課時(shí)2數(shù)列求和的歸納概括與提高(使用2)

1、1數(shù)列求和求數(shù)列求數(shù)列的前的前項(xiàng)和項(xiàng)和.n例例11111 ,2 ,3 ,248解：解： 設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為,na則則12nnan1231111(1) (2) (3)()2482nnnSaaaan1 1 11(1 2 3) ()2 4 82nn (1)1122nn n 22122nnn求數(shù)列求數(shù)列111,1223(1)n n的前的前項(xiàng)和項(xiàng)和.n例例2111(1)1nbn nnn則則解：解： 設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為 ，nb12111111()()()12231nnSbbbnn1 1111111 2231nnn 1nn【小結(jié)】裂項(xiàng)的目的是為使部分項(xiàng)相互抵消.大多數(shù)裂項(xiàng)相消的通項(xiàng)均可表

2、示為bn=其中an是公差d不為0的等差數(shù)列，則b1+b2+bn=111111()nnnna ad aa122311111111(.)nnd aaaaaa2()1nn 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練( (學(xué)生課堂練習(xí)學(xué)生課堂練習(xí)) )：（1）求和）求和:n+32113211211112112()(1)(1)12nan nn nnn11111112(1)223341122(1)11nSnnnnn1(22)nn 221(2)1 (12)(122 )(1222)n求和：21nna 解：231(2222 )2(21)22nnnnSnnn注：注：“錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法”求和求和,常應(yīng)用于型如常應(yīng)用于型如anbn的數(shù)列的

3、數(shù)列求和求和,其中其中an為等差數(shù)列為等差數(shù)列, bn 為等比數(shù)列為等比數(shù)列.222nnnS 三、錯(cuò)位相減法三、錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法: :是推導(dǎo)等比數(shù)列前是推導(dǎo)等比數(shù)列前n n項(xiàng)和的方法項(xiàng)和的方法23 1 22 23 22_nn 例例2 2. .1(1)22nn （2）求數(shù)列）求數(shù)列 x，3x2，5x3, ,(2n-1)xn ,的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和 1232482:.nnnS 求求習(xí)習(xí)1 1）和和：練練（ 對(duì)于等差對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)數(shù)列和等比數(shù)列的前列的前n n項(xiàng)和可項(xiàng)和可直接用求和公直接用求和公式式. .方法總結(jié)方法總結(jié)公式求和拆項(xiàng)重組裂項(xiàng)相消錯(cuò)位相減 利用轉(zhuǎn)化利用轉(zhuǎn)化的思想的思想

4、, ,將數(shù)列將數(shù)列拆分、重組轉(zhuǎn)拆分、重組轉(zhuǎn)化為等差或等化為等差或等比數(shù)列求和比數(shù)列求和. .拆項(xiàng)重組裂項(xiàng)相消方法總結(jié)方法總結(jié)公式求和錯(cuò)位相減方法總結(jié)方法總結(jié)公式求和拆項(xiàng)重組裂項(xiàng)相消錯(cuò)位相減對(duì)于通項(xiàng)型如對(duì)于通項(xiàng)型如 的數(shù)列的數(shù)列, ,在求和時(shí)將每項(xiàng)在求和時(shí)將每項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)之差的形式分裂成兩項(xiàng)之差的形式, ,一般除首末兩項(xiàng)或附近一般除首末兩項(xiàng)或附近幾項(xiàng)外幾項(xiàng)外, ,其余各項(xiàng)先后抵其余各項(xiàng)先后抵消消, ,可較易求出前可較易求出前n n項(xiàng)和項(xiàng)和. . 11nnnbba(其中其中 為等差數(shù)列）為等差數(shù)列）nb是等比數(shù)列是等比數(shù)列,的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和, ,可用錯(cuò)位可用錯(cuò)位相減法相減法. . 如果如果

5、是等差數(shù)列是等差數(shù)列, ,那么求數(shù)列那么求數(shù)列 nanbnnba 方法總結(jié)方法總結(jié)公式求和拆項(xiàng)重組裂項(xiàng)相消錯(cuò)位相減 知識(shí)要點(diǎn)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn基本方法： 1.直接由等差、等比數(shù)列的求和公式求和，等比數(shù)列求和時(shí)注意分q=1、q1的討論； 2.拆項(xiàng)分解求和法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求和； 3.錯(cuò)位相減法：若一個(gè)數(shù)列具備有如下特征:它的各項(xiàng)恰好是由某個(gè)等差數(shù)列與某個(gè)等比數(shù)列之對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所構(gòu)成的,其求和則用錯(cuò)位相減法 (此法即為等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法)；數(shù)列求和4.裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成幾項(xiàng)之差,使在求和時(shí)能出現(xiàn)隔項(xiàng)相消(正負(fù)相消),剩下（首尾）若干項(xiàng)求和

6、.如: (1) (2) (3)111;(1)1n nnn1111().(21)(21)2 2121nnnn11().ababab5.倒序相加法：即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法；鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)(今日作業(yè)今日作業(yè))：111,13 3557求的前n項(xiàng)和22222111312243611482nn（ ）求和9 , 9 9 , 9 9 9 , 求數(shù)列 n的前項(xiàng)和1 1111(2 13351111)(1)212122121nSnnnnn解（1）、1 0 (11 0)( 2 )11 01 0(1 01)9nnnSnn、2111 113()2(2)22nannn nnn（ ）、11111111(1)23243

7、521111323(1)221242(1)(2)nSnnnnnnn18 提高練習(xí)提高練習(xí) 題題1 已知數(shù)列已知數(shù)列 an 是等差數(shù)列是等差數(shù)列, 且且 a1=2, a1+a2+a3=12, (1)求求數(shù)列數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式; (2)令令 bn=an 3n, 求數(shù)列求數(shù)列 bn 前前 n 項(xiàng)和的項(xiàng)和的公式公式.解解: (1)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 an 的公差為的公差為 d, 則由已知得則由已知得 3a1+3d=12, d=2. an=2+(n- -1) 2=2n. 故數(shù)列故數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式為為 an=2n. (2)由由 bn=an 3n=2n 3n 得數(shù)列得數(shù)列 bn 前前

8、 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Sn=2 3+4 32+(2n- -2) 3n- -1+2n 3n 3Sn=2 32+4 33+(2n- -2) 3n+2n 3n+1 將將 式減式減 式得式得: - -2Sn=2(3+32+3n)- -2n 3n+1=3(3n- -1)- -2n 3n+1. 2Sn= +n 3n+1. 3(1- -3n) 又又 a1=2, 1923123( )()nnf xa xa xa xa xnN12,na aa2(1)fn na1( )3f解解(1)f(1)=a1+a2+a3+an=n2 an=n2-(n-1)2=2n-112323231111( )311111(2) ( )13 ( )5 ( )(21)