高中數(shù)學(xué)選修2-3基礎(chǔ)知識歸納

1、2-3 基礎(chǔ)知識歸納高中數(shù)學(xué)選修2-3基礎(chǔ)知識歸納(排列組合、概率問 題)一.基本原理1 .加xx原理：做一件事有n類辦xx,則完成這件事的方xx數(shù)等于 各類方xx數(shù)相加。2 .乘xx原理：做一件事分n步完成，則完成這件事的方xx數(shù)等于 各步方xx數(shù)相乘。注：做一件事時，元素或位置允許重復(fù)使用，求方 xx數(shù)時常用基 本原理求解。二.排列：從n個不同元素中，任取 m (me n)個元素，按照一定的 順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，所 有排列的個數(shù)記為。四.處理排列組合應(yīng)用題1 .明確要完成的是一件什么事(審題)有序還是無序分步還是分類。2 .解排列、組合題的基本策略(1

2、)兩種思路：直接xx:間接xx:對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。 這是解決排列組合應(yīng)用 題時一種常用的解題方xx。分類處理：當(dāng)問題總體不好解決時，常分成若干類，再由分類計數(shù)原理得出結(jié)論。注意：分類不重復(fù)不遺漏。即：每兩類的交集為空集，所有各類的并集為全集。（ 3）分步處理：與分類處理類似，某些問題總體不好解決時，常常分成若干步，再由分步計數(shù)原理解決。在處理排列組合問題時，常常既要分類，又要分步。其原則是先分類，后分步。（4）兩種途徑：元素分析xx;位置分析xx。3排列應(yīng)用題：（1）窮舉xx （列舉xx）:將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉出來；（2） 特殊元

3、素優(yōu)先考慮、特殊位置優(yōu)先考慮；例 1. 電視 xx 連續(xù)播放 6 個廣告，其中含4 個不同的商業(yè)廣告和 2個不同的公xx 廣告，要求首尾必須播放公xx 廣告，則共有種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示） . 解：分二步：首尾必須播放公xx 廣告的有種；中間 4 個為不同的商業(yè)廣告有種，從而應(yīng)當(dāng)填=48.從而應(yīng)填48.例 2. 6 人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排 xx ？解一：間接xx ：即解二：（ 1）分類求解：按甲排與不排在最右端分類.（ 3）相鄰問題：捆邦xx ：對于某些元素要求相鄰的排列問題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來， 看作一“大”元素與其余元素排列， 然后再對

4、相鄰元素內(nèi)部進行排列。（ 4）全不相鄰問題，插空xx ：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空xx. 即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將不相鄰接元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入。（ 5）順序一定，除xx 處理。先排后除或先定后插解 xx 一：對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行全排列， 然后用總的排列數(shù)除于這幾個元素的全排列數(shù)。即先全排，再除以定序元素的全排列。解 xx 二：在總位置中選出定序元素的位置不參加排列，先對其他元素進行排列， 剩余的幾個位置放定序的元素， 若定序元素要求從左到右或從右到左排列，則只有1 種排 xx ；若不

5、要求，則有2 種排 xx ；例. 有4 個男生， 3個女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排xx ？分析一：先在7 個位置上任取4 個位置排男生，有種排xx. 剩余的 3個位置排女生，因要求“從矮到高”，只有1種排xx,故共有 1=840 種.（ 6）“小團體”排列問題采用先整體后局部策略對于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團體”時， 可先將“小團體”看作一個元素與其余元素排列，最后再進行“小團體”內(nèi)部的排列。（ 7）分排問題用“直排xx ”把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。（ 8）數(shù)字問題（組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)）能被 2 整除的

6、數(shù)的特征： 末位數(shù)是偶數(shù)； 不能被 2 整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇數(shù)。能被3 整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3 的倍數(shù)；能被9 整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是9 的倍數(shù)。能被4 整除的數(shù)的特征：末兩位是4 的倍數(shù)。能被5 整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是0 或 5。能被 25 整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是25 ， 50， 75。能被 6 整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3 的倍數(shù)的偶數(shù)。4. 組合應(yīng)用題：（ 1）“至少”“至多”問題用間接排除xx 或分類 xx:1 .從4xx甲型和5xx乙型電視機中任取3xx,其中至少要甲型和乙型電視機各一xx ，則不同的取xx 共有解析 1：逆向思考，至少各一xx 的反

7、面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取xx 共有種 .解析2：至少要甲型和乙型電視機各一xx 可分兩種情況：甲型1xx乙型2xx;甲型2xx乙型1xx;故不同的取xx有種.（ 2）“含”與“不含”用間接排除xx 或分類 xx:2從 5 名男生和 4 名女生中選出 4 人去參加辯論比賽（ 1）如果 4 人中男生和女生各選 2 人，有種選xx ；（ 2）如果男生中的甲與女生中的乙必須在內(nèi)，有種選 xx ；（ 3） 如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1 人在內(nèi)， 有 種選 xx ；（ 4）如果4 人中必須既有男生又有女生，有種選 xx5分組問題：均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再

8、除以組數(shù)的階乘。即除xx 處理。非均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘。即組合處理?；旌戏纸M：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以均勻分組的組數(shù)的階乘。6分配問題：定額分配： （指定到具體位置）即固定位置固定人數(shù)，分步取，得組合數(shù)相乘。隨機分配： （不指定到具體位置）即不固定位置但固定人數(shù)，先分組再排列，先組合分堆后排，注意平均分堆除以均勻分組組數(shù)的階乘。7 隔板 xx ：不可分辨的球即相同元素分組問題五 二項式定理3. 二項式定理的應(yīng)用求二項 xx 中的任何一項，特別是常數(shù)項：變量的指數(shù)為0 、有理項：指數(shù)為整數(shù)；證明整除或求余數(shù)；利用賦值 xx 證明某些組合恒等式；近似計算。4. 二項式系數(shù)的性質(zhì)：5區(qū)

9、分（ 1）某一項的二項式系數(shù)與系數(shù)項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的兩個概念， 但當(dāng)二項式的兩個項的系數(shù)都為 1 時，系數(shù)就是二項式系數(shù)。xx 中的系數(shù)就是二項式系數(shù)。（ 2）二項式系數(shù)最大項與系數(shù)最大項二項式系數(shù)最大項是中間項系數(shù)最大項求xx：設(shè)第k+1項的系數(shù)最大，由不等式組求k。再求第 k+1 項值。系數(shù)的絕對值最大的項二項 xx 的系數(shù)絕對值最大項的求xx ， 設(shè)第 r+1 項系數(shù)的絕對值最大,則此項系數(shù)的絕對值必不小于它左、 右相鄰兩項系數(shù)的絕對值， 即由求r注意：二項 xx 中系數(shù)最大的項及系數(shù)最小的項的求xx: 先求系數(shù)的絕對值最大項第 r+1 項， 然后再求第r+1 項的符號， 若這

10、一項的系數(shù)符號為正，則它為 xx 中系數(shù)最大的項；若這一項的系數(shù)符號為負(fù)，則它為 xx 中系數(shù)最小的項（ 3）二項xx 中，二項式系數(shù)和與各項系數(shù)和應(yīng)用“賦值xx”可求得二項xx中各項系數(shù)和即令式子中變量為1。注意：（ 1）二項 xx 的各項系數(shù)絕對值的和相當(dāng)于的各項系數(shù)的和。即令原式中的 x=-1 即可。（ 2）審題時要注意區(qū)分所求的是項還是第幾項？求的是系數(shù)還是二項式系數(shù)？六事件分類七對某一事件概率的求xx ：八 . 離散型隨機變量1 .在的射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量2 . 離散型隨機變量的分布列一般的 , 設(shè)離散型隨機變量X 可能取的值為X取每一個值（i=1,2,）的概率，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列性質(zhì)： 一般地，離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和。公式：期望或平均數(shù)、均值 E（X）=方差：說明（ 1）數(shù)學(xué)期望的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平 （2） 的算術(shù) xx 為隨機變量X 的標(biāo)準(zhǔn)差， （3） 隨機變量的