子數(shù)列問題的分類例析

1、子數(shù)列問題的分類例析湖南祁東育賢中學(xué) 周友良 421600數(shù)列的項(xiàng)數(shù)相當(dāng)于函數(shù)的自變量，通項(xiàng)公式相當(dāng)于對應(yīng)法則，對數(shù)列的研究應(yīng)很好地把握項(xiàng)數(shù)，研究數(shù)列的子數(shù)列一定要研究二者項(xiàng)數(shù)的關(guān)系.一、從一個(gè)數(shù)列中按下標(biāo)的規(guī)律取出一些項(xiàng)構(gòu)成新的數(shù)列例1、已知等差數(shù)列中，前10項(xiàng)和，若從數(shù)列中依次取出第2項(xiàng)、第4項(xiàng)、第8項(xiàng)，第項(xiàng)，按原順序組成新數(shù)列，且這數(shù)列前n項(xiàng)和為，試比較與的大小。解析：設(shè)的公差為d ,則當(dāng)，>2當(dāng)n=5時(shí), =2當(dāng)n>5時(shí), <2。例2等差數(shù)列的首項(xiàng)是2，前10項(xiàng)之和是15，記求及的最大值分析：由已知可求出公差d解好本題的關(guān)鍵是對“”這一表達(dá)式準(zhǔn)確、全面的認(rèn)識(shí)：是數(shù)列的

2、子數(shù)列，其中2，4，8，組成等比數(shù)列，則是這一子數(shù)列的前n項(xiàng)和，認(rèn)識(shí)到上述三點(diǎn)，問題不僅較易于解決，而且從不同角度入手可得到求最大值的不同解法解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知： ，解得 求的最大值有以下三種解法解法一：由令，解得又，解得即在數(shù)列中： ，所以當(dāng)時(shí)，的值最大，其最大值為： 解法二：數(shù)列的通項(xiàng)令，得，由此可得故使，的最大值為4解法三：由，若存在自然數(shù)，使得，且，則的值最大 解得，取時(shí)，有最大值：反思回顧：上述三種求最值的方法都是運(yùn)用函數(shù)思想解法一是通過數(shù)列的單調(diào)性及值的正負(fù)，求子數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值解法二是直接研究子數(shù)列解法三是研究的單調(diào)性求其最值，解法三還可簡化為研究函數(shù)的單調(diào)性例

3、3、數(shù)列的相鄰的項(xiàng)是方程的兩根，且，求無窮數(shù)列的各項(xiàng)的和。解：因?yàn)槭欠匠痰膬筛身f達(dá)定理得，由得，由得，又，÷得：，在中令，有。由此可知數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)組成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列。由又可得，又，÷得：，在中令可得，由知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)（）組成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列。注：有些數(shù)列必須對奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別考慮，問題才能解決。二、從一個(gè)數(shù)列中取出一些項(xiàng)按項(xiàng)的規(guī)律構(gòu)成新的數(shù)列，例4、已知等差數(shù)列的首項(xiàng)的部分項(xiàng)組成的數(shù)列，為等比數(shù)列，其中（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為的值.解：（I） （II） . 例5、已知為等差數(shù)列，公差中的部分項(xiàng)組成的數(shù)列恰為等比數(shù)列，

4、其中，求求證：；解析： 由題設(shè)知，即為成等比數(shù)列，則即公比又=三、求兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)，求兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)常用整除討論的方法；求等差數(shù)列與等比數(shù)列的公共項(xiàng)常用到二項(xiàng)式定理例6、已知兩個(gè)等差數(shù)列：5，8，11，； 3，7，11，； 它們的項(xiàng)數(shù)均為100項(xiàng)，試問他們有多少個(gè)彼此具有相同數(shù)值的項(xiàng)。解析：方法一、設(shè)兩數(shù)列共同項(xiàng)組成的新數(shù)列為，易知，又?jǐn)?shù)列5，8，11，的通項(xiàng)公式為，公差為3，而數(shù)列3，7，11，的通項(xiàng)公式為，公差為4，所以數(shù)列仍為等差數(shù)列，且公差為d=12，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，又得，所以已知兩數(shù)列有25個(gè)共同的項(xiàng)。方法二、整除性 設(shè)，n+1只能取4，8，12，100，共25個(gè)例7、設(shè)

5、An為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，An= (an1)，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn=4n+3;(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)把數(shù)列an與bn的公共項(xiàng)按從小到大的順序排成一個(gè)新的數(shù)列dn，證明：數(shù)列dn的通項(xiàng)公式為dn=32n+1;(3)設(shè)數(shù)列dn的第n項(xiàng)是數(shù)列bn中的第r項(xiàng)，Br為數(shù)列bn的前r項(xiàng)的和；Dn為數(shù)列dn的前n項(xiàng)和，Tn=BrDn，求.分析：利用項(xiàng)與和的關(guān)系求an是本題的先決；(2)問中探尋an與bn的相通之處，須借助于二項(xiàng)式定理；而(3)問中利用求和公式求和則是最基本的知識(shí)點(diǎn).易錯(cuò)分析：待證通項(xiàng)dn=32n+1與an的共同點(diǎn)易被忽視而寸步難行；注意不到r與n的關(guān)系，使Tn中既含有n，又含

6、有r，會(huì)使所求的極限模糊不清.解：(1)由An=(an1)，可知An+1=(an+11)，an+1an= (an+1an)，即=3，而a1=A1= (a11)，得a1=3，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=3n.(2)32n+1=3·32n=3·(41)2n=3·42n+C·42n1(1)+C·4·(1)+(1)2n=4n+3，32n+1bn.而數(shù)32n=(41)2n=42n+C·42n1·(1)+C·4·(1)+(1)2n=(4k+1)，32nbn，而數(shù)列an=a2n+1a2n，dn=32n+1.(3)由32n+1=4·r+3，可知r=，Br=，點(diǎn)評：(1)問中項(xiàng)與和的關(guān)系為常規(guī)方法，(2)問中把3拆解為41，再利用二項(xiàng)式定理，尋找數(shù)列通項(xiàng)在形式上相通之處堪稱妙筆；(3)n問中挖掘出n與r的關(guān)系，正確表示Br，問題便可迎刃而解.例8在1000，2000內(nèi)能被3整除且被4除余1的整數(shù)有多少個(gè)？解：不妨設(shè)，則為與的公共項(xiàng)構(gòu)成的等差數(shù)列 (10