四邊固支矩形薄板自由振動(dòng)的哈密頓解析解

1、第 28卷 第 4期 應(yīng) 用 力 學(xué) 學(xué) 報(bào) V ol.28 No.4 2011年 8月 CHINESE JOURNAL OF APPLIED MECHANICS Aug. 2011基金項(xiàng)目:科學(xué)技術(shù)部重大基礎(chǔ)研究項(xiàng)目 (2004CCA03300 來(lái)稿日期:2010-07-14 修回日期:2011-06-30第一作者簡(jiǎn)介:鐘陽(yáng) 男, 1955年生,大連理工大學(xué)建設(shè)工程學(xué)部,教授;研究方向道路工程。 E-mail: zhongyang58文章編號(hào):1000-4939(2011 04-0323-05四邊固支矩形薄板自由振動(dòng)的哈密頓解析解鐘陽(yáng) 李銳 田斌(大連理工大學(xué) 116024 大連 摘要 :

2、在哈密頓體系中利用辛幾何方法求解了四邊固支矩形薄板自由振動(dòng)問(wèn)題的解析解。首先, 從基本方程出發(fā),將問(wèn)題表示成 Hamilton 正則方程,然后利用辛幾何方法導(dǎo)出本征值問(wèn)題,從而 得到本征函數(shù)解,使之滿足邊界條件;再由方程組有非零解的條件,最終推導(dǎo)出四邊固支矩形薄 板的自振頻率方程,得到頻率的解析解。計(jì)算了不同長(zhǎng)寬比情況下四邊固支矩形薄板的頻率,結(jié) 果與已有文獻(xiàn)完全一致。該解法有望推廣至更多尚未得到解析解的矩形板的振動(dòng)問(wèn)題。 關(guān)鍵詞 : 固支矩形薄板;解析解; Hamilton 體系;辛幾何方法 中圖分類號(hào) : O343 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 : A1 引 言彈性矩形薄板是廣泛應(yīng)用于土木工程、海洋工程、航

3、空航天、機(jī)械工程等各學(xué)科領(lǐng)域的一種重要的結(jié)構(gòu)元件,其自由振動(dòng)問(wèn)題的解析求解在理論與實(shí)際中都具有重要的意義。然而,由于數(shù)學(xué)上存在困難,到目前為止,該問(wèn)題只有在對(duì)邊簡(jiǎn)支條件下 才可以得到解析解;對(duì)于非對(duì)邊簡(jiǎn)支薄板的自由振 動(dòng)問(wèn)題,通常是利用疊加方法來(lái)尋求精確解 1,而已 有絕大部分研究都是基于數(shù)值方法或近似方法 2,因此對(duì)于該類問(wèn)題的解析求解仍是一項(xiàng)重要課題。鐘萬(wàn)勰教授將辛幾何方法引入彈性力學(xué)中 3-5, 為彈性力學(xué)求解開(kāi)辟了新思路。該方法已被運(yùn)用于 應(yīng)用力學(xué)不同的領(lǐng)域,包括各種邊界條件下矩形板 的彎曲問(wèn)題以及對(duì)邊簡(jiǎn)支板的振動(dòng)問(wèn)題 5-8, 并被廣泛認(rèn)可。本文基于辛幾何方法進(jìn)一步求出了四邊固支矩形

4、薄板自由振動(dòng)的解析解。在求解過(guò)程中,首先將矩形薄板自由振動(dòng)問(wèn)題導(dǎo)入 Hamilton 體系, 然后利用辛幾何方法對(duì)全狀態(tài)向量進(jìn)行分離變量,得到 一個(gè)本征值問(wèn)題,以該問(wèn)題的特征方程為基礎(chǔ),得 到含有待定常數(shù)的本征解。使本征解分別精確滿足 板在兩對(duì)邊界上的邊界條件,通過(guò)振型的對(duì)稱性進(jìn) 行簡(jiǎn)化,最終得到對(duì)應(yīng)于所有振動(dòng)形式的關(guān)于頻率 和本征值參數(shù)的超越方程組,利用數(shù)學(xué)軟件求解該 方程組 9,即得到頻率的解析解。由于求解過(guò)程不 需要事先選定試函數(shù),而是直接從矩形薄板自由振 動(dòng)的基本方程出發(fā),利用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解,因此 該方法是一種理性的解析法。文中給出的不同長(zhǎng)寬比情況下四邊固支矩形薄 板自振頻率的解析結(jié)

5、果,與已有文獻(xiàn)的結(jié)果 1完全 一致,證明了本文方法及推導(dǎo)的正確性。 2 矩形薄板自由振動(dòng)的控制方程 與 Hamilton 體系 本文考慮的矩形薄板的坐標(biāo)和尺寸如圖 1所示。324應(yīng) 用 力 學(xué) 學(xué) 報(bào) 第 28卷 圖 1 矩形薄板坐標(biāo)系統(tǒng)板自由振動(dòng)的基本方程為2220D W W = (1各物理量之間存在如下關(guān)系0x xy x M x M y Q += (20y xy y M y M x Q += (320x yQ x Q y W += (4而板的內(nèi)力可以表示為(2222222221x y xyM D W x W y M D W y W x M D W x y=+=+= (5 (22, xyQ

6、D W x Q D W y = (6 , x x xy y y xy V Q M y V Q M x =+=+ (7 以上各式中:W 為板的振型函數(shù); D 為抗彎剛度;為板單位面積的質(zhì)量; 為板的固有頻率; x M 和 y M 、 xy M 、 x Q 、 y Q 、 x V 和 y V 分別為板的彎矩、扭 矩、剪力、總剪力。由式 (7和式 (4可得220x y xy V x V y M x y W += (8令W y = (9由式 (5第二式可得22y y W x M D = (10 由式 (5第三式可得(1xy M D x = (11綜合上述可得(2442221y y V y D W x

7、M x W =(12由式 (7第二式、式 (3、式 (11可得 (2221y y M y V D x =+ (13 令 y V T =,式 (9、式 (10、式 (12和式 (13可統(tǒng)一寫(xiě)成矩陣形式y(tǒng) =Z HZ 其中 T =FG H Q F , (24422210021D x D x +=Q , 22010x =F , 000D =G , T, , , y W T M =Z其中 Z 稱為板的狀態(tài)向量。因?yàn)?T =H JHJ (其中2200=I J I 為辛幾何中的度量矩陣, 2I 為二階單 位陣 ,說(shuō)明 H 是 Hamilton 算子矩陣,式 (14即是 矩形薄板自由振動(dòng)問(wèn)題在 Hamilt

8、on 體系中的表示。 3 矩形薄板自由振動(dòng)的辛幾何解法按照辛幾何方法,可以利用分離變量法求解方程 (14,令(x Y y =Z X (15 其中:(T, , , y x W x x T x M x =X ; (Y y 為分離變量的 y 方向函數(shù)。 將式 (15代入式 (14, 即得 到(d , Y y y Y y x x =HX X (16式中:為待求本征值; (x X 為與之對(duì)應(yīng)的本征 向量。式 (16第二式是一個(gè)本征值問(wèn)題,其特征方程 為(22422210010010211D D D =+ (17其中 為方程的本征值。展開(kāi)式 (17得(2222D += (18令 R =1,23,4=或1,

9、213,42i, =±=± (20其中12= (21 由式 (21可知存在如下關(guān)系 22122R += (22 由式 (19得式 (16第二式中 (W x 的本征解為第 3期 鐘陽(yáng),等:四邊固支矩形薄板自由振動(dòng)的哈密頓解析解 325(11 11cossin cosh sinh W x A B C F =+ (23 其中 1A 、 1B 、 1C 、 1F 為待定常數(shù)。由式 (20及式 (16第一式,得 W 在 y 方向的本 征解 (W y 為(21212222cos sin cosh sinh W y A y B y C y F y =+(24其中 2A 、 2B 、 2C

10、 、 2F 為待定常數(shù)。由四邊固支薄板在 x 方向的邊界條件知(0x a x a W x W x x =±=±= (25將式 (23代入式 (25, 化簡(jiǎn)后分別得到關(guān)于 1A 、 1C 和1B 、 1F 的方程組 1121co 00s cosh sin sinh A C = (26 1121sin sinh cos c sh 0o 0B F = (27要使方程式 (26有非零解, 令系數(shù)矩陣行列式為零, 得到本征值超越方程(0+= (28 類似地,令式 (27系數(shù)矩陣的行列式為零,可得(0=(29同理, 由板在 y 方向的邊界條件,利用式 (24的 本征解,得到方程(112

11、2tan tanh 0b b += (30 或(2112tan tanh 0b b = (31由式 (23和式 (24可知:關(guān)于 1A 、 1C 的本征方 程 (28的解對(duì)應(yīng)關(guān)于 y 軸對(duì)稱的振動(dòng);關(guān)于 2A 、 2C 的本征方程 (30的解對(duì)應(yīng)關(guān)于 x 軸對(duì)稱的振動(dòng);關(guān) 于 1B 、 1F 的本征方程 (29的解對(duì)應(yīng)關(guān)于 y 軸反對(duì)稱 的振動(dòng);關(guān)于 2B 、 2F 的本征方程 (31的解對(duì)應(yīng)關(guān)于 x 軸反對(duì)稱的振動(dòng)。 4 四邊固支矩形薄板自由振動(dòng)的解析解經(jīng)過(guò)以上推導(dǎo),可以得到四邊固支矩形薄板自 由振動(dòng)問(wèn)題的解析解。 以雙軸對(duì)稱振動(dòng)為例,要求解方程 (28和方 程 (30,這兩個(gè)方程中只有兩個(gè)

12、未知變量 R 和 1, 而 和 2可以通過(guò)式 (20和式 (22表示成 R 和 1的 函數(shù),求解方程組即得到雙軸對(duì)稱振動(dòng)情況下頻率參數(shù) R =其余三種振動(dòng)形式的解 析解完全類似。表 1列出了四邊固支矩形薄板的全部頻率方程。表 1 四邊固支矩形薄板的頻率方程振動(dòng)形式頻率方程 雙軸對(duì)稱(11tan 0h 0b =+= 雙軸反對(duì)稱(11tanh 0b = 關(guān)于 x 軸對(duì)稱而關(guān)于 y 軸反對(duì)稱(11tan 0h 0b = 關(guān)于 y 軸對(duì)稱而關(guān)于 x 軸反對(duì)稱(11tanh 0b =+= 326 應(yīng) 用 力 學(xué) 學(xué) 報(bào) 第 28卷5 算 例文獻(xiàn) 1曾根據(jù)對(duì)稱性基于疊加方法求解了四邊固支矩形薄板的自由振動(dòng)

13、問(wèn)題。本文求得了不同 尺寸比的四邊固支矩形薄板振動(dòng)的解析解, 與文獻(xiàn) 1進(jìn)行了對(duì)比,結(jié)果如表 2表 5所示。顯然,兩者 結(jié)果完全一致, 因此證明了本文求解方法的正確性。表 2 四邊固支矩形薄板雙軸對(duì)稱振動(dòng)的前五階頻率參數(shù) 2a R階次 文獻(xiàn) 11.25 1.50 2.0 2.5 3.0 文獻(xiàn) 1 8.996 7.472 6.736 6.120 5.880 5.765 1 解析解 8.778 7.314 6.645 6.096 5.887 5.785 文獻(xiàn) 1 32.98 22.31 16.63 11.19 8.851 7.678 2 解析解 32.91 22.23 16.54 11.11 8.

14、776 7.624 文獻(xiàn) 1 32.98 31.88 31.32 21.81 15.37 11.99 3 解析解 32.91 31.84 31.30 21.76 15.32 11.93 文獻(xiàn) 1 55.01 45.32 36.05 30.81 25.34 18.76 4 解析解 54.83 45.19 36.01 30.80 25.31 18.72 文獻(xiàn) 1 77.26 50.52 40.31 35.59 30.59 27.87 5解析解77.23 50.48 40.21 35.54 30.59 27.85 21 1.25 1.50 2.0 2.5 3.0 文獻(xiàn) 1 27.05 22.34 1

15、9.95 17.77 16.85 16.38 1 解析解 26.87 22.20 19.85 17.72 16.82 16.36 文獻(xiàn) 1 60.57 43.25 34.02 25.20 21.36 19.38 2 解析解 60.55 43.14 33.91 25.11 21.29 19.34 文獻(xiàn) 1 60.57 56.50 54.36 37.97 29.23 24.65 3 解析解 60.55 56.44 54.33 37.89 29.16 24.59 文獻(xiàn) 1 92.84 76.39 57.51 52.34 40.49 32.27 4 解析解 92.66 76.27 57.43 52.3

16、3 40.43 32.21 文獻(xiàn) 1 114.7 77.51 67.79 55.99 51.45 42.23 5解析解114.6 77.43 67.69 55.93 51.44 42.19表 4 四邊固支矩形薄板關(guān)于 x軸對(duì)稱而關(guān)于 y 軸反對(duì)稱振動(dòng)的前五階頻率參數(shù) 2a R階次 文獻(xiàn) 11.25 1.50 2.0 2.5 3.0 文獻(xiàn) 1 18.35 17.13 16.53 16.00 15.77 15.66 1 解析解 18.22 17.06 16.49 15.98 15.76 15.65 文獻(xiàn) 1 41.25 31.08 25.78 20.82 18.69 17.61 2 解析解 41.

17、10 30.94 25.66 20.74 18.65 17.58 文獻(xiàn) 1 52.63 51.59 44.61 30.92 24.86 21.72 3 解析解 52.59 51.57 44.52 30.83 24.79 21.67 文獻(xiàn) 1 74.08 58.75 51.06 46.34 34.44 28.16 4 解析解 73.92 58.66 51.05 46.27 34.37 28.10 文獻(xiàn) 1 85.15 64.77 59.93 50.56 47.38 36.96 5解析解85.06 64.66 59.86 50.55 47.33 36.91第 3期 鐘陽(yáng),等:四邊固支矩形薄板自由振

18、動(dòng)的哈密頓解析解 327 表 5 四邊固支矩形薄板關(guān)于 y 軸對(duì)稱而關(guān)于 x 軸反對(duì)稱振動(dòng)的前五階頻率參數(shù) 2a R 1 1.25 1.50 2.0 2.5 3.0 文獻(xiàn) 1 18.35 13.13 10.43 7.956 6.952 6.465 1解析解 18.22 12.99 10.30 7.859 6.888 6.423文獻(xiàn) 1 41.25 34.80 25.20 15.83 11.67 9.523 2解析解 41.10 34.76 25.14 15.76 11.60 9.459文獻(xiàn) 1 52.63 36.89 34.66 29.09 19.94 15.08 3解析解 52.59 36.

19、79 34.60 29.05 19.90 15.03文獻(xiàn) 1 74.08 57.18 48.30 32.59 31.56 23.03 4解析解 73.92 57.04 48.19 32.56 31.54 23.00文獻(xiàn) 1 85.15 69.41 49.14 39.87 31.69 31.22 5解析解 85.06 69.39 49.11 39.80 31.67 31.216 結(jié) 論基于辛幾何方法求出了四邊固支矩形薄板自 由振動(dòng)問(wèn)題的解析解。由于求解過(guò)程不需要人為選 取撓度函數(shù),而是直接從振動(dòng)基本方程出發(fā),因此 求解過(guò)程理性、可靠;另外,統(tǒng)一的求解體系使得 該方法具備進(jìn)一步推廣的可能。計(jì)算實(shí)例

20、證明了本 文推導(dǎo)和求解的正確性。參 考 文 獻(xiàn)1Gorman D J. Free vibration analysis of rectangular platesM. New York: Elsevier, 1982.2Leissa A W. Vibration of plates (NASA SP 160 M. Washington, D C: Office of Technology Utilization, 1969.3鐘萬(wàn)勰 . 分離變量法與哈密而頓體系 J. 計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)及其應(yīng)用 ,1991, 8(3: 229-240.4鐘萬(wàn)勰 . 彈性力學(xué)求解新體系 M. 大連 : 大連理工大學(xué)出版社 , 1995.5姚