函數與映射課程 教案

1、.適用學科高中數學適用年級高中一年級適用區(qū)域人教版區(qū)域課時時長（分鐘）2課時知識點函數的概念函數的三要素（定義域、值域、對應法則）區(qū)間的意義及表示解析法列表法圖象法分段函數及其應用映射的概念教學目標1. 了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域；了解映射的概念；2. 會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖象法、列表法、解析法）表示函數；3. 通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用；4. 學會運用函數圖象理解和研究函數的性質.教學重點運用函數圖象理解和研究函數的性質.教學難點運用函數圖象理解和研究函數的性質.【教學建議】1. 對映射概念的認識 (1) 與是不同的，即A與B方向上是

2、有序的.或者說：映射是有方向的， (2) 輸出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到對應的輸入值.集合A中每一個輸入值，在集合B中必定存在唯一的輸出值.或者說：允許集合B中有剩留元素；允許多對一，不允許一對多. (3)集合A，B可以是數集，也可以是點集或其它類型的集合. 2.對函數概念的認識（1）對函數符號的理解知道與的含義是一樣的，它們都表示y是x的函數，其中x是自變量，是函數值，連接的紐帶是法則. (2)注意定義中的集合 A，B都是非空的數集,而不能是其他集合；（3）函數的三種表示法：解析法，列表法，和圖像法.【知識導圖】教學過程一、導入函數是整個高中數學的重點，其中

3、函數思想是最重要的數學思想方法，在未來的高考中可以說的得函數者得天下.對本部分內容的考察形勢穩(wěn)中求變，向著更靈活的的方向發(fā)展，對于函數的概念及表示多以下面的形式出現：通過具體問題（幾何問題、實際應用題）找出變量間的函數關系，再求出函數的定義域、值域，進而研究函數性質，尋求問題的結果.復習預習下列各組函數中，表示同一函數的是()Af(x)|x|，g(x)Bf(x)，g(x)()2Cf(x)，g(x)x1Df(x)·，g(x)二、知識講解考點1 函數的基本概念胞 (1)函數的定義設A，B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f

4、(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數，記作yf(x)，xA.(2)函數的定義域、值域在函數yf(x)，xA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合f(x)|xA叫做函數的值域顯然，值域是集合B的子集(3)函數的三要素：定義域、對應關系和值域(4)函數的表示法：表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法 考點2 映射的概念設A，B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射函數的基本概念考點3 函

5、數解析式的求法求函數解析式常用方法有待定系數法、換元法、配湊法、消去法三 、例題精析類型一 函數的基本概念例題1有以下判斷：f(x)與g(x)表示同一函數；函數yf(x)的圖象與直線x1的交點最多有1個；f(x)x22x1與g(t)t22t1是同一函數；若f(x)|x1|x|，則0.其中正確判斷的序號是_【解析】對于，由于函數f(x)的定義域為x|xR且x0，而函數g(x)的定義域是R，所以二者不是同一函數；對于，若x1不是yf(x)定義域內的值，則直線x1與yf(x)的圖象沒有交點，如果x1是yf(x)定義域內的值，由函數定義可知，直線x1與yf(x)的圖象只有一個交點，即yf(x)的圖象與

6、直線x1最多有一個交點；對于，f(x)與g(t)的定義域、值域和對應關系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函數；對于，由于0，所以f(0)1.綜上可知，正確的判斷是.【總結與反思】函數的值域可由定義域和對應關系唯一確定；當且僅當定義域和對應關系都相同的函數才是同一函數值得注意的是，函數的對應關系是就效果而言的(判斷兩個函數的對應關系是否相同，只要看對于函數定義域中的任意一個相同的自變量的值，按照這兩個對應關系算出的函數值是否相同)例題2函數f(x)的定義域為_ 【答案】1，)【解析】分段函數的定義域是各定義域的并集.例題3(1)函數f(x)的定義域為()A(1,2) B(1,0)(0,2)

7、C(1,0) D(0,2)(2)已知函數f(x)的定義域為1,2，則函數g(x)的定義域為_【答案】（1）C （2），1)【解析】(1)f(x)有意義，則解之得1<x<0，f(x)的定義域為(1,0)故選C(2)要使函數g(x)有意義，則必須有，x<1，故函數g(x)的定義域為，1)【總結與反思】(1)求函數的定義域，其實質就是以函數解析式所含運算有意義為準則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集(2)已知f(x)的定義域是a，b，求fg(x)的定義域，是指滿足ag(x)b的x的取值范圍，而已知fg(x)的定義域是a，b，指的是xa，b類型三 映射例題1下列對應不是映射的

8、是()答案D解析結合映射的定義可知A，B，C均滿足M中任意一個數x，在N中有唯一確定的y與之對應，而D中元素1在N中有a，b兩個元素與之對應，故不是映射例題2判斷下列對應是不是從集合A到集合B的映射：(1)AN*，BN*，對應關系f：x|x3|；(2)A平面內的圓，B平面內的矩形，對應關系f；作圓的內接矩形；(3)A高一(1)班的男生，BR，對應關系f：每個男生對應自己的身高；(4)Ax|0x2，By|0y6，對應關系f：xyx.答案 同解析解析(1)A中元素3在對應關系f的作用下與3的差的絕對值為0，而0B，故不是映射(2)因為一個圓有無數個內接矩形，即集合A中任何一個元素在集合B中有無數個

9、元素與之對應，故不是映射(3)對A中任何一個元素，按照對應關系f，在B中都有唯一的元素與之對應，符合映射定義，是映射(4)因為A中每一個元素在f：xyx作用下對應的元素構成的集合Cy|0y1B，符合映射定義，是映射【總結與反思】要判斷兩個集合能否構成映射，一般從映射的定義入手若滿足映射定義就能構成映射；若不滿足映射定義，只要舉一反例，即說明集合A中的某一元素在B中無對應元素即可類型二 求函數的解析式例題1(1)如果f()，則當x0且x1時，f(x)等于()A.B.C.D.1(2)已知f(x)是一次函數，且滿足3f(x1)2f(x1)2x17，則f(x)_.(3)已知函數f(x)的定義域為(0，

10、)，且f(x)2f()·1，則f(x)_.【解析】(1)令t，得x，f(t)，f(x).(2)設f(x)axb(a0)，則3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17不論x為何值都成立，解得f(x)2x7.(3)在f(x)2f()1中，用代替x，得f()2f(x)1，將f()1代入f(x)2f()1中，可求得f(x).【總結與反思】函數解析式的求法(1)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)，可用待定系數法；(2)換元法：已知復合函數f(g(x)的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍；(3)配湊法：由已知條件f(g(x)F

11、(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)消去法：已知關于f(x)與或f(x)的表達式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x). 例題2(1)已知函數f(x)若f(a)f(1)0，則實數a的值等于()A3B1C1D3(2)設函數yf(x)在R上有定義對于給定的正數M，定義函數fM(x)則稱函數fM(x)為f(x)的“孿生函數”若給定函數f(x)2x2，M1，則fM(0)的值為()A2B1C.D【答案】（1）3 （2）1【解析】(1)由題意知f(1)212.f(a)f(1)0，f(a)20.當a>0時，

12、f(a)2a20無解；當a0時，f(a)a1，a120，a3.(2)由題設f(x)2x21，得當x1或x1時，fM(x)2x2；當1<x<1時，fM(x)1.fM(0)1.【總結與反思】(1)應用分段函數時，首先要確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應關系代入計算求解，特別要注意分段區(qū)間端點的取舍，當自變量的值不確定時，要分類討論(2)若給出函數值或函數值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍時，應根據每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量值是否符合相應段的自變量的取值范圍例題3函數y|x|的圖象是()答案B解析因為y|x|所以B選項正確例題4如圖，在邊長為4的正方形ABCD

13、的邊上有一點P，沿折線BCDA由點B(起點)向點A(終點)運動，設點P運動的路程為x，APB的面積為y.(1)求y關于x的函數關系式y(tǒng)f(x)；(2)畫出yf(x)的圖象；(3)若APB的面積不小于2，求x的取值范圍解析(1)(2)yf(x)的圖象如下圖所示(3)即f(x)2，當0x4時，2x2，x1，當8<x12時，2(12x)2，x11，x的取值范圍是1x11.總結與反思利用分段函數求解實際應用題的策略(1)首要條件：把文字語言轉換為數學語言(2)解題關鍵：建立恰當的分段函數模型(3)思想方法：解題過程中運用分類討論的思想方法四 、課堂運用基礎1.函數y=1-2x的定義域為（ ）A.

14、0，) B.(，0C.(0，) D.(，0)2.已知A1,2,3，9，BR，從集合A到集合B的映射f：x.(1)與A中元素1相對應的B中的元素是什么？(2)與B中元素相對應的A中的元素是什么？3.已知函數f(x)求f(f()的值4.在下列的四個圖象中，是函數f(x)的圖象的是()答案與解析1.【答案】B【解析】：12x0,2x120，x0.故選B.2. 【答案】，4【解析】 (1)A中元素1，即x1，代入對應關系，得，即與A中元素1相對應的B中的元素是.(2)B中元素，即，解得x4，因此與B中元素相對應的A中的元素是4.3.【答案】1【解析】f()×232，f(2)2×(2

15、)31，f(f()f(2)1.4.【答案】C【解析】略鞏固1. 試判斷以下各組函數是否表示同一函數？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n1（nN*）；（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1 .2. a，b為實數，集合M，Na,0，f：x2x表示把集合M中的元素x，映射到集合N中為2x，求ab的值3. （1）設函數（2）設函數f（x），則滿足f（x）=的x值為.答案與解析1.【答案】同解析【解析】（1）由于f（x）=|x|，g（x）=x，故它們的值域及對應法則都不相同，所以它們不是同一函數；（2）由

16、于函數f（x）=的定義域為（，0）（0，+），而g（x）=的定義域為R，所以它們不是同一函數；（3）由于當nN*時，2n±1為奇數，f（x）=x，g（x）=（）2n1=x，它們的定義域、值域及對應法則都相同，所以它們是同一函數；（4）由于函數f（x）=的定義域為x|x0，而g（x）=的定義域為x|x1或x0，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數；（5）函數的定義域、值域和對應法則都相同，所以它們是同一函數.2.【答案】2【解析】由題意知，集合M中的元素1只能對應集合N中的a，故a2，故N2,0，而M中的可能對應集合N中的2或0，當對應2時，則1，即b2，此時集合M中有兩個相同元素，

17、不合適，故b2應舍去，當對應0時，則0，即b0.此時M0,1，符合題意，綜上可知a2，b0，即ab2.3. 【答案】（1）98，（2）3【解析】（1）這是分段函數與復合函數式的變換問題，需要反復進行數值代換，（2）當x（，1，值域應為，當x（1，）時值域應為（0，），y，y（0，）此時x（1，）log81x，x813.拔高1. 求下述函數的定義域：（1）；（2）2.在如圖的對應關系中，哪些對應不是集合A到集合B的映射()A、 B、C、D、3.已知函數f(x)(1)求f(5)，f()，f(f()的值；(2)若f(a)3，求實數a的值；(3)若f(m)>3m5(m2)，求實數m的取值范圍4.

18、 某市出租車的計價標準是：4 km以內10元，超過4 km且不超過18 km的部分1.2元/km，超過18 km的部分1.8元/km.(1)如果不計等待時間的費用，建立車費與行車里程的函數關系式；(2)如果某人乘車行駛了20 km，他要付多少車費？答案與解析1.【答案】同解析【解析】（1），解得函數定義域為.（2），（先對a進行分類討論，然后對k進行分類討論），當a=0時，函數定義域為；當時，得，1）當時，函數定義域為，2）當時，函數定義域為，3）當時，函數定義域為；當時，得，1）當時，函數定義域為，2）當時，函數定義域為，3）當時，函數定義域為。2.【答案】D【解析】由圖知中元素a1在B中對

19、應元素不唯一，中元素a2在B中無象，都不是映射，是映射，故選D.3.【答案】 （1）-4，32，；（2）a1，或a2（3）m2,4)【解析】 (1)由5(，2，(2,2)，(，2，知f(5)514，f()()22()32.f()1，而2<<2，f(f()f()()22×()3.(2)當a2時，a13，即a2>2，不合題意，舍去當2<a<2時，a22a3，即a22a30.所以(a1)(a3)0，得a1，或a3.1(2,2)，3(2,2)，a1符合題意當a2時，2a13，即a2符合題意綜上可得，當f(a)3時，a1，或a2.(3)m2，f(m)2m1，即2m

20、13m5，解得m4，又m2，m的取值范圍為2,4)4.【答案】C【解析】(1)設車費為y元，行車里程為x km.則根據題意得y(2)當x20時，y1.8×205.630.4，即當乘車20 km時，要付車費30.4元五 、課堂小結本節(jié)講了3個重要內容：1 函數的基本性質2映射3. 求函數的解析式六 、課后作業(yè)基礎1.(1) 下列函數中，與函數 yx 相同的是( ) A.(x)2 B.3x3 C.x2 D.x2x(2)函數y=3-2x-x2的定義域是_2.函數f(x)，若f(x)3，則x的值為()A1 B1或 C. D.3.函數y的定義域為_4.已知是一次函數，ffx=4x-1，求的解析

21、式.答案與解析1.【答案】(1)B;(2) 3,1【解析】(1)略;(2) 解析：要使函數有意義，必須32xx20，即x22x30，解得3x1.2.【答案】D【解析】略3.【答案】(，0)(0，)【解析】每段函數自變量的取值范圍的并集是分段函數的定義域，即(，0)(0，)4.【答案】f（x）=2x-13或-2x+1.【解析】設f（x）=kx+b（k0），則ff（x）=f（kx+b）=k（kx+b）+b=k2x+kb+b=4x-1，根據多項式相等得出，k2=4,kb+b=-1，解得k2，b13， 或k-2，b1因此所求的函數解析式為：f（x）=2x-13或-2x+1故答案為：f（x）=2x-13

22、或-2x+1.鞏固1. 已知函數 f(x)的定義域為(1,0)，則函數f(2x1)的定義域為( )2. 設f：xax1為從集合A到B的映射，若f(2)3，則f(3)_.3. 已知函數f(x)(1)求f(1)，f(f(f(2)的值；(2)求f(3x1)；(3)若f(a)，求a.4. 已知函數f(x)對任意的xR, 都滿足f(x)+2f(-x)=3x-2,求f（x）解析式.答案與解析1.【答案】B【解析】-1<2x+1<0，-1<x<-12，函數f(2x+1)的定義域為（-1,-12）,故選B2.【答案】5【解析】f(2)2a13，a2，f(x)2x1，f(3)5.3.【答

23、案】同解析【解析】 (1)因為11(1)1，所以f(1)f()23.因為f(2)1，f(f(2)f(1)2，所以f(f(f(2)f(2)1.(2)當3x11，即x時，f(3x1)1；當12x11，即0x時，f(3x1)(3x1)219x26x2；當3x11，即x0時，f(3x1)2(3x1)36x1.綜上，f(3x1) (3)當a1時，f(a)1，所以a21；當1a1時，f(a)a21，所以a±1,1；當a1時，f(a)2a3，所以a1(舍去)綜上，a2或a±.4.【答案】f(x) =-3x- 23【解析】f(x)+2f(-x)=3x-2（1）把x用-x替代得：f(-x)+2f(x)=-3x-2（2）(2)×2-(1)得：4f(x)-f(x)=-6x-4-(3x-2)3f(x)=-9x-2f(x) =-3x- 23拔高1.已知函數定義域為(0，2)，求下列函數的定義域：(1) ； (2)2判斷下列對應是否構成映射(1)A1,2,3，B7,8,9，f(1)f(2)7，f(3)8；(2)AZ，B1,1，n為奇數時，f(n)1，n為偶數時，f(n)1；(3)AB1,2,3，f(x)2x1；(4)A