材料力學(xué)重點(diǎn)公式復(fù)習(xí)

1、材料力學(xué)期末重點(diǎn)公式復(fù)習(xí)1、 材料力學(xué)的任務(wù)：強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性；應(yīng)力 單位面積上的內(nèi)力平均應(yīng)力 Pm全應(yīng)力pijmopmlimFdFA 0 AdA正應(yīng)力垂直于截面的應(yīng)力分量，用符號(hào)切應(yīng)力相切于截面的應(yīng)力分量，用符號(hào)(1.1)(1.2)表示。表示。圖1.2應(yīng)力的量綱:國(guó)際單位制：Pa(N/m2)、MPa、GPa2 2工程單位制：kgf /m、kgf /cm線應(yīng)變 單位長(zhǎng)度上的變形量，無(wú)量綱，其物理意義是構(gòu)件上一點(diǎn)沿某一方向變形量的大小。外力偶矩傳動(dòng)軸所受的外力偶矩通常不是直接給出，而是根據(jù)軸的轉(zhuǎn)速n與傳遞的功率P來(lái)計(jì)算當(dāng)功率P單位為千瓦(kW)，轉(zhuǎn)速為n (r/min )時(shí)，外力偶矩為PMe

2、9549 (N .m)n當(dāng)功率P單位為馬力(PS),轉(zhuǎn)速為n (r/min )時(shí)，外力偶矩為PMe 7024 (N .m)n拉(壓)桿橫截面上的正應(yīng)力拉壓桿件橫截面上只有正應(yīng)力，且為平均分布，其計(jì)算公式為FnA(3-1)式中Fn為該橫截面的軸力，A為橫截面面積。正負(fù)號(hào)規(guī)定 拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)公式（3-1 ）的適用條件:（1 ）桿端外力的合力作用線與桿軸線重合，即只適于軸向拉（壓）桿件；（2）適用于離桿件受力區(qū)域稍遠(yuǎn)處的橫截面；（3 ）桿件上有孔洞或凹槽時(shí)，該處將產(chǎn)生局部應(yīng)力集中現(xiàn)象，橫截面上應(yīng)力分布很不均勻；（4）截面連續(xù)變化的直桿，桿件兩側(cè)棱邊的夾角200時(shí)拉壓桿件任意斜截面（a圖）上的

3、應(yīng)力為平均分布，其計(jì)算公式為全應(yīng)力 p COS （3-2）2正應(yīng)力cos （ 3-3 ）1切應(yīng)力sin2（ 3-4 ）2式中為橫截面上的應(yīng)力。正負(fù)號(hào)規(guī)定：由橫截面外法線轉(zhuǎn)至斜截面的外法線，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)。拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。對(duì)脫離體內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針力矩的為正，反之為負(fù)。兩點(diǎn)結(jié)論：（1 ）當(dāng)00時(shí)，即橫截面上，達(dá)到最大值，即max 。當(dāng) =90°時(shí)，即縱截面上，=900 =0。max（2 ）當(dāng)45°時(shí)，即與桿軸成45°的斜截面上，達(dá)到最大值，即（）max -21 . 2拉（壓）桿的應(yīng)變和胡克定律（1）變形及應(yīng)變桿件受到軸向拉力時(shí)，軸向伸長(zhǎng)，橫向縮短；受

4、到軸向壓力時(shí)，軸向縮短，橫向伸長(zhǎng)。如圖3-2。圖3-2軸向變形I li I 軸向線應(yīng)變橫向變形bbib橫向線應(yīng)變K- 正負(fù)號(hào)規(guī)定伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)。(2 )胡克定律當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí),應(yīng)力與應(yīng)變成正比。即(3-5)或用軸力及桿件的變形量表示為|電EA(3-6)式中EA稱為桿件的抗拉(壓)剛度,是表征桿件抵抗拉壓彈性變形能力的量。公式(3-6)的適用條件:材料在線彈性范圍內(nèi)工作，即(b)在計(jì)算I時(shí)，I長(zhǎng)度內(nèi)其N、E、A均應(yīng)為常量。如桿件上各段不同，則應(yīng)分段計(jì)算，求其代數(shù)和得總變形。即n NiliIi i EiA(3-7)(3-8)泊松比 當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變

5、之比的絕對(duì)值。即表1-1低碳鋼拉伸過(guò)程的四個(gè)階段階段圖1-5中線段特征點(diǎn)說(shuō)明彈性階段oab比例極限pp為應(yīng)力與應(yīng)變成正比的最高應(yīng)力彈性極限ee為不產(chǎn)生殘余變形的最咼應(yīng)力屈服階段be屈服極限ss為應(yīng)力變化不大而變形顯者增加時(shí)的最低應(yīng)力強(qiáng)化階段ce抗拉強(qiáng)度 bb為材料在斷裂前所能承受的最大名義應(yīng)力局部形變階段ef產(chǎn)生頸縮現(xiàn)象到試件斷裂表1-2 主要性能指標(biāo)性能性能指標(biāo)說(shuō)明彈性性能彈性模量E當(dāng)p時(shí)，E 強(qiáng)度性能屈服極限 s材料出現(xiàn)顯著的塑性變形抗拉強(qiáng)度 b材料的最大承載能力塑性性能h l延伸率1100%l材料拉斷時(shí)的塑性變形程度AA截面收縮率100%A材料的塑性變形程度強(qiáng)度計(jì)算許用應(yīng)力材料正常工作容

6、許采用的最高應(yīng)力，由極限應(yīng)力除以安全系數(shù)求得。塑性材料=；脆性材料=“ 其中n$,nb稱為安全系數(shù)，且大于 1。強(qiáng)度條件：構(gòu)件工作時(shí)的最大工作應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用應(yīng)力。對(duì)軸向拉伸（壓縮）桿件N（3-9）A按式（1-4 ）可進(jìn)行強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)、確定許克載荷等三類強(qiáng)度計(jì)算。2.1 切應(yīng)力互等定理受力構(gòu)件內(nèi)任意一點(diǎn)兩個(gè)相互垂直面上，切應(yīng)力總是成對(duì)產(chǎn)生，它們的大小相等，方向同時(shí)垂直指向或者背離兩截面交 線，且與截面上存在正應(yīng)力與否無(wú)關(guān)。22純剪切單元體各側(cè)面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力的受力狀態(tài)，稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。2.3切應(yīng)變切應(yīng)力作用下，單元體兩相互垂直邊的直角改變量稱為切應(yīng)變或切應(yīng)變，用表示。2

7、.4剪切胡克定律在材料的比例極限范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，即E及泊松比 ），其數(shù)值由實(shí)驗(yàn)決定。(3-10)式中G為材料的切變模量，為材料的又一彈性常數(shù)（另兩個(gè)彈性常數(shù)為彈性模量對(duì)各向同性材料，E、G有下列關(guān)系G(3-11)切應(yīng)力計(jì)算公式橫截面上某一點(diǎn)切應(yīng)力大小為(3-12)式中Ip為該截面對(duì)圓心的極慣性矩,為欲求的點(diǎn)至圓心的距離。圓截面周邊上的切應(yīng)力為maxWt(3-13)(1)5稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù),RR為圓截面半徑。切應(yīng)力公式討論切應(yīng)力公式（3-12）和式（3-13 ）適用于材料在線彈性范圍內(nèi)、小變形時(shí)的等圓截面直桿；對(duì)小錐度圓截面直桿以及階梯形圓軸亦可近似應(yīng)用，其誤差在工程允許范圍內(nèi)。極

8、慣性矩Ip和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù) Wt是截面幾何特征量，計(jì)算公式見(jiàn)表3-3。在面積不變情況下，材料離散程度高,其值愈大；反映出軸抵抗扭轉(zhuǎn)破壞和變形的能力愈強(qiáng)。因此，設(shè)計(jì)空心軸比實(shí)心軸更為合理。表3-3實(shí)心圓（外徑為d）d4Ip 32d3Wt16空心圓（外徑為D，內(nèi)徑為d）Ip 乎(1 a4)32d a DD44Wt(1 a )16圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，全軸中最大切應(yīng)力不得超過(guò)材料允許極限值，否則將發(fā)生破壞。因此，強(qiáng)度條件為maxWt max(3-14)對(duì)等圓截面直桿Tmaxmaxw(3-15 )式中為材料的許用切應(yīng)力。中性層的曲率與彎矩的關(guān)系(3-16)式中，是變形后梁軸線的曲率半徑;E是材料的彈性模量；I E

9、是橫截面對(duì)中性軸Z軸的慣性矩。橫截面上各點(diǎn)彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式(3-17)式中，M是橫截面上的彎矩；Iz的意義同上;y是欲求正應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離最大正應(yīng)力出現(xiàn)在距中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)處M max /max? ymaxI zM maxWz(3-18)式中，Wz亙稱為抗彎截面系數(shù)。對(duì)于h b的矩形截面,ymaxWz1 bh2 ；對(duì)于直徑為6D的圓形截面，Wz3；對(duì)于內(nèi)外徑之比為a 的環(huán)形截面， W,D3(1 a4)。D32若不是對(duì)稱軸，則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值不相等。若中性軸是橫截面的對(duì)稱軸，則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值相等,3.2梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的最大工作應(yīng)力不得超過(guò)材料的容許應(yīng)力，其表達(dá)式為

10、MmaxmaxWz(3-19)對(duì)于由拉、壓強(qiáng)度不等的材料制成的上下不對(duì)稱截面梁(如T字形截面、上下不等邊的工字形截面等)，其強(qiáng)度條件應(yīng)表達(dá)為(3-20a)Mmaxl maxy1I z(3-20b)Mmax yymaxy2I z式中， t , c分別是材料的容許拉應(yīng)力和容許壓應(yīng)力; y1, y2分別是最大拉應(yīng)力點(diǎn)和最大壓應(yīng)力點(diǎn)距中性軸的距離。QSzIzb(3-21式中，Q是橫截面上的剪力；Sz是距中性軸為y的橫線與外邊界所圍面積對(duì)中性軸的靜矩；Iz是整個(gè)橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；b是距中性軸為y處的橫截面寬度。矩形截面梁切應(yīng)力方向與剪力平行，大小沿截面寬度不變，沿高度呈拋物線分布。切應(yīng)力計(jì)算公式6

11、Qbh3h2 y2(3-22)最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸各點(diǎn)處,max工字形截面梁切應(yīng)力主要發(fā)生在腹板部分，其合力占總剪力的9597%，因此截面上的剪力主要由腹板部分來(lái)承擔(dān)。切應(yīng)力沿腹板高度的分布亦為二次曲線。計(jì)算公式為2QB22 b h2H hyIzb 82 4(3-23)近似計(jì)算腹板上的最大切應(yīng)力:maxF s d為腹板寬度 hi為上下兩翼緣內(nèi)側(cè)距dhi圓形截面梁橫截面上同一高度各點(diǎn)的切應(yīng)力匯交于一點(diǎn),其豎直分量沿截面寬度相等，沿高度呈拋物線變化。最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，其大小為maxQ d2 2dQSz Q 83 4QIzb d"3 Ad64(3-25)圓環(huán)形截面上的切應(yīng)力分布與

12、圓截面類似。3.4切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的最大工作切應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用切應(yīng)力，即Qmax SzmaxmaxIzb(3-26)式中，Qmax是梁上的最大切應(yīng)力值；Szmax是中性軸一側(cè)面積對(duì)中性軸的靜矩;Iz是橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；b是max處截面的寬度。對(duì)于等寬度截面,max發(fā)生在中性軸上，對(duì)于寬度變化的截面,max不一定發(fā)生在中性軸上。名義切應(yīng)力：假設(shè)切應(yīng)力沿剪切面是均勻分布的，則名義切應(yīng)力為剪切強(qiáng)度條件：剪切面上的工作切應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用切應(yīng)力5.2擠壓的實(shí)用計(jì)算名義擠壓應(yīng)力假設(shè)擠壓應(yīng)力在名義擠壓面上是均勻分布的，則bsAbsbs(3-27)(3-28)(3-29)式中，Abs表示有效

13、擠壓面積，即擠壓面面積在垂直于擠壓力作用線平面上的投影。當(dāng)擠壓面為平面時(shí)為接觸面面積,當(dāng)擠壓面為曲面時(shí)為設(shè)計(jì)承壓接觸面面積在擠壓力垂直面上的投影面積。擠壓強(qiáng)度條件擠壓面上的工作擠壓應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用擠壓應(yīng)力bsPAbsbs(3-30)1，變形計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，任意兩個(gè)橫截面繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。相距為l的兩個(gè)橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為1 T0GIP(rad)(4.4)若等截面圓軸兩截面之間的扭矩為常數(shù)，則上式化為TlGI P(rad)(4.5)圖4.2式中GI p稱為圓軸的抗扭剛度。顯然,的正負(fù)號(hào)與扭矩正負(fù)號(hào)相同。公式(4.4 )的適用條件:(1)材料在線彈性范圍內(nèi)的等截面圓軸，即(2)

14、 在長(zhǎng)度l內(nèi)，T、G、Ip均為常量。當(dāng)以上參數(shù)沿軸線分段變化時(shí)，則應(yīng)分段計(jì)算扭轉(zhuǎn)角，然后求代數(shù)和得總扭轉(zhuǎn)角。即Tilii 1 GiI R(rad)(4.6)當(dāng)T、Ir沿軸線連續(xù)變化時(shí)，用式(4.4)計(jì)算2，剛度條件扭轉(zhuǎn)的剛度條件圓軸最大的單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角'max不得超過(guò)許可的單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角TmaxmaxGI P(rad/m)(4.7)Tmax180max gi?(/m)(4.8)2，撓曲線的近似微分方程及其積分在分析純彎曲梁的正應(yīng)力時(shí)，得到彎矩與曲率的關(guān)系MEI對(duì)于跨度遠(yuǎn)大于截面高度的梁，略去剪力對(duì)彎曲變形的影響，由上式可得M xEI利用平面曲線的曲率公式，并忽略高階微量，得 撓曲線的近

15、似微分方程，即M xEI(4.9)將上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程為MAdx CEI(4.10)再積分得撓曲線方程dx Cx DEl(4.11)式中，C,D為積分常數(shù)，它們可由梁的邊界條件確定。當(dāng)梁分為若干段積分時(shí)，積分常數(shù)的確定除需利用邊 界條件外，還需要利用連續(xù)條件。3，梁的剛度條件限制梁的最大撓度與最大轉(zhuǎn)角不超過(guò)規(guī)定的許可數(shù)值，就得到梁的剛度條件，即max，I I max(4.12)3，軸向拉伸或壓縮桿件的應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，由功能原理得當(dāng)桿件的橫截面面積A、軸力Fn為常量時(shí)，由胡克定律FnIEA，可得V2EA(4.14)(4.16 )圖4.5將Me T與丄代入上式得Vr 匕Glp2GIP根據(jù)

16、微體內(nèi)的應(yīng)變能在數(shù)值上等于微體上的內(nèi)力功,得應(yīng)變能的密度Vr :(4.17)V W -M2將Me M與圖4.65,梁的彎曲應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，純彎曲時(shí)，由功能原理得2MlM l代入上式得VEl2EI橫力彎曲時(shí),梁橫截面上的彎矩沿軸線變化,此時(shí)，對(duì)于微段梁應(yīng)用式(4.18)，積分得全梁的彎曲應(yīng)變能V，即VM2 xdxi 2EI(4.19)2 截面幾何性質(zhì)的定義式列表于下:靜矩慣性矩慣性半徑慣性積極慣性矩SyzdAyA2I yz dAyA ” iy N AI yz A yzdAIP AP2dASzA ydAIzA2dA匸iz3 慣性矩的平行移軸公式ly lyc a2AIz Izc b2A靜矩：平

17、面圖形面積對(duì)某坐標(biāo)軸的一次矩，如圖I -1所示。定義式：Sy AzdA，SzAydA(I -1 )AA圖I 1曲站的擬嘗量綱為長(zhǎng)度的三次方。由于均質(zhì)薄板的重心與平面圖形的形心有相同的坐標(biāo)zC和yC。則文案大全A ZcaZ dA SyzdASy由此可得薄板重心的坐標(biāo)Zc為ZcAyAA同理有ycSzA所以形心坐標(biāo)ZcSyycSz或 Sy A zc , SzAAAyc(I -2 )由式（I -2 ）得知，若某坐標(biāo)軸通過(guò)形心軸，則圖形對(duì)該軸的靜矩等于零， 即yc 0 , Sz 0 ; zc0，則 Sy0 ；反之，若圖形對(duì)某一軸的靜矩等于零，則該軸必然通過(guò)圖形的形心。靜矩與所選坐標(biāo)軸有關(guān)，其值可能為正,

18、如一個(gè)平面圖形是由幾個(gè)簡(jiǎn)單平面圖形組成，稱為組合平面圖形。設(shè)第nnSzA yCi , SyA zcii 1yci, zci，則其靜矩和形心坐標(biāo)分別為ycSznAi yci i 1nAii 1I塊分圖形的面積為負(fù)或零。Ai ，形心坐標(biāo)為§ I-2慣性矩和慣性半徑慣性矩：平面圖形對(duì)某坐標(biāo)軸的二次矩,如圖I-4所示。量綱為長(zhǎng)度的四次方，恒為正。相應(yīng)定義為圖形對(duì) y軸和對(duì)z軸的慣性半徑。lyiy組合圖形的慣性矩。設(shè)lyi, Izi為分圖形的慣性矩,z2dA ,AIyAIzizAdAIzA則總圖形對(duì)同一軸慣性矩為若以 表示微面積dA到坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離，則定義圖形對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)0的極慣性矩Ip a2dA(I -8 )因?yàn)樗詷O慣性矩與（軸）慣性矩有關(guān)系I p A y2式（I -9）表明，圖形對(duì)任意兩個(gè)互相垂直軸的（軸）下式 匚 a yzdA定義為圖形對(duì)一對(duì)正交軸軸的慣性積