2015高考數(shù)學(xué)題庫(kù)(新)-應(yīng)用題3

1、18(本題滿分16分) 如圖所示：一吊燈的下圓環(huán)直徑為4m，圓心為O，通過細(xì)繩懸掛在天花板上，圓環(huán)呈水平狀態(tài)，并且與天花板的距離為2m，在圓環(huán)上設(shè)置三個(gè)等分點(diǎn)A1，A2，A3。點(diǎn)C為上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)O、B），同時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)A1，A2，A3，B均用細(xì)繩相連接，且細(xì)繩CA1，CA2，CA3的長(zhǎng)度相等。設(shè)細(xì)繩的總長(zhǎng)為（1）設(shè)CA1O = (rad)，將y表示成的函數(shù)關(guān)系式；（2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)，當(dāng)角正弦值的大小是多少時(shí)，細(xì)繩總長(zhǎng)y最小，并指明此時(shí) BC應(yīng)為多長(zhǎng)。BA1A2COA318. （）解：在COA1中， 2分=（）7分（）， 令，則 12分當(dāng)時(shí)，；時(shí)，在上是增函數(shù)當(dāng)角滿足時(shí)，y最小，最小為；此時(shí)BC

2、m 16分19由一個(gè)小區(qū)歷年市場(chǎng)行情調(diào)查得知，某一種蔬菜在一年12個(gè)月內(nèi)每月銷售量（單位：噸）與上市時(shí)間（單位：月）的關(guān)系大致如圖（1）所示的折線表示，銷售價(jià)格（單位：元千克）與上市時(shí)間（單位：月）的大致關(guān)系如圖（2）所示的拋物線段表示（為頂點(diǎn)）（1）請(qǐng)分別寫出,關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出在這一年內(nèi)3到6月份的銷售額最大的月份？（2）圖（1）中由四條線段所在直線圍成的平面區(qū)域?yàn)椋瑒?dòng)點(diǎn)在內(nèi)（包括邊界），求的最大值；（3） 由（2），將動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件及所求的最大值由加法運(yùn)算類比到乘法運(yùn)算（如類比為），試列出所滿足的條件，并求出相應(yīng)的最大值 （圖1） （圖2）19.解() （在恒成立，所以函數(shù)在上遞

3、增當(dāng)t=6時(shí)，=34.5 6月份銷售額最大為34500元 () ，z=x5y令x5y=A(x+y)+B(xy)，則，z=x5y=2(x+y)+3(xy)由,，,則(z)max=11 ()類比到乘法有已知,求的最大值由=()A·()B,，則(z)max= 18（本題滿分15分）（圖乙）（圖甲）如圖甲，一個(gè)正方體魔方由27個(gè)單位（長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度）小立方體組成，把魔方中間的一層轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖乙，設(shè)的對(duì)邊長(zhǎng)為（1）試用表示；（2）求魔方增加的表面積的最大值 18命題立意：本題主要考查數(shù)學(xué)建模和解決實(shí)際問題的能力，考查運(yùn)算求解能力 解：（1）由題意得， 解得，（6分） （2）魔方增加的表面積為

4、， 由（1）得，（10分） 令， 則（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立）， 答：當(dāng)時(shí)，魔方增加的表面積最大為（15分）17（本題滿分15分）請(qǐng)你為某養(yǎng)路處設(shè)計(jì)一個(gè)用于儲(chǔ)藏食鹽的倉(cāng)庫(kù)（供融化高速公路上的積雪之用）它的上部是底面圓半徑為5m的圓錐，下部是底面圓半徑為5m的圓柱，且該倉(cāng)庫(kù)的總高度為5m經(jīng)過預(yù)算，制造該倉(cāng)庫(kù)的圓錐側(cè)面、圓柱側(cè)面用料的單價(jià)分別為400元/、100元/，問當(dāng)圓錐的高度為多少時(shí)，該倉(cāng)庫(kù)的側(cè)面總造價(jià)（單位：元）最少？17命題立意：本題主要考查數(shù)學(xué)建模和解決實(shí)際問題的能力，考查運(yùn)算求解能力解：（法一）設(shè)圓錐母線與底面所成角為，且，（2分）則該倉(cāng)庫(kù)的側(cè)面總造價(jià)，（8分） 由得，即，（13分）

5、經(jīng)檢驗(yàn)得，當(dāng)時(shí)，側(cè)面總造價(jià)最小，此時(shí)圓錐的高度為m（15分）（法二）設(shè)圓錐的高為m，且，（2分）則該倉(cāng)庫(kù)的側(cè)面總造價(jià) ，（8分） 由得，（13分） 經(jīng)檢驗(yàn)得，當(dāng)時(shí)，側(cè)面總造價(jià)最小，此時(shí)圓錐的高度為m（15分） 3. 在一個(gè)六角形體育館的一角 MAN內(nèi)，用長(zhǎng)為a的圍欄設(shè)置一個(gè)運(yùn)動(dòng)器材儲(chǔ)存區(qū)域（如圖所示），已知，B是墻角線AM上的一點(diǎn)，C是墻角線AN上的一點(diǎn)(1) 若BC=a=20, 求儲(chǔ)存區(qū)域面積的最大值；(2) 若AB=AC=10,在折線內(nèi)選一點(diǎn)，使，求四邊形儲(chǔ)存區(qū)域DBAC的最大面積. 解：(1)設(shè)由，得. 即 (2) 由，知點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的橢圓上，要使四邊形DBAC面積最大，只需的面積最大

6、，此時(shí)點(diǎn)到的距離最大, 即必為橢圓短軸頂點(diǎn)由，得短半軸長(zhǎng)面積的最大值為.因此，四邊形ACDB面積的最大值為3.某直角走廊的示意圖如圖所示，其兩邊走廊的寬度均為2m(1)過點(diǎn)的一條直線與走廊的外側(cè)兩邊交于兩點(diǎn)，且與走廊的一邊的夾角為，將線段的長(zhǎng)度表示為的函數(shù)；(2)一根長(zhǎng)度為5m的鐵棒能否水平（鐵棒與地面平行）通過該直角走廊？請(qǐng)說明理由（鐵棒的粗細(xì)忽略不計(jì)）解：(1) 根據(jù)圖得(2) 鐵棒能水平通過該直角直廊，理由如下：令得，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；所以當(dāng)時(shí)，有最小值，因?yàn)椋澡F棒能水平通過該直角走廊19（本小題滿分16分）如圖一塊長(zhǎng)方形區(qū)域ABCD，AD2（），AB1（）在邊AD的中

7、點(diǎn)O處，有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈，其照射角EOF始終為，設(shè)AOE，探照燈O照射在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積為S（1）當(dāng)0時(shí)，寫出S關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)0時(shí)，求S的最大值G a F E D C B A O （第19題）（3）若探照燈每9分鐘旋轉(zhuǎn)“一個(gè)來回”（OE自O(shè)A轉(zhuǎn)到OC，再回到OA，稱“一個(gè)來回”，忽略O(shè)E在OA及OC反向旋轉(zhuǎn)時(shí)所用時(shí)間），且轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小一定，設(shè)AB邊上有一點(diǎn)G，且AOG，求點(diǎn)G在“一個(gè)來回”中，被照到的時(shí)間H G a F E D C B A O 圖19解：（1）過O作OHBC，H為垂足當(dāng)0時(shí)，E在邊AB上，F(xiàn)在線段BH上（如圖），此時(shí)，AE，F(xiàn)H， 2分SS正方形

8、OABHSOAESOHF 4分當(dāng)時(shí)，E在線段BH上，F(xiàn)在線段CH上（如圖），H OA B C DE F a G 圖此時(shí)，EH，F(xiàn)H， 6分EFSSOEF 綜上所述， 8分（2）當(dāng)0時(shí)，S，即S 10分0，01即1122S2當(dāng)1時(shí)，S取得最大值為2 12分（3）在“一個(gè)來回”中，OE共轉(zhuǎn)了2×其中點(diǎn)G被照到時(shí)，共轉(zhuǎn)了2× 14分則“一個(gè)來回”中，點(diǎn)G被照到的時(shí)間為（分鐘） 16分17（本小題滿分14分）第十八屆省運(yùn)會(huì)將于2014年9月在徐州市舉辦為營(yíng)造優(yōu)美的環(huán)境，舉辦方?jīng)Q定在某“葫蘆”形花壇中建噴泉如圖，該花壇的邊界是兩個(gè)半徑為10米的圓弧圍成，兩圓心、之間的距離為米（1）如

9、圖甲，在花壇中建矩形噴泉，四個(gè)頂點(diǎn)，均在圓弧上，于點(diǎn)設(shè)，求矩形的寬為多少時(shí)，可使噴泉的面積最大；（2）如圖乙，在花壇中間鋪設(shè)一條寬為2米的觀賞長(zhǎng)廊以作休閑之用，則矩形噴泉變?yōu)閮蓚€(gè)全等的等腰三角形，其中，米若，求噴泉的面積的取值范圍O1O2MBACD觀 賞 長(zhǎng) 廊N（第17題圖乙）MBACDO1（第17題圖甲）O2、17（1）在直角中，則，所以矩形的面積，4分令，則，令，得設(shè)，且，列表如下：0極大值所以當(dāng)，即時(shí)，矩形的面積最大 10分（2）由（1）易得，噴泉的面積，由知，所以函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，所以 13分答：（1）矩形的寬（米）時(shí)，可使噴泉的面積最大；（2）噴泉的面積的取值范圍是（單位：平方米）

10、 14分17. （本小題滿分14分）如圖，某生態(tài)園將一三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園，種植桃樹，已知角A為120°，AB，AC的長(zhǎng)度均大于200米現(xiàn)在邊界AP，AQ處建圍墻，在PQ處圍竹籬笆（第17題）（1）若圍墻AP，AQ總長(zhǎng)為200米，如何圍可使三角形地塊APQ的面積最大？（2）已知AP段圍墻高1米，AQ段圍墻高1.5米，造價(jià)均為每平方米100元若圍圍墻用了20000元，問如何圍可使竹籬笆用料最?。?7解 設(shè)米，米（1）則，的面積 3分S 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=” 6分（注：不寫“”成立條件扣1分）（2）由題意得，即 8分要使竹籬笆用料最省，只需其長(zhǎng)度PQ最短，所以（） 11

11、分當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí) 13分答：（1）當(dāng)米時(shí)，三角形地塊APQ的面積最大為平方米；（2）當(dāng)米米時(shí)，可使竹籬笆用料最省 14分18(本小題滿分14分)因發(fā)生意外交通事故,一輛貨車上的某種液體泄漏到一漁塘中.為了治污,根據(jù)環(huán)保部門的建議,現(xiàn)決定在漁塘中投放一種可與污染液體發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑.已知每投放,且個(gè)單位的藥劑,它在水中釋放的濃度(克/升)隨著時(shí)間(天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為,其中.若多次投放,則某一時(shí)刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),當(dāng)水中藥劑的濃度不低于4(克/升)時(shí),它才能起到有效治污的作用.（1）若一次投放4個(gè)單位的藥劑,則有效治污時(shí)間可達(dá)幾天?

12、 （2）若第一次投放2個(gè)單位的藥劑,6天后再投放個(gè)單位的藥劑,要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效治污,試求的最小值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù):取1.4).18解：（1）因?yàn)?所以1分則當(dāng)時(shí),由,解得,所以此時(shí) 3分當(dāng)時(shí),由,解得,所以此時(shí)5分綜合,得,若一次投放4個(gè)單位的制劑,則有效治污時(shí)間可達(dá)8天 6分（2）當(dāng)時(shí),9分=,因?yàn)?而,所以,故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),y有最小值為 12分令,解得,所以的最小值為 14分17（本小題滿分14分）已知 A、B兩地相距，以AB為直徑作一個(gè)半圓，在半圓上取一點(diǎn)C，連接AC、BC，在三角形ABC內(nèi)種草坪（如圖），M、N分別為弧AC、弧BC的中點(diǎn)，在三角形AMC、三角形BNC

13、上種花，其余是空地設(shè)花壇的面積為，草坪的面積為，取（1） 用及R表示和；（2） 求的最小值17（1）因?yàn)?，則，則3分設(shè)AB的中點(diǎn)為O，連MO、NO，則易得三角形AMC的面積為，三角形BNC的面積為， + （2），令，則的最小值為 17.（本小題滿分14分）據(jù)環(huán)保部門測(cè)定，某處的污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數(shù)為現(xiàn)已知相距18的A，B兩家化工廠（污染源）的污染強(qiáng)度分別為，它們連線上任意一點(diǎn)C處的污染指數(shù)等于兩化工廠對(duì)該處的污染指數(shù)之和設(shè)（）（1）試將表示為的函數(shù)； （2）若，且時(shí)，取得最小值，試求的值17解：（1）設(shè)點(diǎn)C受A污染源污染程度為，點(diǎn)C受B污染源污

14、染程度為，其中為比例系數(shù)，且 4分從而點(diǎn)C處受污染程度 6分（2）因?yàn)?，所以?8分，令，得， 12分又此時(shí)，解得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意所以，污染源B的污染強(qiáng)度的值為8 14分19.一走廊拐角處的橫截面如圖所示，已知內(nèi)壁和外壁都是半徑為的四分之一圓弧，分別與圓弧相切于，兩點(diǎn)，且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是（1）若水平放置的木棒的兩個(gè)端點(diǎn)分別在外壁和上，且木棒與內(nèi)壁圓弧相切于點(diǎn)設(shè)，試用表示木棒的長(zhǎng)度；NMABCDEFGHPQ1m1m（2）若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，求木棒長(zhǎng)度的最大值19.(1)如圖，設(shè)圓弧所在的圓的圓心為，過點(diǎn)作垂線，垂足為點(diǎn)，且交或其延長(zhǎng)線與于，并連接，再過點(diǎn)作的垂線，

15、垂足為在中，因?yàn)椋琋MABCDEFGHPS1m1mTQW所以因?yàn)榕c圓弧切于點(diǎn)，所以，在，因?yàn)椋裕粼诰€段上，則在中，因此若在線段的延長(zhǎng)線上，則在中，因此8分（2）設(shè)，則，因此因?yàn)椋?，所以恒成立，因此函?shù)在是減函數(shù)，所以，即答：一根水平放置的木棒若能通過該走廊拐角處，則其長(zhǎng)度的最大值為17(本小題滿分14分)某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面（如圖所示）上進(jìn)行開發(fā)建設(shè)，陰影部分為一公共設(shè)施不能建設(shè)開發(fā)，且要求用欄柵隔開（欄柵要求在直線上），公共設(shè)施邊界為曲線的一部分，欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點(diǎn)M、N，切曲線于點(diǎn)P，設(shè)（1）將（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積S表示成f的函數(shù)S(t)；（2）若，S(t)取

16、得最小值，求此時(shí)a的值及S(t)的最小值17解：（），直線的斜率為，直線的方程為令得 令,得, 的面積, （）,因?yàn)?由,得, 當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), . 已知在處, ,故有， 故當(dāng)時(shí), 17（本小題滿分14分）在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，因制作一個(gè)工藝品的需要，某小組設(shè)計(jì)了如圖所示的一個(gè)門（該圖為軸對(duì)稱圖形），其中矩形ABCD的三邊AB、BC、CD由長(zhǎng)為6分米的材料彎折而成，BC邊的長(zhǎng)為分米（）；曲線AOD擬從以下兩種曲線中選擇一種：曲線是一段余弦曲線（在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，其解析式為），此時(shí)記門的最高點(diǎn)O到BC邊的距離為；曲線是一段拋物線，其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，此時(shí)記門的最高點(diǎn)O到BC邊的距離為（

17、1）試分別求函數(shù)、的表達(dá)式（2）要使得點(diǎn)O到BC邊的距離最大，應(yīng)選用哪一種曲線？此時(shí)最大值是多少？解：（1）6分（2）由于恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此， 10分 而， 12分所以選用 14分17（本小題滿分15分）某農(nóng)戶準(zhǔn)備建一個(gè)水平放置的直四棱柱形儲(chǔ)水窖（如圖），其中直四棱柱的高，兩底面是高為，面積為的等腰梯形，且。若儲(chǔ)水窖頂蓋每平方米的造價(jià)為元，側(cè)面每平方米的造價(jià)為元，底部每平方米的造價(jià)為元。（1）試將儲(chǔ)水窖的造價(jià)表示為的函數(shù)；（2）該農(nóng)戶如何設(shè)計(jì)儲(chǔ)水窖，才能使得儲(chǔ)水窖的造價(jià)最低，最低造價(jià)是多少元（取）。17【解析】（1）過作，垂足為，則，令，從而，故，解得，4分所以7分（2）因?yàn)椋?/p>

18、所以10分令，則，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增。所以當(dāng)時(shí)，。答：當(dāng)時(shí)，等價(jià)最低，最低造價(jià)為51840元。15分18.如圖，矩形ABCD是一個(gè)觀光區(qū)的平面示意圖，建立平面直角坐標(biāo)系，使頂點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)O，B，D分別在x軸，y軸上，AD3百米，ABa百米（3a4）觀光區(qū)中間葉形陰影部分MN是一個(gè)人工湖，它的左下方邊緣曲線是函數(shù)2）的圖象的一段為了便于游客觀光，擬在觀光區(qū)鋪設(shè)一條穿越該觀光區(qū)的直路（寬度不計(jì)），要求其與人工湖左下方邊緣曲線段相切（切點(diǎn)記為P），并把該觀光區(qū)分為兩部分，且直線左下部分建設(shè)為花圃設(shè)點(diǎn)P到AD的距離為t，f（t）表示花圃的面積（1）求花圃面積f（t）的表達(dá)

19、式； （2）求f（t）的最小值第18題-甲xyOABCD第18題-乙E·F18某地?cái)M模仿圖甲建造一座大型體育館，其設(shè)計(jì)方案?jìng)?cè)面的外輪廓線如圖乙所示：曲線是以點(diǎn)為圓心的圓的一部分，其中（，單位：米）；曲線是拋物線的一部分；，且恰好等于圓的半徑. 假定擬建體育館的高米.（1）若要求米，米，求與的值；（2）若要求體育館側(cè)面的最大寬度不超過米，求的取值范圍；（3）若，求的最大值.（參考公式：若，則）解：（1）因?yàn)椋獾? 2分 此時(shí)圓，令，得， 所以，將點(diǎn)代入中，解得. 4分（2）因?yàn)閳A的半徑為，所以，在中令，得，則由題意知對(duì)恒成立， 8分所以恒成立，而當(dāng)，即時(shí)，取最小值10，故，解得. 1

20、0分（3）當(dāng)時(shí)，又圓的方程為，令，得，所以，從而， 12分又因?yàn)?，令，得?14分當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，從而當(dāng) 時(shí)，取最大值為25.答：當(dāng)米時(shí)，的最大值為25米. 16分（說明：本題還可以運(yùn)用三角換元，或線性規(guī)劃等方法解決，類似給分）方法二：令，則，其中是銳角，且，從而當(dāng)時(shí)，取得最大值為25米. 方法三：令，則題意相當(dāng)于：已知，求的最大值.根據(jù)線性規(guī)劃知識(shí)，當(dāng)直線與圓弧相切時(shí)，取得最大值為25米.19. 某園林公司計(jì)劃在一塊為圓心,(為常數(shù))為半徑的半圓形（如圖）地上種植花草樹木，其中弓形區(qū)域用于觀賞樣板地，區(qū)域用于種植花木出售，其余區(qū)域用于種植草皮出售.已知觀賞樣板地的成本是每平方

21、米2元，花木的利潤(rùn)是每平方米8元，草皮的利潤(rùn)是每平方米3元.(1) 設(shè),分別用,表示弓形的面積;(2) 園林公司應(yīng)該怎樣規(guī)劃這塊土地,才能使總利潤(rùn)最大?(參考公式:扇形面積公式)觀賞樣板地花木地草皮地草皮地19.（1），, . 又，,.(2)設(shè)總利潤(rùn)為元，草皮利潤(rùn)為元，花木地利潤(rùn)為，觀賞樣板地成本為，, . .設(shè) . , 12分上為減函數(shù)； 上為增函數(shù). 當(dāng)時(shí)，取到最小值,此時(shí)總利潤(rùn)最大. 所以當(dāng)園林公司把扇形的圓心角設(shè)計(jì)成時(shí)，總利潤(rùn)最大. 18（本小題滿分16分） 如圖，實(shí)線部分的月牙形公園是由圓P上的一段優(yōu)弧和圓Q上的一段劣弧圍成，圓P和圓Q的半徑都是2km，點(diǎn)P在圓Q上，現(xiàn)要在公園內(nèi)建一

22、塊頂點(diǎn)都在圓P上的多邊形活動(dòng)場(chǎng)地 （1）如圖甲，要建的活動(dòng)場(chǎng)地為RST，求場(chǎng)地的最大面積； （2）如圖乙，要建的活動(dòng)場(chǎng)地為等腰梯形ABCD，求場(chǎng)地的最大面積（第17題甲）DACBQPNMRSMNPQT（第17題乙） 解：（1）如右圖，過S作SHRT于H，SRST= 由題意，RST在月牙形公園里，RT與圓Q只能相切或相離； RT左邊的部分是一個(gè)大小不超過半圓的弓形，則有RT4，SH2，當(dāng)且僅當(dāng)RT切圓Q于P時(shí)（如下左圖），上面兩個(gè)不等式中等號(hào)同時(shí)成立 此時(shí)，場(chǎng)地面積的最大值為SRST=4（km2） （2）同（1）的分析，要使得場(chǎng)地面積最大，AD左邊的部分是一個(gè)大小不超過半圓的弓形，AD必須切圓Q

23、于P，再設(shè)BPA=，則有 令，則若，又時(shí)，時(shí)， 函數(shù)在處取到極大值也是最大值，故時(shí)，場(chǎng)地面積取得最大值為（km2） 19（本小題滿分16分）幾名大學(xué)畢業(yè)生合作開設(shè)打印店，生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品已知該店每月生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)月都能銷售完，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為元，該店的月總成本由兩部分組成：第一部分是月銷售產(chǎn)品的生產(chǎn)成本，第二部分是其它固定支出元假設(shè)該產(chǎn)品的月銷售量（件）與銷售價(jià)格（元/件）（）之間滿足如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)該店月利潤(rùn)為（元），月利潤(rùn)=月銷售總額月總成本（1）求關(guān)于銷售價(jià)格的函數(shù)關(guān)系式；（2）求該打印店月利潤(rùn)的最大值及此時(shí)產(chǎn)品的銷售價(jià)格19解：（1）當(dāng)時(shí)，代入，解得 2分 即 4分（注：

24、寫到上一步，不扣分）（2）設(shè)，則令，解得（舍去），7分當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減 10分 ，的最大值為12分當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故此時(shí)的最大值為 14分綜上所述，當(dāng)時(shí)，月利潤(rùn)有最大值元 15分答：該打印店店月利潤(rùn)最大為元，此時(shí)產(chǎn)品的銷售價(jià)格為元/件 16分19（本小題滿分16分）如圖是一幅招貼畫的示意圖，其中ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，周圍是四個(gè)全等的弓形.已知O為正方形的中心，G為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線OG上，弧AD是以P為圓心、PA為半徑的圓的一部分，OG的延長(zhǎng)線交弧AD于點(diǎn)H。設(shè)弧AD的長(zhǎng)為，（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）定義比值為招貼畫的優(yōu)美系數(shù)，當(dāng)優(yōu)美系數(shù)最大時(shí)，招貼畫最優(yōu)美。證明：

25、當(dāng)角滿足：時(shí)，招貼畫最優(yōu)美18.（本小題滿分16分） 一位幼兒園老師給班上個(gè)小朋友分糖果.她發(fā)現(xiàn)糖果盒中原有糖果數(shù)為,就先從別處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內(nèi)糖果的分給第一個(gè)小朋友;再?gòu)膭e處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內(nèi)糖果的分給第二個(gè)小朋友;,以后她總是在分給一個(gè)小朋友后,就從別處抓2塊糖放入盒中，然后把盒內(nèi)糖果的分給第個(gè)小朋友如果設(shè)分給第個(gè)小朋友后（未加入2塊糖果前）盒內(nèi)剩下的糖果數(shù)為.（1） 當(dāng),時(shí),分別求;（2） 請(qǐng)用表示;令,求數(shù)列的通項(xiàng)公式; （3）是否存在正整數(shù)和非負(fù)整數(shù),使得數(shù)列成等差數(shù)列,如果存在,請(qǐng)求出所有的和,如果不存在,請(qǐng)說明理由.20. 解：（1）當(dāng),時(shí), ,.3分（2）

26、 由題意知： ,6分即, ,7分累加得,9分 又,.10分（3） 由，得,12分若存在正整數(shù)和非負(fù)整數(shù),使得數(shù)列成等差數(shù)列,則,14分 即,15分當(dāng)時(shí)， ，對(duì)任意正整數(shù),有成等差數(shù)列. 16分注:如果驗(yàn)證不能成等差數(shù)列,不扣分【說明】本題主要考查數(shù)列的定義、通項(xiàng)求法；考查反證法；考查遞推思想；考查推理論證能力；考查閱讀理解能力、建模能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題能力本題還可以設(shè)計(jì)：如果班上有5名小朋友，每個(gè)小朋友都分到糖果，求的最小值.17（本題滿分16分，第1小題8分，第2小題8分）（第17題）DABClTx如圖，某機(jī)場(chǎng)建在一個(gè)海灣的半島上，飛機(jī)跑道AB的長(zhǎng)為4.5km，且跑道所在的直線與海岸線l的

27、夾角為60o(海岸線可以看作是直線)，跑道上離海岸線距離最近的點(diǎn)B到海岸線的距離BC4kmD為海灣一側(cè)海岸線CT上的一點(diǎn)，設(shè)CDx(km)，點(diǎn)D對(duì)跑道AB的視角為q （1）將tanq 表示為x的函數(shù)；（2）求點(diǎn)D的位置，使q 取得最大值17、（本題滿分14分，第1小題8分，第2小題6分）解：（1）過A分別作直線CD，BC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)DBCEFADBCEFA圖1圖2由題知，AB4.5，BC4，ABF90o60o30o，所以CEAF4.5×sin30o，BF4.5×cos30o，AECFBCBF因?yàn)镃Dx(x0)，所以tanBDC當(dāng)x時(shí)，EDx，tanADC（如圖1

28、）；當(dāng)0x時(shí)，EDx，tanADC（如圖2）4分所以tanqtanADBtan(ADCBDC)，其中x0且x 當(dāng)x時(shí)tanq，符合上式所以tanq( x0)8分（2）（方法一）tanq，x011分因?yàn)?(x4)4124139，當(dāng)且僅當(dāng)4(x4)，即x6時(shí)取等號(hào)所以當(dāng)x6時(shí)，4(x4)41取最小值39所以當(dāng)x6時(shí)，tanq 取最大值 13分由于ytanx在區(qū)間(0，）上是增函數(shù)，所以當(dāng)x6時(shí)，q 取最大值答：在海灣一側(cè)的海岸線CT上距C點(diǎn)6km處的D點(diǎn)處觀看飛機(jī)跑道的視角最大14分（方法二）tanq f(x)f ¢(x)，x0由f ¢(x)0得x6 11分當(dāng)x（0，6）時(shí)，f

29、 ¢(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x（6，）時(shí)，f ¢(x)0，此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減所以函數(shù)f(x)在x6時(shí)取得極大值，也是最大值f(6) 13分由于ytanx在區(qū)間(0，）上是增函數(shù)，所以當(dāng)x6時(shí)，q 取最大值答：在海灣一側(cè)的海岸線CT上距C點(diǎn)6km處的D點(diǎn)處觀看飛機(jī)跑道的視角最大14分17（本小題滿分14分）提高大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當(dāng)車流密度不超過50輛/千米時(shí)，車流速度為30千米/小時(shí)研究表明：當(dāng)50x200時(shí)，車流速度v與車流密度x滿足當(dāng)橋上的車流密度

30、達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0千米/小時(shí) （1）當(dāng)0<x200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；（2）當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)）17解：(1) 由題意：當(dāng)0x50時(shí)，v(x)30；當(dāng)50x200時(shí)，由于，再由已知可知，當(dāng)x200時(shí)，v(0)0，代入解得k2000.故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為 (2) 依題意并由(1)可得， 當(dāng)0x50時(shí)，f(x)30x，當(dāng)x50時(shí)取最大值1500. 當(dāng)50<x200時(shí)，取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，f(x)取最大值

31、綜上，當(dāng)車流密度為138 輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3056輛/小時(shí) 17（本小題滿分14分）FEbaBDCA第八屆中國(guó)花博會(huì)將于2013年9月在常州舉辦，展覽園指揮中心所用地塊的形狀是大小一定的矩形ABCD，a，b為常數(shù)且滿足.組委會(huì)決定從該矩形地塊中劃出一個(gè)直角三角形地塊建游客休息區(qū)（點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上），且該直角三角形AEF的周長(zhǎng)為（），如圖設(shè)，的面積為（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）試確定點(diǎn)E的位置，使得直角三角形地塊的面積最大，并求出的最大值17解：（1）設(shè)，則，整理，得3分 ， 4分（2）當(dāng)時(shí)，在遞增，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上，遞增，在上，遞減，故當(dāng)時(shí)，.1

32、7. （本小題滿分15分）如圖,有一塊邊長(zhǎng)為(百米)的正方形區(qū)域。在點(diǎn)處有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈,其照射角始終為 (其中點(diǎn)，分別在邊，上),設(shè). （1）用表示出的長(zhǎng)度,并探求的周長(zhǎng)是否為定值；ABPQDC第19題圖（2）問探照燈照射在正方形內(nèi)部區(qū)域的面積至多為多少(平方百米)？解(1)(2)(當(dāng)且僅當(dāng),即等號(hào)成立) 答:探照燈照射在正方形內(nèi)部區(qū)域的面積至多為平方百米. 17. 某生產(chǎn)旅游紀(jì)念品的工廠，擬在2010年度將進(jìn)行系列促銷活動(dòng)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，該紀(jì)念品的年銷售量萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用萬(wàn)元之間滿足與成反比例若不搞促銷活動(dòng)，紀(jì)念品的年銷售量只有1萬(wàn)件已知工廠2010年生產(chǎn)紀(jì)念品的固定投資為3萬(wàn)元，每

33、生產(chǎn)1萬(wàn)件紀(jì)念品另外需要投資32萬(wàn)元當(dāng)工廠把每件紀(jì)念品的售價(jià)定為：“年平均每件生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件所占促銷費(fèi)一半”之和時(shí)，則當(dāng)年的產(chǎn)量和銷量相等(利潤(rùn)=收入生產(chǎn)成本促銷費(fèi)用)（1）求出與所滿足的關(guān)系式；（2）請(qǐng)把該工廠2010年的年利潤(rùn)萬(wàn)元表示成促銷費(fèi)萬(wàn)元的函數(shù)；（3）試問：當(dāng)2010年的促銷費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，該工廠的年利潤(rùn)最大？17. 解：（1）設(shè)比例系數(shù)為由題知，有又時(shí)，所以 ，所以與的關(guān)系是4分（2）依據(jù)題意，可知工廠生產(chǎn)萬(wàn)件紀(jì)念品的生產(chǎn)成本為萬(wàn)元，促銷費(fèi)用為萬(wàn)元，則每件紀(jì)念品的定價(jià)為：元件于是，進(jìn)一步化簡(jiǎn)，得因此，工廠2010年的年利潤(rùn)萬(wàn)元8分（3）由（2）知， ，當(dāng)且僅

34、當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以，當(dāng)2010年的促銷費(fèi)用投入7萬(wàn)元時(shí)，工廠的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為42萬(wàn)元18(本小題滿分16分)某廣告公司為2010年上海世博會(huì)設(shè)計(jì)了一種霓虹燈，樣式如圖中實(shí)線部分所示. 其上部分是以為直徑的半圓，點(diǎn)為圓心，下部分是以為斜邊的等腰直角三角形，是兩根支桿，其中米，. 現(xiàn)在弧、線段與線段上裝彩燈，在弧、弧、線段與線段上裝節(jié)能燈. 若每種燈的“心悅效果”均與相應(yīng)的線段或弧的長(zhǎng)度成正比，且彩燈的比例系數(shù)為，節(jié)能燈的比例系數(shù)為，假定該霓虹燈整體的“心悅效果”是所有燈“心悅效果”的和.DOABEF第18題2x（1）試將表示為的函數(shù)；（2）試確定當(dāng)取何值時(shí)，該霓虹燈整體的“心悅效果”

35、最佳？18解：（1）因?yàn)?所以弧EF、AE、BF的長(zhǎng)分別為 連接OD，則由OD=OE=OF=1，所以 6分 所以9分（2）因?yàn)橛?1分解得，即 13分又當(dāng)時(shí)，所以此時(shí)y在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，所以此時(shí)y在上單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，該霓虹燈整體的“心悅效果”最佳 16分17（本小題滿分14分）某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y (單位：千克)與銷售價(jià)格 (單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)，其中3x6，a為常數(shù)已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克（1）求a的值；（2）若該商品的成品為3元/千克, 試確定銷售價(jià)格x的值, 使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大17. 解：

36、（1）由題設(shè)知x5時(shí)y11，則1110(56)，解得a2. （2）由（1）知該商品每日的銷售量y10(x6)，所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)為f(x)(x3) 10(x6)210(x3) (x6)，3x6. 6分對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得f (x)10(x6)2(x3)(x6)30(x4)(x6)令f (x)0及3x6，解得x4 10分當(dāng)3x4時(shí)，f (x)0，當(dāng)4x6時(shí)，f (x)0，于是有函數(shù)f(x)在(3，4)上遞增，在(4，6)上遞減，所以當(dāng)x4時(shí)函數(shù)f(x)取得最大值f(4)42. 13分答：當(dāng)銷售價(jià)格x4時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大，最大值為42.15.（本小題滿分14分

37、）如圖，摩天輪的半徑為50 m，點(diǎn)O距地面的高度為60 m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每3 min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處.（1）試確定在時(shí)刻t（min）時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P距離地面超過85 m?15. （1）解：設(shè)點(diǎn)P離地面的距離為y，則可令 yAsin(t)b. 由題設(shè)可知A50，b60. 2分又T3，所以，從而y50sin(t)60. 4分再由題設(shè)知t0時(shí)y10，代入y50sin(t)60，得sin1，從而. 因此，y6050cost (t0). 8分（2）要使點(diǎn)P距離地面超過85 m，則有y6050cost85，即cost. 于是由三

38、角函數(shù)基本性質(zhì)推得t，即1t2. 12分所以，在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，點(diǎn)P距離地面超過85 m的時(shí)間有1分鐘. 18（本小題滿分15分）輪滑是穿著帶滾輪的特制鞋在堅(jiān)硬的場(chǎng)地上滑行的運(yùn)動(dòng)如圖，助跑道ABC是一段拋物線，某輪滑運(yùn)動(dòng)員通過助跑道獲取速度后飛離跑道然后落到離地面高為1米的平臺(tái)上E處，飛行的軌跡是一段拋物線CDE（拋物線CDE與拋物線ABC在同一平面內(nèi)），D為這段拋物線的最高點(diǎn)現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)員的滑行軌跡所在平面上建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，軸在地面上，助跑道一端點(diǎn)A(0，4)，另一端點(diǎn)C(3，1)，點(diǎn)B(2，0)，單位：米（）求助跑道所在的拋物線方程；（）若助跑道所在拋物線與飛行軌跡所在拋物線在點(diǎn)

39、C處有相同的切線，為使運(yùn)動(dòng)員安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，要求運(yùn)動(dòng)員的飛行距離在4米到6米之間（包括4米和6米），試求運(yùn)動(dòng)員飛行過程中距離平臺(tái)最大高度的取值范圍？（注：飛行距離指點(diǎn)C與點(diǎn)E的水平距離，即這兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值）18（本小題滿分15分）解：（1）設(shè)助跑道所在的拋物線方程為，依題意： 3分解得，助跑道所在的拋物線方程為 7分（2）設(shè)飛行軌跡所在拋物線為（），依題意：得解得9分，令得，11分當(dāng)時(shí)，有最大值為，則運(yùn)動(dòng)員的飛行距離， 13分飛行過程中距離平臺(tái)最大高度，依題意，得，即飛行過程中距離平臺(tái)最大高度的取值范圍為在2米到3米之間15分17(本小題滿分14分) 某公司有價(jià)值萬(wàn)元的一條流水線，要

40、提高該流水線的生產(chǎn)能力，就要對(duì)其進(jìn)行技術(shù)改造，從而提高產(chǎn)品的附加值改造需要投入，假設(shè)附加值（萬(wàn)元）與技術(shù)改造投入（萬(wàn)元）之間的關(guān)系滿足：與和的乘積成正比；當(dāng)時(shí)，；其中常數(shù)（1）設(shè)，求函數(shù)的解析式與定義域；（2）求出附加值的最大值，并求此時(shí)的技術(shù)改造投入解析：（1），由時(shí)，得，8，又0，0其定義域?yàn)?，（2），令0，則0或當(dāng)（0，）時(shí)，0，當(dāng)（，）時(shí)，0，在（0，）上單調(diào)增，在（，）上單調(diào)減， 當(dāng)，即01時(shí)，在（0，）上單調(diào)增，故當(dāng)時(shí)，取極大值當(dāng)即12時(shí)，在（0，）上單調(diào)增，在（，）上單調(diào)減故當(dāng)時(shí)，取極大值由于在給定區(qū)間上只有一個(gè)極大點(diǎn)，故此極大值即為所求的最大值17.（本小題滿分14分）如圖，

41、兩座建筑物的底部都在同一個(gè)水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是9和15，從建筑物的頂部看建筑物的視角.(1) 求的長(zhǎng)度；(2) 在線段上取一點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)不重合），從點(diǎn)看這兩座建筑物的視角分別為問點(diǎn)在何處時(shí)，最?。康?7題圖17作，垂足為，則，設(shè)，則2分，化簡(jiǎn)得，解之得，或（舍）答：的長(zhǎng)度為6分設(shè)，則，8分設(shè)，令，因?yàn)?，得，?dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即取得最小值，12分因?yàn)楹愠闪?，所以，所以，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值答：當(dāng)為時(shí)，取得最小值 14分17(本小題滿分14分)圖1是某斜拉式大橋圖片，為了了解橋的一些結(jié)構(gòu)情況，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組將大橋的結(jié)構(gòu)進(jìn)

42、行了簡(jiǎn)化，取其部分可抽象成圖2所示的模型，其中橋塔、與橋面垂直，通過測(cè)量得知，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，.（1）求的長(zhǎng)；（2）試問在線段的何處時(shí)，達(dá)到最大.圖2圖117(1)設(shè)，則，由題意得，解得.6分（2）設(shè)，則，8分，即為銳角，令，則，12分當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)，最大. 14分17（本小題滿分15分）某地區(qū)注重生態(tài)環(huán)境建設(shè)，每年用于改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用為億元，其中用于風(fēng)景區(qū)改造為億元。該市決定建立生態(tài)環(huán)境改造投資方案，該方案要求同時(shí)具備下列三個(gè)條件：每年用于風(fēng)景區(qū)改造費(fèi)用隨每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用增加而增加；每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用至少億元，至多億元；每年用于風(fēng)景區(qū)改造費(fèi)用不得低于每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用的15%，但

43、不得每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用的22%。（1）若，請(qǐng)你分析能否采用函數(shù)模型y作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案；（2）若、取正整數(shù)，并用函數(shù)模型y作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案，請(qǐng)你求出、的取值17解：（1），函數(shù)y是增函數(shù)，滿足條件。3分設(shè)，則，令，得。當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，又，即，在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最小值0.16=16%>15%，當(dāng)時(shí)，有最大值0.1665=16.65%<22%,能采用函數(shù)模型y作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案。9分（2）由(1)知，依題意，當(dāng)，、時(shí)，恒成立；下面求的正整數(shù)解。令，12分由(1)知，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，又由（1）知，在時(shí)，且=16%15%，22

44、%，合條件，經(jīng)枚舉，15%，22%，而15%，22%，可得或或，由單調(diào)性知或或均合題意。15分17. 如圖一塊長(zhǎng)方形區(qū)域，在邊的中點(diǎn)處有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈，其照射角始終為，設(shè)，探照燈照射在長(zhǎng)方形內(nèi)部區(qū)域的面積為（1）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（3）若探照燈每分鐘旋轉(zhuǎn)“一個(gè)來回”（自轉(zhuǎn)到，再回到，稱“一個(gè)來回”，忽略在及處所用的時(shí)間），且轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小一定。設(shè)邊上有一點(diǎn)，且，求點(diǎn)在“一個(gè)來回”中被照到的時(shí)間。17. （1）當(dāng)時(shí)，在上，在上，當(dāng)時(shí)，、都在上， 5分（2）當(dāng)時(shí)，, 當(dāng)時(shí)，10分（3）在“一個(gè)來回”中，共轉(zhuǎn)動(dòng)了，其中點(diǎn)被照到時(shí)，共轉(zhuǎn)動(dòng)了點(diǎn)被照到的時(shí)間為分鐘14分17. （本小題滿分14分）在一個(gè)半徑為1的半球材料中截取三個(gè)高度均為h的圓柱，其軸截面如圖所示，設(shè)三個(gè)圓柱體積之和為.（1）求的表達(dá)式，并寫出的取值范圍是 ；（2）求三個(gè)圓柱體積之和V的最大值；17(1)自下而上三個(gè)圓柱的底面半徑分別為： 3分它們的高均為，所以體積和 6分因?yàn)椋缘娜≈捣秶牵?7分 由得， 9分又，所以時(shí)，；時(shí)，11分所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以時(shí)，取最大值，的最大值為 13分