2018合肥市三模數(shù)學(xué)試題-理科(含答案)

1、合肥市 2018 年高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題 (理科)(考試時間：120 分鐘滿分：150 分)第卷一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 .1.已知復(fù)數(shù) z12i( i 為虛數(shù)單位 ) ，則 z =iA.3B.2C.3D.22.已知集合 AxR x22x0， Bx R 2x2x1 0，則CRAIBA.B.1C.1D.1，2213.已知橢圓y2x2( ab0)經(jīng)過點 A5，0，B 0，3，則橢圓 E 的離心率為E : a 2b21A. 2B.5C.4D.533994.已知11，若fxx0，1 2233為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，

2、則實數(shù)的值是A.-1 ，3B.1 ，3C.-1，1 ，3D.1，1，333325.若 l，m 為兩條不同的直線，為平面，且 l，則“ m/”是“ m l ”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6. 已知 1 2 x n n N * 展開式中 x3 的系數(shù)為 80 ，則展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為A.64B.32C.1D.17. 已知非零實數(shù) a，b 滿足 a a b b ，則下列不等式一定成立的是A. a3b3B. a2b2C.11D. log 1alog 1 bab228. 運行如圖所示的程序框圖，若輸出的 s 值為 10，則判斷框內(nèi)的條件應(yīng)該是A.

3、 k3?B.k4?C.k5?D.k 6?9. 若正項等比數(shù)列an滿足 an an 122 nnN*，則 a6a5 的值是A. 2B.162C.2D.16 210. 如圖，給 7 條線段的 5 個端點涂色，要求同一條線段的兩個端點不能同色，現(xiàn)有 4 種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法種數(shù)有A.24B.48C.96D.12011. 我國古代九章算術(shù)將上下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童 . 如圖所示為一個芻童的三視圖，其中正視圖及側(cè)視圖均為等腰梯形，兩底的長分別為 2 和 4，高為 2，則該芻童的表面積為A.125B.40C.16123D.1612512. 已知函數(shù) fxx2x a2 有零點 x

4、1， x2 ，函數(shù)g x x2(a1)x2有零點 x3，x4 ，且 x3x1x4x2 ，則實數(shù) a 的取值范圍是A.9，2B.9，C.(-2，0)D.1，440第卷本卷包括必考題和選考題兩部分 . 第(13) 題第 (21) 題為必考題，每個試題考生都必須作答 . 第(22)題、第(23) 題為選考題，考生根據(jù)要求作答 .二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分. 把答案填在答題卡相應(yīng)的位置 .xy10(13)若實數(shù) x，y 滿足條件 xy10 ，則 z2xy 的最大值為.uurx3 y30uuur(14)已知uuur0，2uuuruuurR ，當(dāng)最小時， t =.OA 2， OB， A

5、Ct AB， tOC3 0(15)在 ABC 中，內(nèi)角 A， B，C 所對的邊分別為 a，b，c . 若 A45o ， 2b sin B csin C2asin A ，且 ABC 的面積等于 3，則 b =.(16)設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為 d ，前 n 項的和為 Sn ，若數(shù)列 Snn 也是公差為 d 的等差數(shù)列，則an =.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(17)(本小題滿分 12 分)已知函數(shù) f x3sin x cosx1 cos 2x.23( ) 求函數(shù) fx 圖象的對稱軸方程；( ) 將函數(shù) fx 圖象向右平移個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為 g x . 當(dāng) x0，

6、時，求函數(shù)42g x 的值域.(18)(本小題滿分 12 分)2018 年 2 月 9-25 日，第 23 屆冬奧會在韓國平昌舉行 .4 年后，第 24屆冬奧會將在中國北京和張家口舉行. 為了宣傳冬奧會，某大學(xué)在平昌冬奧會開幕后的第二天，從全校學(xué)生中隨機抽取了 120名學(xué)生，對是否收看平昌冬奧會開幕式情況進(jìn)行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：收看沒收看男生6020女生2020( ) 根據(jù)上表說明，能否有 99% 的把握認(rèn)為，收看開幕式與性別有關(guān)？( ) 現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且收看了開幕式的學(xué)生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取12人參加 2022年北京冬奧會志愿者宣傳活動 .( ) 問男、女學(xué)生各選取了多

7、少人？( ) 若從這 12 人中隨機選取 3 人到校廣播站開展冬奧會及冰雪項目的宣傳介紹，設(shè)選取的 3 人中女生人數(shù)為 X ，寫出 X 的分布列，并求 E X .附： K2n adbc 2，其中 na b c d .c da c ba bdP K 2k00.100.050.0250.010.005k02.7063.8415.0246.6357.879(19)(本小題滿分 12 分)如圖，在多面體 ABCDE 中，平面 ABD 平面 ABC ， ABAC，AEP1BD ，DEAC，AD=BD=1.2( ) 求AB的長；ED( )已知 2 AC4 ，求點E到平面BCD的距離的最大值 .ACB(20

8、)(本小題滿分12 分)已知拋物線C : y 22 px( p0 )的焦點為 F，以拋物線上一動點 M為圓心的圓經(jīng)過點F.若圓 M的面積最小值為.( ) 求 p 的值；( ) 當(dāng)點 M 的橫坐標(biāo)為1 且位于第一象限時，過M 作拋物線的兩條弦AMFBMF . 若直線 AB恰好與圓 M 相切，求直線 AB的方程.MA，MB，且滿足(21)(本小題滿分 12 分)已知函數(shù) f xex1 x2ax 有兩個極值點 x1， x2 ( e 為自然對數(shù)的底數(shù) ).2( ) 求實數(shù) a 的取值范圍；( ) 求證： fx1f x22 .請考生在第 (22) 、(23) 題中任選一題作答 . 注意：只能做所選定的題

9、目，如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時，請用 2B鉛筆在答題卡上，將所選題號對應(yīng)的方框涂黑 .(22)(本小題滿分 10 分)選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程x12 t在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 l 的參數(shù)方程為2( t 為參數(shù)) ，圓C的方程為2y1t2x 2 2y 1 25 . 以原點O為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 .( ) 求直線 l 及圓C的極坐標(biāo)方程；( ) 若直線 l 與圓 C 交于 A，B 兩點，求 cosAOB 的值 .(23)(本小題滿分 10 分)選修 4-5：不等式選講已知函數(shù) fxx1x3 ( ) 解不等式 fxx1；( ) 設(shè)函數(shù) fx 的最小

10、值為 c ，實數(shù) a，b 滿足 a0 ， b0 ， a bc ，求證： a2b 21 .a 1b1合肥市 2018 年高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題 (理科)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分.題號123456789101112答案DCABABACDCDC二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分.(13)4(14)3(15)3(16)an1 或 an1 n5424三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 .(17)(本小題滿分 12 分)( ) fx3 sin xcos x1 cos2x3 sin 2x1 cos 2x1sin 2 x.23442

11、6令 2 xk ，kZ ，解得 xk62.32函數(shù) f x圖象的對稱軸方程為 xk，kZ . 5 分32( ) 易知 gx1sin2x2.23 x0， 2x22， sin2x21，3 ，233332 g x1sin2x21 ，3 ，2324即當(dāng) x0，時，函數(shù)g x 的值域為1，3 . 12 分224(18)(本小題滿分 12分)2( )因為 K212060 2020 207.56.635，80408040所以有 99% 的把握認(rèn)為，收看開幕式與性別有關(guān) . 5 分( )( ) 根據(jù)分層抽樣方法得，男生 3129 人，女生 1 123 人，44所以選取的 12 人中，男生有 9 人，女生有 3

12、 人. 8 分( ) 由題意可知， X 的可能取值有 0，1，2，3.P XC93C3084，P X1C92C31108 ，0C123C123220220P XC91C3227， P X3C90C331，2220C123220C123 X 的分布列是：X0123P84108271220220220220 E X0841108227313. 12 分2202202202204(19)(本小題滿分 12 分)( ) 平面ABD平面ABC，且交線為AB，而 ACAB， AC平面ABD.又 DEAC， DE平面ABD，從而 DEBD.注意到 BDAE，且 DEAE=E， BD平面ADE，于是， BDA

13、D.而AD=BD=1， AB2 . 5分( ) AD=BD，取AB的中點為 O， DOAB.又平面 ABD平面 ABC， DO平面 ABC.過 O作直線 OYAC，以點 O為坐標(biāo)原點，直線 OB，OY，OD分別為x，y，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz ，如圖所示.記AC 2a，則1 a 2，A2， ，B2， ，0 020 022， ， ， 2， ，2，uuur，uuur2，2.CBC2，2a，0BD22a 0D 0 02E 0 a20r22x， y， z.令平面 BCD的一個法向量為 nuuurr2 x2ay0rBC n0 得，1 ，由. 令 x2 ，得2.uuurr22n2aBDn0

14、x2z 02uuurruuur10， a，0，點 E 到平面 BCD的距離 dDE n.又 DEr| n |41a21a2，當(dāng)a2時，d取得最大值，max1=2 17 . 12 分d17414(20)(本小題滿分 12 分)( ) 由拋物線的性質(zhì)知，當(dāng)圓心 M 位于拋物線的頂點時，圓 M 的面積最小，pP2，解得 p2 .此時圓的半徑為 OF 4 分，24( ) 依題意得，點 M 的坐標(biāo)為(1 ，2) ，圓 M 的半徑為 2.由 F (1，0)知， MFx 軸.由 AMFBMF 知，弦 MA ， MB 所在直線的傾斜角互補， kMAkMB0 .設(shè) kMA k ( k0 ) ，則直線 MA 的方

15、程為 y k x12 ， x1 y21，k代入拋物線的方程得， y241y21 ， y24 y840 ，kkk yA 24 ，yA42 .kk將 k 換成 k ，得 yB42 ，k k AByAyByAyB44.xAxByA 2yB 2y AyB1444設(shè)直線 AB 的方程為 yxm ，即 xy m 0 .由直線 AB 與圓 M 相切得， 3m2 ，解得 m32 2 .2經(jīng)檢驗 m 3 2 2 不符合要求，故 m32 2舍去.所求直線 AB 的方程為 yx 3 22 . 12 分(21)(本小題滿分12 分)( ) f xex1 x2ax ， f x exx a .2設(shè) g x exx a ，

16、則 g x ex1 .令 g x ex 1 0 ，解得 x 0 .當(dāng) x，0 時， g x0 ；當(dāng) x0，時， g x0 . g x ming01a .當(dāng) a1時， gxfx0 ，函數(shù) fx 單調(diào)遞增，沒有極值點；當(dāng) a1時， g01a0 ，且當(dāng) x時， gx；當(dāng) x時， g x.當(dāng) a1 時， gxfxexxa有兩個零點 x1， x2 .不妨設(shè) x1x2 ，則 x10x2 .當(dāng)函數(shù) fx有兩個極值點時， a 的取值范圍為 1，. 5 分( )由( )知， 12 為 gx0的兩個實數(shù)根， 102 ， gx 在，0上單調(diào)遞減.x，xxx下面先證 x1x20 ，只需證 gx2gx10 . g x2

17、ex2x2a 0 ，得 a ex2x2 ， g x2e x2x2ae x2ex22 x2 .設(shè) h xe xex2x ， x0 ，則1xhx0，hxexe 2 0 ，在上單調(diào)遞減， h xh 0 0 ， h x2g x20 ， x1x2 0 .函數(shù) fx 在 x1，0上也單調(diào)遞減， fx1fx2 .要證 fx1fx22，只需證 fx2fx22，即證 ex2e x2x2220 .設(shè)函數(shù) kxexe xx22， x0，則 kxexe x2x .設(shè)xk xexe x2x ，則xexe x2 0 ，x在0，上單調(diào)遞增，x00，即 kx0 . kx在 0，上單調(diào)遞增， kxk00 .當(dāng) x 0，時， e

18、xe xx220 ，則 ex2e x2x222 0 ， fx2fx22 ， fx1fx22 . 12 分(22) (本小題滿分 10 分)選修 4-4 ：坐標(biāo)系與參數(shù)方程x12t2得，其普通方程為 yx 2 ，( ) 由直線 l 的參數(shù)方程2 ty12直線 l 的極坐標(biāo)方程為sincos2 .又圓 C 的方程為 x2 2y1 25 ，xcos4cos2sin，將代入并化簡得ysin圓 C 的極坐標(biāo)方程為4cos2sin . 5 分( ) 將直線 l ： sincos2 ，與圓C：4cos2sin聯(lián)立，得 4cos2sinsincos2 ，整理得 sincos3cos2，或 tan3 .2不妨記點 A對應(yīng)的極角為，點 B對應(yīng)的極角為，且 tan =3 .2于是， cosAOBcossin3 10. 10分210(23) (本小題滿分 10 分)選修 4-5 ：不等式選講( ) f xx 1 ，即 x 1 x 3 x 1 .(1)