第十三章實數(shù)

1、§13.1平方根教學目標：了解數(shù)的算術平方根及平方根的概念，并會用符號表示；理解平方與開方之間是互為逆運算的關系，會用計算器求一些正數(shù)的算術平方根重點：了解數(shù)的算術平方根及平方根的概念，會求某些非負數(shù)的平方根，會用根號表示一個數(shù)的平方根難點：對大小的估算及如何理解是非負數(shù)以及被開方數(shù)是非負數(shù)；正確區(qū)分算術平方根與平方根第1課時創(chuàng)設情景，導入新課請同學們欣賞本節(jié)導圖，并回答問題，學校要舉行金秋美術作品比賽，小歐很高興，他想裁出一塊面積為25的正方形畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應取多少？如果這塊畫布的面積是？這個問題實際上是已知一個正數(shù)的平方，求這個正數(shù)的問題（

2、引入新課）合作交流，解讀探究討論：1、什么樣的運算是平方運算？2、你還記得120之間整數(shù)的平方嗎？自主探索：讓學生獨立看書，自學教材總結：一般地，如果一個正數(shù)的平方為，即，那么正數(shù)叫做的算術平方根，記為，讀作根號，其中叫做被開方數(shù) 另外：0的算術平方根是0探究：怎樣用兩個面積為1的正方形拼成一個面積為2的大正方形把兩個小正方形沿對角剪開，將所得的四個直角形拼在一起，就的到一個面積為2的大正方形。設大正方形的邊長為，則由算術平方根的意義，即大正方形的邊長為討論：有多大呢？思考：你能舉些象這樣的無限不循環(huán)小數(shù)嗎？應用遷移，鞏固提高例1 求下列各數(shù)的算術平方根100 0.0001 0 點撥：由一個數(shù)

3、的算術平方根的定義出發(fā)來解決問題思考：4有算術平方根嗎？備選例題：要使代數(shù)式有意義，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 總結反思，拓展升華小結：1、算術平方根的定義和性質 2、用計算器求一個正數(shù)的算術平方根拓展：已知的算術平方根是3，的算術平方根是4，是的整數(shù)部分，求的算術平方根課堂跟蹤反饋1、 非負數(shù)的算術平方根表示為_，225的算術平方根是_，0的算術平方根是_2、3、 的算術平方根是_, 的算術平方根_4、 若是49的算術平方根，則=（ ）A. 7 B. 7 C. 49 D.495、 若，則的算術平方根是（ ）A. 49 B. 53 C.7 D .6、 若，求的值。7、 若是的

4、整數(shù)部分，是的小數(shù)部分，試確定、的值。8、 一個自然數(shù)的算術平方根為，那么與這個自然數(shù)相鄰的下一個自然數(shù)的算術平方根是_第2課時創(chuàng)設情景，導入新課復習提問：1、什么數(shù)的平方是49？ 2、平方得81的數(shù)有幾個？分別是什么？ 3、一對互為相反數(shù)的平方有什么關系？交流總結：由問題出發(fā)，認識到平方得一個正數(shù)的數(shù)有2個，并且互為相反數(shù)（引入新課）合作交流，解讀探究自主探索：獨立看書，自學教材想一想：到底什么是平方根，它和我們已經(jīng)認識的算術平方根有何關系？ 什么叫一個數(shù)的平方根？如何用符號表示？ 根據(jù)平方根的定義，只有什么數(shù)才有平方根？ 什么叫開方？如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)叫做的平方根或二次方根，

5、用符號表示為：若；只有非負數(shù)才有平方根；求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方運算。練一練：求下列數(shù)的平方根100 0.25 0總結歸納：1、 正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)2、 0的平方根是03、 負數(shù)沒有平方根討論：平方根與算術平方根之間有什么關系？總結：1、平方根與算術平方根之間的區(qū)別定義不同：如果，那么叫做的平方根。一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0有一個平方根，是0本身；負數(shù)沒有平方根。如果，并且，那么叫做的算術平方根。一個正數(shù)的算術平方根只有一個，非負數(shù)的算術平方根一定是非負數(shù)表示方法不同：正數(shù)的平方根表示為；正數(shù)的算術平方根為平方根等于本身的數(shù)是0；算術平方根等于本身的數(shù)是0或

6、12、平方根與算術平方根之間的聯(lián)系 二者有著包含關系：平方根中包含算術平方根，算術平方根是平方根中的非負的那一個存在條件相同，非負數(shù)才有平方根和算術平方根0的平方根和0的算術平方根都是0應用遷移，鞏固提高例1 說出下列各數(shù)的平方根0.04 例2 說出下列各數(shù)的平方根各是什么？64 0 點評：要從根本之處理解一個數(shù)的平方根的運算，從平方根的概念入手，同時要知道，只有非負數(shù)才有平方根例3 計算 總結反思，拓展升華 小結 1、平方根的定義及符號表示 2、平方根與算術平方根的關系拓展 已知，求：的平方根課堂跟蹤反饋1、 判斷下列說法是否正確 5是25的算術平方根 （ ）是的一個平方根 （ ）的平方根是

7、4 （ ） 0的平方根與算術平方根都是0 （ ） 2、3、若，則，的平方根是4、的平方根是（ ） A. B. C. D. 5、給出下列各數(shù)： ，其中有平方根的數(shù)共有（ ） A. 3個 B. 4個 C. 5個 D. 6個6、若一個數(shù)的平方根等于它本身，數(shù)的算術平方根也等于它本身，試求的平方根。7、求下列各數(shù)中的值 9、 若，求、的值10、如果一個正數(shù)的兩個平方根為和，請你求出這個正數(shù)§13.2 立方根教學目標：了解立方根的概念，會用符號表示一個數(shù)的立方根重點：了解立方根的概念，用立方運算求某些數(shù)的立方根；，會用計算器求某些數(shù)的立方根難點：明確平方根與立方根的區(qū)別，能熟練地求某些數(shù)的立方

8、根創(chuàng)設情景，導入新課出示一個正方體紙盒，提出問題，如果這個正方體的體積為216 ，那么它每條棱長是多少？合作交流，解讀探究觀察 由以上問題，有，即要求一個數(shù)，使它的立方等于216，通過分析，有，那么6就是這個正方體的棱長歸納 如果一個數(shù)的立方等于，這個數(shù)叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根探究 根據(jù)立方根的意義填空，看看正數(shù)、0、負數(shù)的立方根各有什么特點？ 因為，所以8的立方根是（ 2 ） 因為，所以0.125的立方根是（ ）因為，所以8的立方根是（ 0 ）因為，所以8的立方根是（ ）一個正數(shù)有一個正的立方根0有一個立方根，是它本身一個負數(shù)有一個負的立方根任何數(shù)都有唯一的立

9、方根因為，所以8的立方根是（ ） 【總結歸納】 【類比思考】 平方根的表示我們已經(jīng)很清楚了，那么立方根又該如何表示呢？【探究說明】 一個數(shù)的立方根，記作，讀作：“三次根號”，其中叫被開方數(shù)，3叫根指數(shù)，不能省略，若省略表示平方。例如：表示27的立方根，；表示的立方根，【探究】因為所以 = 因為，所以 = 總結 利用開立方和立方互為逆運算關系，求一個數(shù)的立方根，就可以利用這種互逆關系，檢驗其正確性，求負數(shù)的立方根，可以先求出這個負數(shù)的絕對值的立方根，再取其相反數(shù)，即。操作 用計算器求數(shù)的立方根的步驟及方法：用計算器求立方根和求平方根的步驟相同，只是根指數(shù)不同。步驟：輸入 被開方數(shù) = 根據(jù)顯示寫

10、出立方根例：求5的立方根（保留三個有效數(shù)字） 被開方數(shù) = 1.709975947所以 應用遷移，鞏固提高例1 求下列各數(shù)的立方根 8 例2 計算 例3 張叔叔有棱長為的兩個正方體紙箱中裝滿了大米，他將這兩箱大米都倒入了另一個新的正方體木箱中，結果正好裝滿，那么這個新的正方體木箱的棱長大約是多少？（結果精確到） 分析 從一個實際問題中抽象出數(shù)學關系，即一個正方體的體積等于另一個正方體體積的2倍，列式并計算。例4 解方程 分析 我們已經(jīng)學習了立方根，也能由立方根的定義求解（為常數(shù)）這一類型簡單的三次方程。第小題，我們要把看成一個整體，依然轉化成為的形式，再由立方根定義去求解。備選例題 的自變量的

11、取值范圍是（ ） A. 且 B. C. 且 D.全體實數(shù)總結反思，拓展升華小結 1、立方根的概念和性質 2、立方根與平方根的異同比較課堂跟蹤反饋1、 當  0 時，有意義；當 為一切實數(shù) 時，有意義2、 的立方根是 2 ，的平方根是 ±2 ，的立方根是 2 3、 8的立方根與的一個平方根的和等于 1或5 4、 一個自然數(shù)的算術平方根是，那么與這個自然數(shù)相鄰的下一個自然數(shù)的平方根是 ，立方根是 5、 解下列方程 6、已知，且，求的值§13.3實數(shù)(1)教學目標：了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應，能估算無理數(shù)的大小；了解實數(shù)的運算法則及運算律，會進

12、行實數(shù)的運算，會用計算器進行實數(shù)的運算重點：實數(shù)的意義和實數(shù)的分類；實數(shù)的運算法則及運算律難點：體會數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應的；準確地進行實數(shù)范圍內的運算第1課時創(chuàng)設情景，導入新課略合作交流，解讀探究探究 使用計算器計算，把下列有理數(shù)寫成小數(shù)的形式，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 3 ， ， ， ， ，我們發(fā)現(xiàn)，上面的有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)的形式，即 ， ， ， ， ，歸納 任何一個有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式。反過來，任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)觀察 通過前面的探討和學習，我們知道，很多數(shù)的平方根和立方根都是無限不循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù)，也是無理數(shù)結

13、論 有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)試一試 把實數(shù)分類 像有理數(shù)一樣，無理數(shù)也有正負之分。例如，是正無理數(shù)，是負無理數(shù)。由于非0有理數(shù)和無理數(shù)都有正負之分，所以實數(shù)也可以這樣分類： 我們知道，每個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示。無理數(shù)是否也可以用數(shù)軸上的點來表示呢？探究 如圖所示，直徑為1個單位長度的圓從原點沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上的一點由原點到達點O，點O的坐標是多少？ 總結 1、事實上，每一個無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示出來，這就是說，數(shù)軸上的點有些表示有理數(shù)，有些表示無理數(shù)當從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，實數(shù)與數(shù)軸上的點就是一一對應的，即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一

14、個點都是表示一個實數(shù)2、 與有理數(shù)一樣，對于數(shù)軸上的任意兩個點，右邊的點所表示的實數(shù)總比左邊的點表示的實數(shù)大討論 當數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，有理數(shù)關于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實數(shù)嗎？總結 數(shù)的相反數(shù)是，這里表示任意一個實數(shù)。一個正實數(shù)的絕對值是本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0應用遷移，鞏固提高例1 把下列各數(shù)分別填入相應的集合里： 正有理數(shù) 負有理數(shù) 正無理數(shù) 負無理數(shù) 備選例題 下列實數(shù)中是無理數(shù)的為（ ） A. 0 B. C. D. 總結反思，拓展升華小結 1、什么叫做無理數(shù)？2、什么叫做有理數(shù)？3、 有理數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應嗎？4、 無理數(shù)和數(shù)軸上的點一一對

15、應嗎？5、 實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應嗎？課堂跟蹤反饋1、下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（ ）A. B. C. D. 2、已知四個命題，正確的有（ ）有理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù) 有理數(shù)與無理數(shù)之積是無理數(shù)無理數(shù)與無理數(shù)之積是無理數(shù) 無理數(shù)與無理數(shù)之積是無理數(shù)A. 1個 B. 2個 C. 3個 D.4個 3、若實數(shù)滿足，則（ ）A. B. C. D. 4、下列說法正確的有（ ）不存在絕對值最小的無理數(shù)不存在絕對值最小的實數(shù)不存在與本身的算術平方根相等的數(shù)比正實數(shù)小的數(shù)都是負實數(shù)非負實數(shù)中最小的數(shù)是0A. 2個 B. 3個 C. 4個 D.5個 5、的相反數(shù)是 ，絕對值是 1 若，則 6、是實數(shù)，則 2

16、6、 已知實數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示：O化簡 （答案：）第2課時創(chuàng)設情景，導入新課復習導入：1、用字母來表示有理數(shù)的乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律 2、用字母表示有理數(shù)的加法交換律和結合律 3、平方差公式、完全平方公式 4、有理數(shù)的混合運算順序合作交流，解讀探究自主探索 獨立閱讀，自習教材總結 當數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運算，而且正數(shù)及0可以進行開方運算，任意一個實數(shù)可以進行開立方運算。在進行實數(shù)的運算時，有理數(shù)的運算法則及運算性質等同樣適用。討論 下列各式錯在哪里？1、 2、3、 4、當時，【練一練】計算下列各式的值：解： 總結

17、實數(shù)范圍內的運算方法及運算順序與在有理數(shù)范圍內都是一樣的試一試 計算： （精確到0.01） · （結果保留3個有效數(shù)字）總結 在實數(shù)運算中，當遇到無理數(shù)并且需要求出結果的近似值時，可以按照所要求的精確度用相應的近似有限小數(shù)去代替無理數(shù)，再進行計算【練一練】計算提示 式的結構是平方差的形式 式的結構是完全平方的形式總結 在實數(shù)范圍內，乘法公式仍然適用應用遷移，鞏固提高例1 為何值時，下列各式有意義？ 例2 計算求5的算術平方根于的平方根之和（保留3位有效數(shù)字）（精確到0.01） （）（精確到0.01）O例3 已知實數(shù)在數(shù)軸上的位置如下，化簡例4 計算總結反思，拓展升華總結 1、實數(shù)的運

18、算法則及運算律。 2、實數(shù)的相反數(shù)和絕對值的意義課堂跟蹤反饋1、是實數(shù)，下列命題正確的是（ ）A. ，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則2、如果成立，那么實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 3、的相反數(shù)是 ， 的相反數(shù)是4、當時， ， 5、已知、在數(shù)軸上如圖，化簡O 6、在兩個連續(xù)整數(shù)和之間，即，那么、的值是 3 、4 7、計算下列各題 仔細觀察上面幾道題及其計算結果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？根據(jù)這個規(guī)律先寫出下面的結果，并說明理由 解得 13.1 平方根(3課時) 課程目標 一、知識與技能目標 1.通過對平方值的計算等確立平方根的意義、開方的運算。了解算術平方根與平方根的區(qū)別與

19、聯(lián)系。毛 2.對于任意有理數(shù)都能區(qū)分其“”、“”性，運用計算器已勢在必行。 二、過程與方法目標 采用類比平方值的求法，定義出平方根的概念，同時從這個過程可知一個什么樣的數(shù)才具有平方根，這種數(shù)有幾個平方根？并比較這兩個平方根之間有什么關系？ 三、情感態(tài)度與價值觀目標 1.引導學生充分進行交流，討論與探索等教學活動，培養(yǎng)他們的合作與鉆研精神。 2.了解無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程，鼓勵學生大膽質疑，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的熱情。 教材解讀 本節(jié)內容首先給出一個簡單的問題，根據(jù)正方形的面積求出其邊長，由此引出求某數(shù)的平方根的問題，在涉及到不能直接用已有的知識開方時，則引進計算器的使用方法，通過計算器對任意正數(shù)進行開方

20、。這樣將有理數(shù)與無理數(shù)溝通起來成為實數(shù)。 學情分析 上學期已經(jīng)學習了有理數(shù)，對任何數(shù)的形式主義都能夠順利得到，同時也感知了“互為相反數(shù)的平方相等”，故由平方值去探索平方根的問題實際上只是互逆過程，只要求出一個數(shù)的平方就可得知平方根的值。第課時 一、創(chuàng)設情境，導入新課 玲玲家最近喜事不斷，家里新購了一套房子，全家歡歡喜喜地搬進新居，爸爸媽媽又增加了工資。條件改善了，為了給玲玲一個好的學習環(huán)境，爸爸打算給玲玲買一張桌子供她在家做作業(yè)。爸爸問玲玲：“你喜歡長方形桌子還是正方形桌子？”玲玲認為正方形桌子更大，可以多堆點書，又可以有足夠的位置寫字，所以她更喜歡正方形桌子。于是爸爸根據(jù)她的喜愛為她購置了一

21、張正方形桌子，玲玲量了量課桌的邊長為100cm，你能算出這張桌子的周長和面積嗎？當然可以了，可是如果玲玲更直接地告訴爸爸“我想要一張面積約為125dm的正方形桌子”。請問她爸爸能為她購置到滿意的桌子嗎？當然可以，計算正方形的面積必須要知道正方形的邊長，根據(jù)邊長求面積是乘方運算，而根據(jù)面積求邊長又是什么運算呢？這節(jié)課我們就來探討這個問題。 二、師生互動，課堂探究 (一)提出問題,引發(fā)討論 1.你能求出下列各數(shù)的平方嗎? 0,-1,5,2.3,-,-3,3,1, 能.02=0 (-1)2=1 52=25 2.32=5.29 (-)2= (-3)2=9 32=9 12=1 ()2= 2.若已知一個數(shù)

22、的平方為下列各數(shù),你能把這個數(shù)的取值說出來嗎? 25,0,4,-,1.69 能.由于52=25,(-5)2=25,故平方為25的數(shù)為5或-5. 02=0,故平方為0的數(shù)為0. 22=4,(-2)2=4,故平方為4的數(shù)為2或-2. (-)2=,()2=,故平方為的數(shù)為±. (-)2=,()2=,故平方為的數(shù)為±. 對于-這個數(shù),沒有哪個數(shù)的平方等于它,故平方為-的數(shù)找不到. 1.32=1.69,(-1.3)2=1.69,故平方為1.69的數(shù)是±1.3. 又如:課本P160中的問題:小歐要裁一塊面積為25dm2的正方形畫布,由于正方形的面積為邊長的平方,而邊長不可能為

23、負數(shù),故此畫布的邊長應為5dm.依此可得正方形的面積若分別為1,9,16,36,時,此正方形的邊長分別為1,3,4,6, . 由以上討論發(fā)現(xiàn),有時候我們已知一個數(shù)要求這個數(shù)的平方值時,只有一個,也有些時候,我們已知某數(shù)的平方,要求出這個數(shù),發(fā)現(xiàn)此時通?？烧业絻蓚€數(shù),且這兩個數(shù)是互為相反數(shù),而如果是已知某物的面積求其邊長時,其邊長也只有一個值.我們把已知平方值,求原數(shù)的問題稱為求這個數(shù)的平方根. (二)導入知識,解釋疑難 1.教材內容講解 欲確定某數(shù)的平方根時,由以上過程發(fā)現(xiàn),即使有兩個值,這兩個值也是一對互為相反數(shù),因此實際上我們若求出其中一個值,另一個值也就可以根據(jù)求出的數(shù)再寫出它的相反數(shù),

24、我們就可先確定一個正數(shù),把這個正數(shù)稱為所給數(shù)的算術平方根. 一般地,如果一個正數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個正數(shù)x叫做a的算術平方根,a的算術平方根記為,讀作“根號a”,a叫做被開方數(shù).規(guī)定:0的算術平方根是0. 例1 求下列各數(shù)的算術平方根: (1)900 (2)1 (3) (4)196 (5)0 (6)10-6 解:(1)302=900,故900的算術平方根是30,即=30. (2)12=1,故1的算術平方根是1,即=1. (3)()2=,故的算術平方根是,即= (4)142=196,故196的算術平方根是14,即=14. (5)02=0,故0的算術平方根是0,即=0. (6)(1

25、0-3)2=10-6,故10的算術平方根是10-3,即 =10-3 例2:勤儉節(jié)約是中國人的一種美德,濤濤的爺爺是個能工巧匠,他把兩張破損了一部分的桌面重新拼接成一張完整的正方形桌面,其面積為169dm2.已知他用的兩張小桌面也是鋸成了正方形的桌面,其中一張是邊長為5dm的小板子,試問另一張較大的桌面的邊長應為多少dm才能拼出面積為169dm2的桌面? 分析:邊長為5dm的正方形板子,其面積為25dm2,要拼出面積為169dm2的桌面,還需面積為169-25=144dm2的正方形桌面,故問題實際上轉化為求144的算術平方根,即=12. 解:設另一張較大的桌面的邊長為xdm,則有x2+52=15

26、9,x2=169-25=144,而122=144 故144的算術平方根為12,即=12,即另一張桌面的邊長應為12dm. 練習: 1.求下列各式的值: ; ; ; .解:=1.2 =0.1=0.9-0.2=0.7 = (2)若(a-1)2+b-9=0,則的算術平方根是下列哪一個( ) A. B.±3 C.3 D.-3分析:由于(a-1)20.b-90, (a-1)2+b-9=0時,有a-1=0且b-9=0, a=1,b=9, =9,故的算術平方根是3. 3. 有意義嗎?為什么? 分析: 無意義,因為任何數(shù)的平方都是非負數(shù),即a20,故無意義. 2.探究活動 (1)當a為負數(shù)時,a2有

27、沒有算術平方根?其算術平方根與a有什么關系?當a為正數(shù)時,a2的算術平方根如何表示?a為0呢?舉例說明你的結論. (2)x2-x+是否有算術平方根?如有請寫出其算術平方根,如沒有說明為什么? 解:當a為負數(shù)時,a2為正數(shù),故a2有算術平方根,如a=-5時,a2=(-5)2=25, =5,5是-5的相反數(shù),故a2<0時,a的算術平方根與a互為相反數(shù),表示為-a. 當a2為正數(shù)時,a的算術平方根表示為,其值為a,即=a. 當a=0時, =0 由此可知=|a|= (2)因為(x-)2=x2-x+,而(x-)2一定是非負數(shù),故x-x+也是非負數(shù),故x2-x+有算術平方根,其算術平方根的值要視x的

28、取值而定.當x時,x2-x+的算術平方根為x-.當x<時,x2-x+的算術平方根為-(x-)=-x. (三)歸納總結,知識回顧 這節(jié)課主要就平方根中的算術平方根進行討論,求一個數(shù)的算術平方根與求一個正數(shù)的平方冪正好是互逆的過程,因此,求正數(shù)的算術平方根實際上可以轉化為求一個數(shù)的開平方運算.只不過,只有正數(shù)和0才有算術平方根,負數(shù)沒有算術平方根. 練習設計 (一)雙基練習 1.某數(shù)的算術平方根等于它本身,則這個數(shù)為_;若某數(shù)的算術平方根為其相反數(shù),則這個數(shù)為_.2.求下列各式的值:, , , 3.3x-4為25的算術平方根,求x的值. 4.已知9的算術平方根為a,b的絕對值為4,求a-b的

29、值. (二)創(chuàng)新提升 5.已知2a-1的算術平方根是3,3a+b-1的算術平方根是4,求a、b的值. (三)探究拓展 6.若與互為相反數(shù),求xy的算術平方根. 參考答案1.0,1 0; 2.0.4, ,3,0.5,10-1(); 3.x=3 4.a=3,b=±4,則a-b=3-4或3-(-4),故a-b=-1或7. 5.a=5,b=2 6.x=4,y=4,xy=16,xy的算術平方根為4.課后作業(yè)：第2課時 一、創(chuàng)設情境，導入新課某同學用一張正方形紙片折小船，但他手頭上沒有現(xiàn)成的正方形紙片，于是他撕下一張作業(yè)本上的紙，按照如圖，沿AE對折使點B落在點F的位置上,再把多余部分FECD剪

30、下,如果他事先量得矩形ABCD的面積為90cm2,又測量剪下的多余的矩形紙片的面積為40cm2.請根據(jù)上述條件算出剪出的正方形紙片的邊長是多少厘米. 將原矩形紙片的面積減去剩余的矩形紙片的面積即為正方形紙片的面積,正方形紙片的面積為90-40=50cm2,而正方形的面積為邊長的平方,要求正方形的邊長就得算出多少的平方等于50,但我們知道72=49,82=64,50這個數(shù)既不是72,也不是82,由于49<50<64,故此正方形的邊長應大于7而小于8.到底它為多少呢?它是一個小數(shù)嗎?你有什么辦法確定這個值呢?這一系列問題正是我們這節(jié)課要討論的問題. 二、師生互動,課堂探究 (一)提出問

31、題,引發(fā)討論 在實際問題中,往往會遇到像上述情形中的問題,如果在所學過的有理數(shù)中確實找不到合適的數(shù)的平方會等于所給的數(shù),我們該怎么表示所給數(shù)的算術平方根呢? 我們知道,若有正數(shù)x,使x2=a(a0),則x為a的算術平方根,記作x=,于是若x2=50時(x為正數(shù)),則x=,而72<50<82,因此有7<<8,現(xiàn)在我們就來學習如何求的近似值,是不是有理數(shù)呢? (二)導入知識,解釋疑難 1.教材內容講解 在上學期有理數(shù)的乘方運算中,我們已經(jīng)掌握了用計算器求一個數(shù)的平方的方法,現(xiàn)在我們要確定一個數(shù)的平方根,也可借助這種方法進行,我們不妨用計算器驗證7.12,7.12=50.41

32、,而50.41>50,故<7.1,再驗證7.092=50.27>50,故7< <7.09,而7.082=50.12,7.072=49.98,故7.07<<7.08,接著繼續(xù)增加小數(shù)點后一位小數(shù),如7.071,計算7.0712=49.99,而7.0722=50.013,故7.071<<7.072,如此繼續(xù)進行下去,可以發(fā)現(xiàn)將小數(shù)點后的小數(shù)位繼續(xù)增加下去,一直不能窮盡,都只能使7.07的平方值無限接近,因此發(fā)現(xiàn),不可能化為我們以前學過的無限循環(huán)小數(shù),只能化為無限不循環(huán)小數(shù),而有理數(shù)只包括有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)或者整數(shù),但卻不在這些數(shù)的范圍內,只

33、能說這個數(shù)不是有理數(shù),我們把這種數(shù)重新命名為“無理數(shù)”,于是數(shù)的范圍也就擴充了,是否我們可以直接用計算器來計算某一個正數(shù)的算術平方根呢? 只要計算器上有“”鍵或者“”鍵,它就可以用來求某正數(shù)的算術平方根了,但不同的計算器的按鍵順序不相同,只要按計算器的使用方法去按鍵,就可求出任意正數(shù)的算術平方根了. 例1:用計算器計算和,的值. 解:通過按鍵可得的值在計算器上顯示:56,為有理數(shù).的值在計算器上顯示1.414213562,而的值在計算器上顯示2.236067978,的值在計算器上顯示3.16227766.從計算器上顯示的數(shù)都是位數(shù)有限的,因此往往給我們一個印象“這些值都是有理數(shù)”,而事實上我們

34、知道用平方冪驗證它們的平方根時,卻怎么也找不到準確的數(shù),使其平方為2、5、10,于是我們得出:這些數(shù)不是有理數(shù),只是一個無限不循環(huán)小數(shù)即無理數(shù).通過計算器計算出的小數(shù)只能是這些數(shù)的算術平方根的近似值或最接近的值.運用計算器可以很方便地確定一個任意正數(shù)的算術平方根. 活動:怎樣用兩個面積為1的小正方形拼成一個面積為2的大正方形?求出其邊長. 分析:將兩個面積為1的小正方形的面積相加得2,而要拼的大正方形的面積正好為2,于是可知,只要將兩個小正方形剪開再重新拼合成一個正方形即能滿足要求.要確定新正方形的邊長,我們就得確定的值大約是多少,我們知道12=1,22=4,故1<<2,也即是面積

35、為2的正方形的邊長比1大故比原小正方形的邊長大,若沿原小正方形的對角線將兩個小三角形剪開,得四個形狀、大小完全相同的小直角三角形,將這四個直角三角形的直角邊拼接起來得一個新正方形.(如課本圖10.1-1) 使用計算器不僅能很方便地計算出任意一個正數(shù)的算術平方根,而且還能使用計算器找到某些數(shù)的算術平方根之間的關系. 例3:(1)求下列各數(shù)的算術平方根. 0.000001,0.0001,0.01,1,100,10000,1000000 (2)利用計算器計算下列各式的值: 你能找到其中的規(guī)律嗎?把你的發(fā)現(xiàn)用自己的語言敘述出來,并利用你的發(fā)現(xiàn)說出、的近似值(已知1.732),你能根據(jù)的值確定 的值嗎?

36、 解:(1)0.0012=0.000001 =0.001依次可得出=0.01, =0.1, =1, =10, =100, =1000 從中發(fā)現(xiàn)被開方數(shù)在逐漸擴大,并且每次擴大100倍,其算術平方根也在逐漸擴大,但只擴大10倍,于是猜測兩個正數(shù)之間如果滿足b=100a,則有=10,(或者:被開方數(shù)每擴大100倍時,其算術平方根相應地擴大10倍) (2) =0.25 0.79057 7.9057 7.9057 =25 79.057 =250 790.57 比較相應的兩列數(shù)中的被開方數(shù)及其算術平方根,同樣可驗證在題(1)中的規(guī)律,而與中的數(shù)開方數(shù)只擴大了10倍,它們的算術平方根之間沒有規(guī)律可循.故若

37、已知1.732,可知0.1732, 17.32, 173.2,但不能知的值. 2.探究活動 (1)用一塊面積為400cm2的正方形紙片,沿著邊的方向剪出一塊面積為300cm2的長方形紙片,你會怎樣剪? (2)若用上述正方形紙片剪出面積為300cm2的長方形紙片,且其長寬之比為3:2,你又怎樣剪?根據(jù)你的剪法回答:只要利用面積大的紙片一定能剪出面積小的紙片嗎? 解:(1)面積為400cm2的正方形紙片的邊長為20cm,沿著邊的方向剪出一刀,使長方形紙片的面積為300cm2,則其寬為300÷20=15cm,于是只要剪掉5cm寬的長方形紙片即可. (2)若用上述正方形紙片剪出面積為300c

38、m2的長方形紙片,且其長寬之比為3:2,則可設其兩邊為3x和2x,則有3x·2x=300,6x2=300 x2=50,x=,故長方形紙片的長為3cm,寬為2cm,而3>3×7=21cm,21cm比原正方形的邊長20cm更長,這是不可能的. 通過上述兩例發(fā)現(xiàn)利用面積大的紙片不一定能剪出面積小的紙片. (三)歸納總結,知識回顧 通過本節(jié)課的學習可知,并不是所有的正數(shù)的算術平方根都是有理數(shù),這時我們既可以用“”的形式表示,也可以用一個與的值接近的有理數(shù)替代,于是可用計算器算出這個數(shù),但實際上,是一個無理數(shù). 練習設計 (一)雙基練習1. 用計算器求出下列各式的值. - 2.

39、用計算器比較與的大小. 3.在物理學中,用電器中的電阻R與電流I,功率P之間有如下的一個關系式:P=I2R,現(xiàn)有一用電器,電阻為18歐,該用電器功率為2400瓦,求通過用電器的電流I. 4.用邊長為5cm的正方形紙片兩張重新剪開并拼接成一個較大的正方形,其邊長約為多少?(精確到0.01cm) (二)創(chuàng)新提升 5.某地開辟了一塊長方形的荒地,新建一個以環(huán)保為主題的公園.已知這塊荒地的長是寬的2.5倍,它的面積為60000米2. (1)試估算這塊荒地的寬約為多少米?(誤差小于1米) (2)若在公園中建一個圓環(huán)噴水池,其面積為80米2,該水池的半徑是多少?(精確到0.01) (三)探究拓展 6.(1

40、)任意找一個很大正數(shù),利用計算器將該數(shù)除以3,將所得結果再除以3.隨著運算資料的增加,你發(fā)現(xiàn)了什么?換一個數(shù)試試,是否仍有類似的規(guī)律? (2)任意找一個非常大的正數(shù),利用計算器不斷地對它進行開算術平方根,你發(fā)現(xiàn)了什么? 參考答案 1.94.63 111.1 -16.12 0.0733 2. 0.366< 3.I11.55安培 4.約7.07cm 5.(1)寬約為154.92米 (2)r5.05米 6.(1)結果越來越小,趨向于0 (2)結果越來越趨向于1第3課時 一、創(chuàng)設情境,導入新課 同學們,你知道“神舟五號”載人飛船嗎？“神舟五號”載人飛船于2003年10月15日9時整,在中國酒泉衛(wèi)

41、星發(fā)射中心進行首次載人航天發(fā)射,由“長征二號”F型火箭點火升空,這標志著我國的航天事業(yè)又前進了一步,我國在世界上的地位也徒然而升了;當物體達到11.2千米/秒的運動速度時能擺脫地球引力的束縛,在擺脫地球束縛的過程中,在地球引力的作用下它并不是直線飛離地球,而是按拋物線飛行,脫離地球引力后在太陽引力作用下繞太陽運行,若要擺脫太陽引力的束縛飛出太陽系,物體的運動速度必須達到16.7千米/秒,那時將按雙曲線軌跡飛離地球,而相對太陽來說它將沿拋物線飛離太陽.經(jīng)過計算,在地面上,物體的運動速度達到7.9千米/秒時,該速度被稱為第一宇宙速度.第一宇宙速度與哪些因素有關呢?又是如何計算呢? 二、師生互動,課

42、堂探究 (1)前面在第一節(jié)課的學習中,我們計算過了很多互為相反數(shù)的平方,發(fā)現(xiàn)這些數(shù)的平方值會相等,按照我們求正數(shù)x的算術平方根的考慮,若x2=a,則x=稱為a的算術平方根,而x還有一個負值,又該如何稱呢? (2)宇宙飛船離開地球進入軌道正常運行的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)而小于第二宇宙速度v2(米/秒),其中v1、v2滿足v12=gR,v22=2gR,其中g是物理中的一個常數(shù)(重力加速度),g9.8米/秒2,R是地球半徑,R6.4×106米,如何確定v1、v2的值呢?它與算術平方根有什么關系?下面讓我們來逐個分析吧. (二)導入知識,解釋疑難 1.若一個數(shù)的平方等于16,這

43、個數(shù)是多少,又怎樣表示呢? 由于42=16,(-4)2=16,故平方等于16的數(shù)有兩個:4和-4,把4和-4叫做16的平方根,記為4=,則-4= -,把4和-4稱為16的平方根. 一般地,如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根或二次方根,即若x2=a,則x為a的平方根,記為x=±.如3和-3是9的平方根,記為±3是9的平方根,表示為±3=±.把求一個數(shù)a的平方根的運算,叫做開平方,而平方運算與開平方運算互為逆運算.根據(jù)這種運算關系,可以求一個數(shù)的平方根,例如當x2=1時,x=±1;當x2=16時,則x=±4,當x2=36時,

44、x=±6;當x2=49時,x=±7;當x2=,則±為的平方根,依次可記為±,±,±,±,±,它們的對應關系如圖所示. 練習:求下列各數(shù)的平方根. (1)0.49 (2) (3)81 (4)0 (5)-100 解:(1)因為0.72=0.49,(-0.7)2=0.49,所以0.49的平方根為±0.7,即±=±0.7 (2)因為()2=,(-)2= ,所以的平方根為±,即±=± (3)因為92=81,(-9)2=81,所以81的平方根為±9,即

45、77;=±9. (4)因為02=0,所以0的平方根為0,即±=0. (5)因為任何數(shù)的平方都不小于0,找不到平方為-100的數(shù),故-100沒有平方根. 將這些數(shù)的平方根與它們的算術平方根進行比較,正數(shù)(或0)的算術平方根只是它們的平方根中的一部分,是正數(shù)(或0)的那部分,而負的那個值正好是算術平方根的相反數(shù),進一步可歸納出: 正數(shù)的平方根有兩個,它們是一對互為相反數(shù). 0的平方根是0 負數(shù)沒有平方根 例1:求下列各式的值,并根據(jù)這些值寫出各被開方數(shù)的平方根. (1) (2)- (3)± 解:(1)因為1.22=1.44,所以=1.2,1.44的平方根為±1.2,即±=±1.2. (2)因為92=81,所以-=-9,81的平方根