圓錐曲線(求軌跡方程)匯總(共7頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題 圓錐曲線（求軌跡方程）求軌跡方程的常用方法(1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系或F(x，y)0；(2)定義法：先根據(jù)條件得出動點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點(diǎn)的軌跡方程；(3)代入轉(zhuǎn)移法（相關(guān)點(diǎn)法）：動點(diǎn)P(x，y)依賴于另一動點(diǎn)Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程1一個區(qū)別“軌跡方程”與“軌跡”“求動點(diǎn)的軌跡方程”和“求動點(diǎn)的軌跡”是不同的前者只須求出軌跡的方程，標(biāo)出變量x，y的范圍；后者除求出方程外，還應(yīng)指出方程的曲線的

2、圖形，并說明圖形的形狀、位置、大小等有關(guān)的數(shù)據(jù)2雙向檢驗(yàn)求軌跡方程的注意點(diǎn)求軌跡方程，要注意曲線上的點(diǎn)與方程的解是一一對應(yīng)關(guān)系，檢驗(yàn)應(yīng)從兩個方面進(jìn)行：一是方程的化簡是否是同解變形；二是是否符合實(shí)際意義，注意軌跡上特殊點(diǎn)對軌跡的“完備性與純粹性”的影響考向一 直接法求軌跡方程【例1】已知動點(diǎn)P(x，y)與兩定點(diǎn)M(1,0)，N(1,0)連線的斜率之積等于常數(shù)(0)(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程； (2)試根據(jù)的取值情況討論軌跡C的形狀【解】(1)由題意可知，直線PM與PN的斜率均存在且均不為零，所以kPMkPN，整理得x21(0，x1)即動點(diǎn)P的軌跡C的方程為x21(0，x1)(2)當(dāng)0時，軌跡C

3、為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(除去頂點(diǎn))；當(dāng)10時，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(除去長軸的兩個端點(diǎn))；當(dāng)1時，軌跡C為以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓除去點(diǎn)(1,0)，(1,0)當(dāng)1時，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓(除去短軸的兩個端點(diǎn))【對點(diǎn)練習(xí)1】已知A，B為平面內(nèi)兩定點(diǎn)，過該平面內(nèi)動點(diǎn)M作直線AB的垂線，垂足為N.若2，其中為常數(shù)，則動點(diǎn)M的軌跡不可能是()A圓B橢圓C拋物線D雙曲線【解析】以AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)M(x，y)，A(a,0)，B(a,0)，則N(x,0)因?yàn)?，所以y2(xa)(ax)，即x2y2a2，當(dāng)1時，是圓的軌跡

4、方程；當(dāng)0且1時，是橢圓的軌跡方程；當(dāng)0時，是雙曲線的軌跡方程；當(dāng)0時，是直線的軌跡方程綜上，方程不表示拋物線的方程【答案】C考向二 定義法求軌跡方程【例2】已知兩個定圓O1和O2，它們的半徑分別是1和2，且|O1O2|4.動圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線【解】如圖所示，以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系由|O1O2|4，得O1(2,0)，O2(2,0)設(shè)動圓M的半徑為r，則由動圓M與圓O1內(nèi)切，有|MO1|r1；由動圓M與圓O2外切，有|MO2|r2.|MO2|MO1|3.點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)1，O

5、2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為3的雙曲線的左支a，c2，b2c2a2.點(diǎn)M的軌跡方程為1.圖881【對點(diǎn)練習(xí)2】如圖881所示，已知圓A：(x2)2y21與點(diǎn)B(2,0)，分別求出滿足下列條件的動點(diǎn)P的軌跡方程(1)PAB的周長為10；(2)圓P與圓A外切，且過B點(diǎn)(P為動圓圓心)；(3)圓P與圓A外切，且與直線x1相切(P為動圓圓心)【解】(1)根據(jù)題意，知|PA|PB|AB|10，即|PA|PB|64|AB|，故P點(diǎn)軌跡是橢圓，且2a6,2c4，即a3，c2，b.因此其軌跡方程為1(y0)(2)設(shè)圓P的半徑為r，則|PA|r1，|PB|r，因此|PA|PB|1.由雙曲線的定義知，P點(diǎn)的軌跡為雙曲線的右

6、支，且2a1,2c4，即a，c2，b，因此其軌跡方程為4x2y21.(3)依題意，知動點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離等于到定直線x2的距離，故其軌跡為拋物線，且開口向左，p4. 因此其軌跡方程為y28x.圖882考向三 代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求軌跡方程【例3】如圖882所示，設(shè)P是圓x2y225上的動點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為PD上一點(diǎn)，且|MD|PD|.(1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長度【解】(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，P的坐標(biāo)為(xP，yP)，由已知得P在圓上，x2225，即C的方程為1.(2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y(

7、x3)，設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80.x1，x2.線段AB的長度為|AB|.圖885【對點(diǎn)練習(xí)2】(2014合肥模擬)如圖885所示，以原點(diǎn)O為圓心的兩個同心圓的半徑分別為3和1，過原點(diǎn)O的射線交大圓于點(diǎn)P，交小圓于點(diǎn)Q，P在y軸上的射影為M.動點(diǎn)N滿足且0.(1)求點(diǎn)N的軌跡方程；(2)過點(diǎn)A(0,3)作斜率分別為k1，k2的直線l1，l2與點(diǎn)N的軌跡分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，k1k29.求證：直線EF過定點(diǎn)【解】(1)由且0可知N，P，M三點(diǎn)共線且PMQN.過點(diǎn)Q作QNPM，垂足為N，設(shè)N(x，y)，|OP|3，|O

8、Q|1，由相似可知P(3x，y)P在圓x2y29上，(3x)2y29，即x21. 所以點(diǎn)N的軌跡方程為x21.(2)證明：設(shè)E(xE，yE)，F(xiàn)(xF，yF)，依題意，由(k9)x26k1x0，解得x0或x. 所以xE，yEk13，E. k1k29，k2.用k2替代中的k1，同理可得F. 顯然E，F(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線EF必過原點(diǎn)O.【達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】一、選擇題1若M，N為兩個定點(diǎn)，且|MN|6，動點(diǎn)P滿足0，則P點(diǎn)的軌跡是() A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線2已知點(diǎn)F，直線l：x，點(diǎn)B是l上的動點(diǎn)若過B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是()A雙曲線B橢圓 C圓 D拋物線

9、3(2014天津模擬)平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(3,1)，B(1,3)，若點(diǎn)C滿足12(O為原點(diǎn))，其中1，2R，且121，則點(diǎn)C的軌跡是()A直線B橢圓C圓D雙曲線圖8844(2014合肥模擬)如圖884所示，A是圓O內(nèi)一定點(diǎn)，B是圓周上一個動點(diǎn)，AB的中垂線CD與OB交于E，則點(diǎn)E的軌跡是()A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線5設(shè)過點(diǎn)P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若2，且1，則點(diǎn)P的軌跡方程是 ()A.x23y21(x0，y0) B.x23y21(x0，y0)C3x2y21(x0，y0) D3x2y21(x0，y0

10、)6已知動點(diǎn)P在曲線2x2y0上移動，則點(diǎn)A(0，1)與點(diǎn)P連線中點(diǎn)的軌跡方程是()Ay2x2 By8x2 C2y8x21 D2y8x21二、填空題7平面上有三個點(diǎn)A(2，y)，B，C(x，y)，若，則動點(diǎn)C的軌跡方程是_8動圓與C1：x2y21外切，與C2：x2y28x120內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡是_9已知ABC的頂點(diǎn)B(0,0)，C(5,0)，AB邊上的中線長|CD|3，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_ 10.(2014佛山模擬)在ABC中，A為動點(diǎn)，B，C為定點(diǎn)，B，C(a0)，且滿足條件sin Csin Bsin A，則動點(diǎn)A的軌跡方程是_三、解答題11已知定點(diǎn)F(0,1)和直線l1：y1，過定

11、點(diǎn)F與直線l1相切的動圓的圓心為點(diǎn)C.(1)求動點(diǎn)C的軌跡方程；(2)過點(diǎn)F的直線l2交軌跡于P，Q兩點(diǎn)，交直線l1于點(diǎn)R，求的最小值12(2011課標(biāo)全國卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0，1)，B點(diǎn)在直線y3上，M點(diǎn)滿足，M點(diǎn)的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)P為C上的動點(diǎn)，l為C在P點(diǎn)處的切線，求O點(diǎn)到l距離的最小值13(2013課標(biāo)全國卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長為2，在y軸上截得線段長為2.(1)求圓心P的軌跡方程；(2)若P點(diǎn)到直線yx的距離為，求圓P的方程【達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】 參考答案一、選擇題1A. 【解析】0，PMPN，點(diǎn)P的軌跡是以線段MN

12、為直徑的圓2D. 【解析】由已知：|MF|MB|，由拋物線定義知，點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線3A【解析】設(shè)C(x，y)，因?yàn)?2，所以(x，y)1(3,1)2(1,3)，即解得又121，所以1，即x2y5，所以點(diǎn)C的軌跡為直線，故選A.4B【解析】由題意知，|EA|EO|EB|EO|r(r為圓的半徑)且r|OA|，故E的軌跡為以O(shè)，A為焦點(diǎn)的橢圓，故選B.5A. 【解析】設(shè)P(x，y)，A(xA,0)，B(0，yB)，則(x，yyB)，(xAx，y)，2，即A，B(0,3y)又Q(x，y)，(x，y)，x23y21，則點(diǎn)P的軌跡方程是x23y21(x0，y0)6C【解析】設(shè)AP中

13、點(diǎn)M(x，y)，P(x，y)，則x，y，代入2x2y0，得2y8x21，故選C. 二、填空題7y28x?！窘馕觥?2，y)，(x，y)，0，0，即y28x. 動點(diǎn)C的軌跡方程為y28x.8以C1，C2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支?！窘馕觥緾2的圓心為C2(4,0)，半徑為2，設(shè)所求動圓的圓心為M，半徑為r，因?yàn)閯訄A與C1外切，又與C2內(nèi)切，所以r2，|MC1|r1，|MC2|r2. 由得|MC1|MC2|3|C1C2|4. 根據(jù)雙曲線的定義知，動圓圓心的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支9(x10)2y236(y0) 【解析】設(shè)A(x，y)，則D，|CD|3，化簡得(x10)2y236，由于A，B

14、，C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，A不能落在x軸上，即y0.10.【答案】1(x0且y0). 【解析】由正弦定理：，即|AB|AC|BC|，故動點(diǎn)A是以B，C為焦點(diǎn)，為實(shí)軸長的雙曲線右支三、解答題11【解】(1)由題設(shè)知點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于它到l1的距離，點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l1為準(zhǔn)線的拋物線，動點(diǎn)C的軌跡方程為x24y.(2)由題意知，直線l2的方程可設(shè)為ykx1(k0)，與拋物線方程聯(lián)立消去y，得x24kx40. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x24k，x1x24. 又易得點(diǎn)R的坐標(biāo)為，(kx12)(kx22)(1k2)x1x2(x1x2)44(1k2)4k448.k22，當(dāng)且僅當(dāng)k21時取等號，42816，即的最小值為16.12【解】(1)設(shè)M(x，y)，由已知得B(x，3)又A(0，1)，所以(x，1y)，(0，3y)，(x，2)再由題意可知()0，即(x，42y)(x，2)0，所以曲線C的方程為yx22.(2)設(shè)P(x0，y0)為曲線C：yx22上一點(diǎn)，因?yàn)閥x，所以l的斜率為x0.因此直線