1.2二重積分計(jì)算方法ppt課件

1、 Ddxdyyxf),( ba( )A x dxV ()A x 0yz( , )zf x y 1( )x 2( )x 21( )()xx ( , )f x y dy( , )Df x y dxdy 2()1()( , )xxababf x y dy ddxx 21( )( )xx ( , )f x y dy曲頂柱體體積：曲頂柱體體積：21( )( )( , )( , )dycyDf x y dxdydyf x y dx 同同樣樣可可以以表表示示成成：二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算:D),()(21xyx bxa xy0)(1xy )(2xy abxy0)(2xy )(1xy ab21( )( )

2、( , )( , )xxDf x y dxdydxfdx yy b ba a1. X型區(qū)域型區(qū)域特點(diǎn)特點(diǎn):用平行于用平行于 y 軸且穿過(guò)軸且穿過(guò) D 內(nèi)部的直線與內(nèi)部的直線與 D 的邊界相交的邊界相交不多于兩點(diǎn)。不多于兩點(diǎn)。1212( ),( )( )( ),yxyxxxxa xb 由由曲曲線線及及所所圍圍成成區(qū)區(qū)域域:D),()(21yxy dyc xy0cd)(1yx )(2yx )(1yx )(2yx xy0 Ddxdyyxf),( dy ),(yxfdx)(1y )(2y cd 特點(diǎn)：平行于特點(diǎn)：平行于 x 軸且穿過(guò)軸且穿過(guò) D 內(nèi)部的直線與內(nèi)部的直線與 D 的的邊界相交不多于兩點(diǎn)。邊

3、界相交不多于兩點(diǎn)。2. Y 型區(qū)域型區(qū)域1212( ),( )( )( ),xyxyyyyc yd 由由曲曲線線及及所所圍圍成成區(qū)區(qū)域域 X X型區(qū)域的特點(diǎn)：型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過(guò)區(qū)域且平行于穿過(guò)區(qū)域且平行于y y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn). . Y Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于x x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)點(diǎn). .若區(qū)域如圖，若區(qū)域如圖，3D2D1D在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式使用積分公式.321 DDDD則必須分割則必須分割.1例例,d

4、xdyxyD 求求, 1 xD由由, 2 yxy 圍成圍成解解xy01(1,1)xxy 交交點(diǎn)點(diǎn)：2(2,2)yxy 1(1,2)2xy 1例例,dxdyxyD 求求, 1 xD由由, 2 yxy 圍成圍成解解xy02 y Dxydxdy dy xy dx1y)1 , 1()2 , 2(11221 xxy 1例例,dxdyxyD 求求, 1 xD由由, 2 yxy 圍成圍成解解xy01 x Dxydxdy dy xy dx1y)1 , 1()2 , 2(12 dx xydy Dxydxdyx21122 dx122221xxydx 12x2()213x 2x 21481x 89 xy 2 y 2

5、2D,D0,1xydxdyyxy 例例計(jì)計(jì)算算其其中中區(qū)區(qū)域域 由由所所圍圍成成的的上上半半平平面面2D 01, 11yxx 解解： ：21112101D(1)0 xxydxdydxxydyxx dx 2例例 Dy求求xy0 dy 221yx dxdy, 1 xD由由, 1 yxy 圍成圍成解解1 x1 yxy Dy221yx dxdy)1 , 1()1, 1( 221yxy dx1 y1 1)(另另xy01 x1 yxy )1 , 1()1, 1( dx dy221yxy x11 13例例 D求求2xedxdy0,Dy 由由1,x xy 圍成圍成解解xy00y )1 , 1( dy Ddxd

6、y2xe2xe dx1x xy y101)(另另 dx 2xedy0 x01xy00y )1 , 1(1x xy 4例例 D求求xydxdy:Dxy0)2 , 4(2 xy,2yx 解解2yx 2 xy)1, 1( Dxydxdy dx xydy2 xx04 dx xydy01x x dx xydy142 xx)(另另xy0)2 , 4(2yx 2 xy)1, 1( dy xydx2y2 y1 2例例 求求 Ddxdyyx)(2，其其中中D是是由由拋拋物物線線2xy 和和2yx 所所圍圍平平面面閉閉區(qū)區(qū)域域. 解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddx

7、dyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx xy 1例例 改變積分改變積分 xdyyxfdx1010),(的次序的次序. 原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖xy 222xxy 例例 改變積分改變積分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序的次序. 原式原式 102112),(yydxyxfdy.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖例例 計(jì)計(jì)算算積積分分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121. 解解 dxexy不能用初等函數(shù)表示不能用

8、初等函數(shù)表示先先改改變變積積分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 2DD(0,0),(0,1),(1,1)yedxdy 例例設(shè)設(shè) 是是以以為為頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的三三角角形形區(qū)區(qū)域域，求求xy解解：先先 后后 積積分分，得得22211000D11(1)2yyyyedxdydyedxyedye yx先先 后后 積積分分，得得22110Dyyxedxdydxedy 解解曲面圍成的立體如圖曲面圍成的立體如圖., 10 yx,xyyx 所所求求體體積積 DdxyyxV )( 1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.2

9、47 所所圍圍立立體體在在xoy面面上上的的投投影影是是二、極坐標(biāo)系二、極坐標(biāo)系1例例 D求求)(22yx dxdy1:22 yxD解解 Ddxdy)(22yx xy0D dy )(22yx dx21y 21y 1 1 dy1 1331 x2xy 21y 21y dy 1 1232)1(32y 122 yx 極坐標(biāo)下重積分的計(jì)算極坐標(biāo)下重積分的計(jì)算（2極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系cossinxryr （3曲線的極坐標(biāo)表示曲線的極坐標(biāo)表示圓：圓：x2+y22y = 0 r2cos2 + r2sin22rsin = 0 r2 = 2rsin該圓的極坐標(biāo)方程為該圓的極坐標(biāo)方程為 r

10、= 2sina = cr = ar = 2sinoM(x,y)xy平面上給定點(diǎn)平面上給定點(diǎn) M(x, y)M( r, ) 點(diǎn)點(diǎn)M的極坐標(biāo)的極坐標(biāo)r為常數(shù)，為常數(shù)，02）（1極坐標(biāo)極坐標(biāo)例如例如 r = a 圓圓 = c 射線射線 12(,)( ,)()(),Dfx y dDrrrr 以圓族以圓族 r = ri , 及射線族及射線族 = i （ i = 1，2，n分割分割D2211()22iiiiiirrr 21()2iiiiirrr iiirr drdrd 所所 以以(,)( cos,sin)DDfx y df rrrdrd DAoAoiiiiirr iirrr 二重積分二重積分在在極極坐坐標(biāo)

11、標(biāo)下下的的計(jì)計(jì)算算法法： Ddxdyyxf),(AoD d ( cos , sin )f rrr1( )r 2( )r )(1 )(2 AoAodr Ddxdyyxf),( d ( cos , sin )f rrrdr)(1 )(2 特殊情況：特殊情況：( )r Ao Ddxdyyxf),( d ( cos , sin )f rr0)( rdr()r Ao Ddxdyyxf),( d ( cos , sin )f rr0)( 0 2rdr例例 D求求)(22yx dxdy1:22 yxD解解 Ddxdy)(22yx xy0D122 yx2( sin )r 2( cos )r 1 21r 1r

12、d r010 22r 2 41 dr例例 D求求dxdy, 1:22 yxD解解22yx 0 xDxy0 Ddxdy22yx d rdrr012 2 31 例例 D求求322)(yx dxdyyyxD2:22 解解原式 d 6rrdrDxy00 sin2yyx222 2r2 sinr 0 d0 818r0 sin2 320 d8sin32 2 87 65 43 21 2 例例 D求求 d r2re 2 dr22yxe dxdy,:222ayxD 解解xy0D Ddxdy22yxe 222ayx ra 0a02 2012rae )1(42ae , 0 x0 y例例計(jì)算計(jì)算2xIedx 解解 2I

13、2xedx 2yedy Ddxdy22yxe 2222120044xyrDIedxdyderdr I ( , )|0,02 Drr D1 1由由于于被被積積函函數(shù)數(shù)和和區(qū)區(qū)域域?qū)?duì)稱(chēng)稱(chēng)性性，只只需需計(jì)計(jì)算算上上的的積積分分12D( , )|0,0rr 2014()|22re 解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy解解由由對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)性性，可可只只考考慮慮第第一一象象限限部部分分， 注注意意：被被積積函函數(shù)數(shù)也也要要有有對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)性性. Ddxdyyxyx2222)sin(4 1

14、2222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 14DD 1D( , ):( , )xx u vTyy u v DDvu),(滿足滿足上在Dvuyvux),(, ),() 1 (一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式雅可比行列式(2)D 在在上上;0),(),(),(vuyxvuJ(3) 變換變換DDT:定理定理2,),(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉域域設(shè)設(shè)Dyxf變換變換:是一一對(duì)應(yīng)的是一一對(duì)應(yīng)的 ,ovuDoyxDT二重積分的變量變換公式二重積分的變量變換公式那么那么( , )ddDf x yxy Dvuyvuxf),(),(vuvuJdd),(oyxDovuD證證

15、根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換 T 可逆可逆. 用平行于坐標(biāo)軸的用平行于坐標(biāo)軸的 ,坐標(biāo)面上在vou 直線分割區(qū)域直線分割區(qū)域 ,D任取其中一個(gè)小矩任取其中一個(gè)小矩T形形, 其頂點(diǎn)為其頂點(diǎn)為),(, ),(21vhuMvuM1Mu4M3M2Mhu vkv 通過(guò)變換通過(guò)變換T, 在在 xoy 面上得到一個(gè)四邊面上得到一個(gè)四邊形形, 其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為)4, 3, 2, 1(),(iyxMiii1M4M3M2M,22kh 令那么12xx ),(),(vuxvhux).,(, ),(43kvuMkvhuM)(),(ohvuux14xx ),(),(vuxkvux)(),(okvuvx

16、12yy )(),(ohvuuy同理得同理得14yy )(),(okvuvy當(dāng)當(dāng)h, k 充分小時(shí)充分小時(shí),曲邊四邊形曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四近似于平行四 邊形邊形, 故其面積近似為故其面積近似為1214M MM M 14141212yyxxyyxxkhkhvyvxuyuxhkvyuyvxuxhkvuJ),(vuvuJdd),(d因此面積元素的關(guān)系為因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式從而得二重積分的換元公式: ( , )ddDf x yxy ( ( , ), ( , )Df x u vy u v vuvuJdd),(例如例如, 直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí)直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí), sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsin cosrr( , )ddDf x yxy ( cos , sin ) d dDf rrrr 廣義極坐標(biāo)變換廣義極坐標(biāo)變換co ssinxa ryb rcossin.sincosabJabrarbr例例 計(jì)算計(jì)算其中其中D 是是 x = 0, y = 0, x + y = 1 所圍區(qū)域所圍區(qū)域. 解解那那么么令令 Dyxyxyxdde, yxu , yxv ),(21vux ),(21uvy ),(vuJxyO11vuO111 21