北京大學數(shù)學分析講義

1、；.第一講 整體與部分1姚正安 數(shù)學分析的概念常常是由局部到整體然后再從整體回到局部（如區(qū)間上函數(shù)的連續(xù)、可微性）, 所以在數(shù)學分析的證明和計算中常常是將整體問題分成幾個局部問題來分別證明和計算, 本講著重探討這方面的證明方法.§1.1 子序列問題 在數(shù)列的收斂與發(fā)散中常常用子序列的斂散性來進行討論, 也就是用部分序列的性質(zhì)來探討整體序列的性質(zhì).問題1.1.1 數(shù)列收斂的充要條件是、收斂到同一極限.【分析】此問題實際上是探討整體序列與兩個部分序列、之間的收斂關系.【證明】必要性 設,則任給,找得到正整數(shù)N,當時,有.此時對2N,當2n>2N時也有,亦即.同理可證. 充分性 設,

2、則對任給,找得到正整數(shù)N1,當n>N1,時,有 同時可找到正整數(shù)N2,當n>N2時,有 從而取N=max2N1,2N2+1,當n>N時,n為偶數(shù),則滿足,n為奇數(shù),則滿足,即當n>N時,有,亦即 .問題1.1.2 設 且滿足：（1） （2） 則存在.【分析】先證存在.由得 即是單調(diào)上升數(shù)列.又 ,由單調(diào)下降和,知是非負序列（不然從某項開始 ,當時,則）.再由單調(diào)下降, 及,從而存在.下證存在.由,從而由數(shù)列極限的運算法則,有,而,由問題1.1.1知,.從而.再由問題1.1.1知存在.注意：一般的教科書上都注明,其實從單調(diào)下降和,可推得出是非負序列.此外我們假定單調(diào)上升,

3、且,問題1.1.2依然正確.問題1.1.3 設 （n=1,2,）,試證存在,并求其值.【證明】 由問題1.1.1和以上推導知.問題1.1.4 證明n不存在.【證明1】（反證） 設n存在,則（n2）=n,由此 ,亦即 ,而 sin 10,所以有 n=.另一方面由問題1.1.1, 知 2n=n，但2n=2n n0，所以 n0，于是 ，這與矛盾?！咀C明2】（反證） 設 nA，則由問題1.1.1，得2n=（2n1）A，但因為 sin (2n+1) = cos 1 sin 2n + sin 1 cos 2n, sin (2n+2) = cos 1 sin (2n+1) + sin 1 cos (2n+1

4、),則由 sin 10,得 2n（2n+1）=,所以 n=。另外 cos (2n+1)cos (2n1)= 2sin 1 sin 2n.取極限得 2n=0，從而得 n=0=A, 所以 n，同樣和矛盾。 下面我們來探討比問題1.1.1更一般的整體與部分數(shù)列問題。問題1.1.5 數(shù)列收斂的充要條件是的任意真子序列收斂。【分析】這里討論的部分數(shù)列是任給的真子列，這樣的子列有無窮多個?！咀C明】必要性 設,是的任一真子列，則是自然數(shù)集中嚴格單調(diào)上升的一個數(shù)列，且，對任給的，存在自然數(shù)N，當n>N時，有 由單調(diào)趨于無窮，則存在k0,使得從而當k>k0時，nk>N滿足，即，由此 。充分性

5、所謂真子列是指下標集N-nk是無窮集，則稱是的真子列，假定對所有的真子列收斂，下證收斂。顯然，、皆為的真子列，則此二真子列皆收斂，設，下證AB。是的真子列，是的真子列。又必要性之證明有，。取，且k=1,2, （x為x的整數(shù)部分），則為無窮集。由此的一個真子列，于是有存在有限。又（1）得 （2）得 綜合（1），（2）有A=B.由問題1.1.1知收斂。注意：這里充分性的證明是構造性的，而且這里須注意的是整體序列變動的是下標n，而部分序列變動的是中的k。問題1.1.6 的充要條件是?！咀C明】若，則對任給的，存在自然數(shù)N，當n>N時， 即。反之，若，則對任給的，存在自然數(shù)N，當n>N時，

6、即。問題1.1.7 若數(shù)是數(shù)列的一個聚點，則有的子序列，使得反之也成立?！痉治觥恳C明本問題先得弄清聚點得概念，然后來“抽取”子序列?！咀C明】由l是的一個聚點，從而對任給的，區(qū)間中有得無窮多項（可重復的選取同一個數(shù)）.下面是子列的“抽取”法。對，在中任取一個的項作為，對，在中有的無窮多項，任取一個作為，對，在中有的無窮多項，任取一個作為，這樣又歸納法我們可取的子列，由取法可知是嚴格單調(diào)的自然數(shù)列。以下證明對任給，總有k0,使得，從而當k>k0時，亦即反之亦然。問題1.1.8 設L是數(shù)列的上極限，則可選取的子序列使同樣可抽取子序列，使l是的下極限（這里L,l可取無窮）?！痉治觥孔⒁獾郊纯?。

7、【證明】先設L有限，我們僅需證明L是的一個聚點。對任給的,由，從而可找到k0,當k>k0時， （*）由此有n1k0,使 （*）于是。同樣由 ，可找到n2>n1,使得。用歸納法可找到，對所有的k，使，而是的無窮多項落在之間，于是L是的一個聚點。下設，則對一切的k皆有(否則由,則當k>k0時，從而，由 ，從而有n1,使得由，從而有n2>n1,使得，由歸納法可從，找得到.這樣另外對下極限，有，所以是得 聚點，從而下極限是的聚點。問題1.1.9 數(shù)列的上極限是的最大聚點，下極限則是最小聚點。存在的充要條件是且為有限值?！痉治觥坑辛藛栴}1.1.8及其證明，問題1.1.9可以很快解

8、決，我們采用反證法?！咀C明】先證上極限是最大聚點（反證）。若不然，另有>上極限L，是的聚點。則有的子列，從而對，當kk0時，有即注意，所以對一切的r總有，于是，對r取極限，得 ，矛盾。同理可證下極限是最小聚點。若存在，則的任何子列都收斂于同一極限，由問題1.1.8，有的子列和，使得(上極限), （下極限），從而，即.反之，若，則對任給，存在N1,當n>N1時，有 同時存在N2,當n>N2，有 取N=maxN1,N2,當n>N時，由、，得注意，代入式，當n>N時，有， 亦即 。在涉及上、下極限得證明總必須注意的是是單調(diào)下降數(shù)列，是單調(diào)上升數(shù)列。問題1.1.10 設滿

9、足條件，則存在?！痉治觥坷脝栴}1.1.9的結論，僅需證上、下極限有限并且相等?！咀C明】由于，則數(shù)列有界，從而如果設，則即上極限有限。先對任給整數(shù)m,自然數(shù)n,可表為n=km+r (0r<m),則 于是因此再對上式取極限，令右邊取下極限，得在問題1.1.10的證明用到了兩個事實：若則（I）(ii) . 另外我們有所以我們?nèi)粢C明僅需證明問題 1.1.11 任何有界數(shù)列必有收斂的子數(shù)列（致密性定理）。【分析】用問題1.1.8僅需證數(shù)列的上極限存在并有限。【證明】設是一個有界數(shù)列，且設 即是一個單調(diào)下降的數(shù)列，又有界，則存在正數(shù)M，,從而。由單調(diào)有界收斂原理知存在。下面我們介紹在分析理論中很

10、重要的對角線法則。問題1.1.12 設是定義在自然數(shù)N上的有界函數(shù)列，則可在中選取子函數(shù)列在N上收斂，即對任給的rN, 存在?！痉治觥坷脝栴}1.1.11想辦法抽取子序列。【證明】由問題說設，存在正數(shù)M，對一切的xN，有從而（1）所以可選取子序列，使得存在。為方便起見，記，我們有存在，且顯然有可為或后面的函數(shù)。（2）由我們可選取的子序列，使存在，且顯然在原數(shù)列中排在之后。 我們?nèi)绱伺畔聛恚?取對角線，則即為所求的子序列。下證對任給的kN，有存在。這由在所取子序列中除了有限項，可能不在中，而存在，從而存在。問題1.1.13 如果數(shù)列的任何子列滿足條件，A為有窮數(shù)，則?！痉治觥孔⒁獾?，用反證法抽取子序列產(chǎn)生矛盾來證明?！咀C明】若不收斂于A，則存在，和的子列，滿足（k=0,1,2,）,于是與問題所設矛盾。在上面的