體繞同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為三個剛體繞同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為J1,J2,J3,則該剛體系統(tǒng)繞該軸的轉(zhuǎn)動慣量為則該剛體系統(tǒng)繞該軸的轉(zhuǎn)動慣量為J=J1+J2+J3轉(zhuǎn)動慣量具有相對性轉(zhuǎn)動慣量具有相對性;同一剛體同一剛體,轉(zhuǎn)軸不同轉(zhuǎn)軸不同,質(zhì)量對轉(zhuǎn)軸的分質(zhì)量對轉(zhuǎn)軸的分布不同布不同,因而轉(zhuǎn)動慣量不同。因而轉(zhuǎn)動慣量不同。ZCdZ平行軸定理平行軸定理：J=Jc+md2鞍山科技大學(xué) 姜麗娜32如圖一質(zhì)量為如圖一質(zhì)量為M 長為長為l的勻質(zhì)細(xì)桿，中間和右端各有一質(zhì)量皆為的勻質(zhì)細(xì)桿，中間和右端各有一質(zhì)量皆為m的剛性小球，該系統(tǒng)可繞其左端且與桿垂直的水平軸轉(zhuǎn)

19、動，的剛性小球，該系統(tǒng)可繞其左端且與桿垂直的水平軸轉(zhuǎn)動，若將該桿置于水平位置后由靜止釋放，求桿轉(zhuǎn)到與水平方向成若將該桿置于水平位置后由靜止釋放，求桿轉(zhuǎn)到與水平方向成角時角時,桿的角加速度是多少桿的角加速度是多少?解解:1設(shè)轉(zhuǎn)軸垂直向里為正設(shè)轉(zhuǎn)軸垂直向里為正,系統(tǒng)對該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為系統(tǒng)對該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為 222312MlmllmJ該系統(tǒng)所受的合力矩為該系統(tǒng)所受的合力矩為coscos2cos2mgllmglMgM cosgl )Mm()mM(41536 由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律:M=J可得可得方向方向:向里。向里。mgl例例1鞍山科技大學(xué) 姜麗娜33例例2:如圖長為如圖長為 l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為

20、m的均勻直棒靜止在一光滑的水平面的均勻直棒靜止在一光滑的水平面上。它的中點有一豎直光滑固定軸，一個質(zhì)量為上。它的中點有一豎直光滑固定軸，一個質(zhì)量為m 的小球以的小球以水平速度水平速度 vo 射垂直于棒沖擊其一端射垂直于棒沖擊其一端發(fā)生彈性碰撞發(fā)生彈性碰撞。求碰撞后。求碰撞后球的速度球的速度v和棒的角速度和棒的角速度。lmvomo鞍山科技大學(xué) 姜麗娜34解解:定轉(zhuǎn)軸正向指上；定轉(zhuǎn)軸正向指上；以子彈和桿為系統(tǒng)，則系以子彈和桿為系統(tǒng)，則系統(tǒng)的角動量守恒動能守恒。統(tǒng)的角動量守恒動能守恒。212122mlvmlvmlolmmvmo) 3(122222121212121mlvmvmo)3()3(mmvmm

21、volmvomovmZ鞍山科技大學(xué) 姜麗娜35將剛體看成許多質(zhì)量分別為將剛體看成許多質(zhì)量分別為m1 、m2 mimn的質(zhì)點的質(zhì)點;各質(zhì)點距轉(zhuǎn)軸的距離分別為各質(zhì)點距轉(zhuǎn)軸的距離分別為 r1、r2 ri rn221iikivmE整個剛體的動能整個剛體的動能kiikEE一、一、 轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能221JEk稱剛體的轉(zhuǎn)動動能稱剛體的轉(zhuǎn)動動能則第則第 i 個質(zhì)元的動能個質(zhì)元的動能 2221iirm221iiivm2221iiirm5.4 5.4 轉(zhuǎn)動中的功和能轉(zhuǎn)動中的功和能鞍山科技大學(xué) 姜麗娜36O-力矩作用于剛體的空間累積效應(yīng)力矩作用于剛體的空間累積效應(yīng)當(dāng)力持續(xù)作用于剛體使其角位置由當(dāng)力持續(xù)作用于剛體使其角位置由1到到2時時,力矩的功為力矩的功為21MdArdf