高一數(shù)學實數(shù)與向量的積人教版知識精講

1、用心 愛心 專心高一數(shù)學高一數(shù)學實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量的積人教版人教版【同步教育信息同步教育信息】一. 本周教學內(nèi)容：實數(shù)與向量的積二. 重點、難點：1. 實數(shù)與向量的積的定義和運算律2. 向量共線的充要條件3. 平面向量的基本定理【典型例題典型例題】例 1 設1e、2e是兩個不共線的向量，已知：212eKeAB，213eeCB，212eeCD，若 A、B、D 三點共線，求實數(shù) K 的值。解：解：2121214)3()2(eeeeeeCBCDBD 由三點 A、B、D 三點共線等價于向量AB與BD共線，由向量共線的充要條件知，存在實數(shù)，使得BDAB，即2121214)4(2eeeeeKe 由平

2、面向量的基本定理，則有42K 解得8例 2 證明向量OA、OB、OC的終點 A、B、C 共線的充要條件是OBOAOC，其中實數(shù)、滿足1。ABCO證明：證明：先證必要性，如圖若 A、B、C 三點共線，則AB與AC共線，由向量共線的充要條件知：存在實數(shù)t，使得ABtAC 。 即)(OAOBtOAOC OBtOAtOC)1 ( 令t1，t，則有OBOAOC，且1 再證充分性，由OBOAOC，且1，則OBOAOC)1 ( 故有)(OAOBOAOC注：注：上述結(jié)論可推廣為以下一段形式，對于0，向量ba與ba共線的充要條件是a與b共線。 事實上，若a與b至少有一個為0時，命題顯然成立，下面對a與b均不為0

3、時加以證明。 充分性，由ba/，則存在唯一Rt ，使bta ，故btba)(用心 愛心 專心 btba)( 若0t，則0ba，故 ba與ba共線 若0t，則)(battba 故ba與ba共線必要性，當0ba時，由0，則ba，即ba/當0ba時，則存在唯一Rt ，使)(batbabtat)1 ()1 ( 由0a，0b，故1t，則btta) 1() 1( 故ba/例 4 如圖，O 是平行四邊形 ABCD 中心，E、F 分別在邊 AB、CD 上，且21FDCFEBAE，用向量方法證明 E、O、F 三點共線。ABCDFOE證明：證明：設ABa BCb BCABABBACBABCAAEOAOE21613

4、1)(213121 ba2161 BCABABBCABCDACCFOCOF216131)(213121 ba2161 故OFOE 即OE與OF共線例 5 如圖，在ABC中，31ABAM，41ACAN，BN 與 CM 相交于 P，設aAB ，bAC ，試用a、b表示AP。ABCPNM解：解：由已知aABAM3131 bACAN4141 由 M、P、C 三點共線，則存在唯一Rt ，使MCtMP 用心 愛心 專心 則ACtAMtAP)1 ( 于是MCtABMPAMAP31 )(31AMACtabtatabta)331()31(31設NBsNP 同理ABsANsAP)1 (NBsACNPANAP41a

5、sbs)441(故有asbsbtat)441()331( 由a與b不共線，故441331stst解得：113112st 所以baAP112113例 6 已知點 P 為ABC內(nèi)一點，且0543CPBPAP，設aAB ，bAC 。（1）用a、b表示AP（2）延長 AP 交 BC 于 D，用a、b表示AD解：解：（1）由已知0543CPBPAP 又由ABAPBP ACAPCP 則0)(5)(43ACAPABAPAP 即0)(5)(43bAPaAPAP baAP5412 baAP12531（2）設APtAD 則btatAD1253 設SBCBD，則)(abSBCSBD bSaSabSaBDABAD)1

6、 ()(用心 愛心 專心 由于bSaSbtat)1 (1253，又由a與b不共線則StSt12513 953411254Stt baAD95)951 ( 即babaAD959495)951 (例 7 如圖ABC的重心為 G，O 為始點，設aOA 、bOB 、cOC ，試用a、b、c表示OG。CDBAOG解：解：由 D 為 BC 中點，則)(21OCOBOD 又由 G 為ABC重心，則GDAG2，而OAOGAG，OGODGD 即)(2OGODOAOG OCOBOAODOAOG23 )(31cbaOG【模擬試題模擬試題】一. 選擇題：1. 如果1e、2e是平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么以下命題中正

7、確的是（ ）A. 若實數(shù)、滿足021ee，則0B. 對平面內(nèi)的任一向量a，使21eea的實數(shù)、有無數(shù)對C. 對實數(shù)、向量21ee不一定在平面內(nèi)D. 空間任一向量a都可以表示為21eea此處、是實數(shù)2. 命題 P：ABC及點 G 滿足0GCGBGA，命題q：G 是ABC的重心，則P 是q的（ ）A. 充分不必要條件B. 必要非充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件3. 已知 G1、G2分別是111CBA與222CBA的重心，且aAA21，bBB21，cCC21，則21GG等于（ ）用心 愛心 專心A. )(21cbaB. )(31cbaC. )(31cbaD. )(32cba4. 設命

8、題 P：向量b與a共線，命題q：有且只有一個實數(shù)使得ab，則p是q的（ ）條件A. 充非必 B. 必非充 C. 充要 D. 非充非必二. 填空題：5. 若aOA ，bOB ，PBAP，則OP ，當 P 是 AB 的三等分點（離 A 較近），則OP 。6. 已知a與b不共線，bKaMN，balMP（Rlk,），則 M、N、P 共線的充要條件是 。7. 設1e，2e為兩非零不共線向量，21eeAB，2182eeBC，)(321eeCD，若向量21eeK與21eKe 共線，則 K= 。三. 解答題：8. 在ABC中，D 是內(nèi)分ABC的 AB 邊為3:1的點，E 是內(nèi)分邊 AC 為1:2的點，F(xiàn)為線段

9、 BE 與 CD 交點，設aAB ，bBC ，試用向量a、b表示BF。9. 已知 E 是平行四邊形邊 BC 的中點，AE 交 BD 于 F，求證BDBF31?！驹囶}答案試題答案】一. 選擇題：1. A 2. C 3. B 4. B二. 填空題：5. ba111；ba31326. 1Kl，由MPMN，即)(balbKa解得7. 1K，由)(2121eKeeeK，即KK1解得三. 解答題：8. 解：如圖BABCBE3132 由 C、F、D 共線，故存在Rt 使 BCtBDtBF)1 (BCtBAt)1 (43 又由BFBE /，故存在R使BEBF 即BABCBCtBAt332)1 (43用心 愛心 專心 故323)1 (43tt 解得109，53t 所以baBCBABF5310353103A