空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)一.知識(shí)要點(diǎn)。1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示.同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量 （2）向量具有平移不變性2. 空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）MBgouOAMBgora運(yùn)算律：加法交換律：abba加法結(jié)合律：（a b） c a （b c）數(shù)乘分配律：（a b） a b運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則3. 共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，a平行于b，記作

2、a / b。（2） 共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a、b （ b工0 ）, a/b存在實(shí)數(shù) 入使a = 7b（3）三點(diǎn)共線：A、B、C三點(diǎn)共線<=>AB AC<=> OC xOA yOB（其中 x y 1）a（4）與a共線的單位向量為a4. 共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。 說明：空間任意的兩向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，p與向量a,b共面的條件是存在實(shí)數(shù)rrrx, y 使 r xa yb。（3）四點(diǎn)共面：若A、B、C、P四點(diǎn)共面v=>AP xAB yAC<=> OP xOA yOB5.

3、空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a 個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y, z，使p x<azOC （其中x不共面，rzc。r c r b rb,Vy z 1）那么對(duì)空間任一向量 p，存在一r r rr r rr r r若三向量a,b,c不共面，我們把a(bǔ),b,c叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c叫做基向量， 空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：設(shè)o,a,b,c是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn) p，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)uuuuuuuuu uuurX, y, Z，使 OP xOA yOB zOC。6.空間向量的直角坐標(biāo)系：(1)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系O xyz中，對(duì)空

4、間任一點(diǎn)a，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x, y,z)，使 OA xi yi zk，有序?qū)崝?shù)組(x, y, z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系O xyz中的坐標(biāo)，記 作A(x, y,z)， x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)。注：點(diǎn)A(x,y,z)關(guān)于x軸的的對(duì)稱點(diǎn)為(x,-y,-z),關(guān)于xoy平面的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y,-z). 即點(diǎn)關(guān)于什么軸/平面對(duì)稱，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反。在y軸上的點(diǎn)設(shè)為(0,y,0),在平面yOz中的點(diǎn)設(shè)為(0,y,z)(2)若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為1，這個(gè)基底叫單位正交基底，r r r用i,j,k表示?？臻g中任一向量a xi yj zk=(x,y

5、,z)(3)空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：rrrr若 a，b(b,b2,b3)，則 ab佝 b1,a2b2,a3b?)，a b r r(印 ga? b2,a3 d)， a ( a1, a?, a3)(R)，a b r ra1b1a2b2a3b3，a/b r ra1"a? b2,a3 bs( R)，a baQ a2b2 a3b30。uuu 若 AdyiH)，BXz)，則 AB (x?捲必zj。一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起 點(diǎn)的坐標(biāo)。 定比分點(diǎn)公式：若A(xi,yi,zi)， Bgz)，A PB，則點(diǎn)P坐標(biāo)為為x2 y1y2 z1z2( , , )

6、。推導(dǎo)：設(shè) P( x,y,z)則(x x!,y %,z 勒 區(qū) x$2 g z),顯然，當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，P(x1魚,必'，互互)2 2 2 ABC中，A,三角形重心P坐標(biāo)為乙 Z2 Z3 )2丿XiX2X3yiy2y3P( 32厶ABC勺五心:Z2Z3內(nèi)心P：內(nèi)切圓的圓心,角平分線的交點(diǎn)AP (AB AC)(單位向量)ABAC外心P:外接圓的圓心,中垂線的交點(diǎn)。垂心P：高的交點(diǎn)：PA PB PA PC重心|pa| |pb |pc(移項(xiàng)，內(nèi)積為0，則垂直)1 - (AB AC)3PB PCP:中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)(中位線比) AP中心：正三角形的所有心的合一。、 rr(4) 模長(zhǎng)公式：

7、若 a 總耳),b (bi,b2,b3),則|a | a a 心2 a a?2 , |b| . b b 、g2 以2r rc“ I bra brqE a2b2 aA(5) 夾角公式：cos a bf r |a| |b| 屆2 2 2 .2 .2 | 2 °a2 S3 Xb1b2 b3 ABC中AB ? AC 0 <=>A為銳角AB? AC 0 <=>A為鈍角，鈍角 (6)兩點(diǎn)間的距離公式：若 A(Xi, yi,Zi) , B(X2,y2,Z2),貝S | AB | AF ,(X2 xi)2 (y2 yi)2 (Z2 Z1)2 ,或 dA,B.(X2 Xi)2

8、(y2 yi)2 (Z2 乙)27.空間向量的數(shù)量積。(1 )空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量r Luu ra,_OB b ，貝y aob叫做向量a ，顯然有a,b b,aa,b，在空間任取一點(diǎn) O，作 rr ra與b的夾角，記作 a,b ；且規(guī)定a,b，顯然有a,b b,a ；若a,b，則稱a與b互相垂直，記作：a b2(2) 向量的模：設(shè)oa a,則有向線段oa的長(zhǎng)度叫做向量a的長(zhǎng)度或模，記作：|a|。rr(3) 向量的數(shù)量積：已知向量a,b，則| a | | b | cos a,b 叫做a,b的數(shù)量積，記rrr作a b，即 a b |a| |b| cos a,b空間向量數(shù)量積的性質(zhì)

9、：r , rr re |a |cos a,e ?？臻g向量數(shù)量積運(yùn)算律：r r r rra) b(a b) a ( b)。 a b b a (交換律)。uuuOA(4)a(5)(20。|a| a a。r r rr rr r a （b c）a b a c （分配律）。 不滿足乘法結(jié)合率：（a b）c a（b c）二.空間向量與立體幾何1線線平行兩線的方向向量平行1- 1線面平行線的方向向量與面的法向量垂直1- 2面面平行兩面的法向量平行2線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直2- 1線面垂直線與面的法向量平行2- 2面面垂直兩面的法向量垂直3線線夾角（共面與異面）0°,90°

10、兩線的方向向量ni, n2的夾角或夾角的補(bǔ)角，-Pcos cos n1,n23- 1線面夾角0°,90°:求線面夾角的步驟：先求線的方向向量AP與面的法向量n的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，貝S取其補(bǔ)角；再求其余角，即是線面的夾角.sin cos AP,n3- 2面面夾角（二面角）0°,180°:若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量m,n2的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角.Pcos cos n, n2uuuPQ?n|4.點(diǎn)面距離h :求點(diǎn)P x°,y°至U平面 的距離：在平面 上去一點(diǎn)Q x,y，得向量

11、PQ .；計(jì)算平面的法向量n ;. h:轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離4- 1線面距離（線面平行）:轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離4- 2面面距離（面面平行）【典型例題】1. 基本運(yùn)算與基本知識(shí)（）例1.已知平行六面體ABCD ABCD，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量UULT uuuumr UULT UULT（1）AB BC ;（2） AB AD AA ;uur uuir 1 uuuu1 uuu uuu uult AB AD -CC ；（AB AD AA）。23例2.對(duì)空間任一點(diǎn)0和不共線的三點(diǎn) uuu uuuuuuuuurOP xOA yOB zOC （其中 x y zA, B,C，問滿足向量式：1 ）的四點(diǎn)P,A

12、, B,C是否共面?例 3 已知空間三點(diǎn) A（0，2, 3），B （-2, 1, 6）, C （1,- 1, 5） 求以向量AB, Ac為一組鄰邊的平行四邊形的面積 S;uiu uuur若向量a分別與向量AB,AC垂直，且 向=、.3，求向量a的坐標(biāo)。2.基底法（如何找，轉(zhuǎn)化為基底運(yùn)算）3.坐標(biāo)法（如何建立空間直角坐標(biāo)系，找坐標(biāo)）如圖，在空間四邊形 OABC中，OA 8, AB 6, AC 4 , BC 5, OAC 45o,4.幾何法例4.例 5.長(zhǎng)方體 ABCD A1B1C1D1 中，AB 交點(diǎn)，又AF BE，求長(zhǎng)方體的高BB1。135o易錯(cuò)寫成OOA, Ac 45o，切記!BC 4 ,

13、E為A®與BD的交點(diǎn)，F(xiàn)為BG與B的【模擬試題】1.已知空間四邊形ABCD，連結(jié)AC,BD ,設(shè)M,G分別是BC,CD的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各表達(dá) 式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果向量：（1）AB BC C背；u 1 uuu uuu(2) AB (BD BC)；2uuir 1 uuu UULT(3) AG (AB AC)。22. 已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點(diǎn)0引向量UUL UULULJU UUU ULUTULUT ULUT UUTOE kOAOF kOB,OG kOC,OH kOD。（1）求證：四點(diǎn)E,F,G,H共面；（2）平面AC /平面EG。 13.如圖正方體ABCD ABC©

14、中，述1 %'求BE1與DF1所成角的余弦。D： F5.已知平行六面體ABCD ABCD中，AB 4, AD 3, AA 5, BAD 90°，BAA DAA 60 0，求 AC 的長(zhǎng)。參考答案1.解：如圖,(1)uuu ABUULT UULT UULT BC CD ACUUlUCDuuur AD(2)uuu1 UJIU (BD2 uuuuUJIUuuu1 UULT BC21 UJTBD2ABBC)ABUUJuuuuUULTABBMMGAG ；(3)uuur1 uuu (ABuuuruuuruuuuuuuuAGAC)AGAMMG。O2.解：UULT / EGUULT k OC

15、 uuu k(OB JUU EF E,F,G, H(2)解： EF /AB, EG/ AC。所以，平面AC/平面EG。3.)證明:UULT UULT(1)OG OE ,uuuk OA k(OC uuuOAUJITEHuurABCD是平行四邊形，.uuurACuuuABuuir AD ,uuurODuuu OA)uuuOA) uuu OFuuu uuuruuurkAC k(AB AD) uuuOEuuuu uuurOH OE共面;uuu/ EFUULT OFuuuOEuuu UUUUUUUJIUk(OB OA) k AB，又T EGuultk AC ,解：不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為3 巳（1,打）,41

16、UUUT-,1） , DF1 4則 B(1,1,0),uuur二 BE1(0,1,建立空間直角坐標(biāo)系1F1（0,：,1）,4D(0,0,0),1（。才1），UULUBE1uuuuDF1uuuu uuurBE1 DF1UUUU UJUU cos BE1, DF1.17V，1 1(4 4)4415J6 17 A715。16O八uuu4.分析：Q AB15。17ujur2, 1,3),AC(1,3,2),cos BACuuu uurAB AC-uuuutur|AB|AC| / BAC = 60設(shè)a =T uura AC x 3y 2z 0,| a |(X, y,JUU UJTS | AB| AC |sin60° rT UUU z),則 a ABV3X2解得 x = y = z= 1 或 x = y = z= UJUU 2 U