2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)層級二專題七系列4選考第1講坐標系與參數(shù)方程教學(xué)案(選修4_4)

1、第1講 選修4-4坐標系與參數(shù)方程考情考向高考導(dǎo)航高考主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標方程；參數(shù)方程與普通 方程的互化，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應(yīng)用.以極坐標、參數(shù)方程與普通方程 的互化為主要考查形式，同時考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識.真題體驗1. (2018 全國I卷)在直角坐標系xOy中，曲線。的方程為y=k| x|+2.以坐標原點為 極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為 p2+2p cos 03 = 0.(1)求G的直角坐標方程；(2)若。與C2有且僅有三個公共點，求 C的方程.解：(1)由x= p cos 8 , y= p s

2、in 0得。的直角坐標方程為(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知G是圓心為 A( 1,0),半徑為2的圓.由題設(shè)知，C是過點B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線. 記y軸右邊的射線為11, y軸左 邊的射線為12.由于B在圓G的外面，故C與。有且僅有三個公共點等價于 11與G只有一個 公共點且1 2與。有兩個公共點，或1 2與。只有一個公共點且1 1與。有兩個公共點.當1 1與Q只有一個公共點時，A到11所在直線的距離為 2,所以 7| = 2,4k +144故k= /或k=0.經(jīng)檢驗，當k=0時，11與。沒有公共點；當k=段時，11與。只有一個公 33共點，12與G有兩個公共點.當1 2

3、與C2只有一個公共點時，A到1 2所在直線的距離為 2,所以隼粵=2,故k= 0或kVk2+1 、7綜上，所求G的方程為y = -4| x| +2.32. (2019 全國I卷)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為1-t2x=1+t24ty=Kl的極坐標方程為為參數(shù)).以坐標原點 O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線2 p cos 8 + 淄 p sin 8+11 = 0.(1)求C和l的直角坐標方程；(2)求C上的點到l距離的最小值.解：(1)曲線C參數(shù)方程為4t y=TTT 由x2+1t2，曲線C的直角坐標方程為 x2+y4= 1(xw1).x=由y=p cosp sinl的

4、直角坐標方程為 2x+*73y+11=0.(2) C上的點(cos 0 , 2sin0)到直線l的距離 d =12cos e + 2J3sin e + 11|4+3兀當 sin e+-=-ot dmin = *j7即C上的點到l距離的最小值為7.主干整合兀4sin 9 + + 111 .直角坐標與極坐標的互化把直角坐標系的原點作為極點,x軸正半軸作為極軸,p 2= x2+ y2,且在兩坐標系中取相同的長度單位.設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點，它的直角坐標、極坐標ye =- xwoXx= p cos 0 ,tan分別為(x, y)和(p , 0),則 y = p sin 0 ,2 .直線的極坐標方程若直

5、線過點 M P % 8 0),且極軸到此直線的角為a ,則它的方程為p sin( 0 a )=p osin( 9 0 a ).幾個特殊位置的直線的極坐標方程：(1)直線過極點：8 = a ;(2)直線過點 M a, 0)( a0)且垂直于極軸；p cos 8 =a;兀(3)直線過Mb, 且平行于極軸：p sin 0 = b.3 .圓的極坐標方程幾個特殊位置的圓的極坐標方程：(1)當圓心位于極點，半徑為 r： p =r；(2)當圓心位于M(r, 0),半徑為r： p =2rcos e；兀(3)當圓心位于 Mr,半徑為r： p=2rsin 0.4 .直線的參數(shù)方程X = X。+ t cos a ,

6、經(jīng)過點R(x, y),傾斜角為a的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).y=y0+tsin a設(shè)P是直線上的任一點，則 t表示有向線段PP的數(shù)量.5 .圓、橢圓的參數(shù)方程x = x0+rcos 0 ,(1)圓心在點Mx0, yo),半徑為r的圓的參數(shù)方程為(0為參數(shù),y = yo+ rsin00 02兀).(2)橢圓3+ y2= 1的參數(shù)方程為a by=bsin 0熱點一極坐標方程及其應(yīng)用數(shù)學(xué)運算系喬數(shù)學(xué)運算一一極坐標應(yīng)用問題中的核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程，在極坐標應(yīng)用中加強運算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想.例1(2019 全國出卷)如圖，在極坐標系 Ox中

7、，A(2,0),B 4 ,C/2,D(2 ,兀)，弧BC(所在圓的圓心分別是(1,0), i, 2 ,(i,兀)，曲線m是弧A13,曲線m是弧工*(門曲線M3是弧(1)分別寫出M, M,M的極坐標方程;(2)曲線M由M, M, M構(gòu)成，若點 P在M上，且| OP=J3,求P的極坐標.審題指導(dǎo)(i)依據(jù)條件直接寫出圓的極坐標方程，因為是圓弧，所以要對極角e進 行范圍限制.(2)根據(jù)點p在三段圓弧上的不同情況分類討論，由|op = 3分別求出極角，從而確定點P的極坐標.念，希,CT)解(1)由題設(shè)可得，弧所在圓的極坐標方程分別為 p =2cos 0 , p = 2sin 0 , p = 2cos

8、0 .兀所以 M的極坐標方程為 P = 2cos 0 0 e , M2的極坐標方程為 P = 2sine e w等，m的極坐標方程為 p =- 2cos e 等w e w兀.44r4(2)設(shè)P( p , e),由題設(shè)及(1)知若 0W 8 w 十,則 2cos 8 =43,解得 8 =6；若4 0W號匚,則2sin 8 =#,解得 0 =3或8 =3；3 5育:-w 9 % ,則一 2cos 9 =弋3,斛得 9 = .4 16綜上，p的極坐標為小,6或小,-3-或小,十或寸3,極坐標方程問題的求解方法有關(guān)曲線的極坐標方程的問題中，常見的有直線與圓的交點問題，圓心到直線的距離問 題等.一般情況

9、下，解決的方案是：化極坐標方程為平面直角坐標方程，然后用平面解析幾 何的方法解決問題，必要時，還要把結(jié)果返回到極坐標系中.(2018 江蘇卷)在極坐標系中，直線l的萬程為p sin( y- 0)=2,曲線C的萬程為p= 4cos 0 ,求直線l被曲線C截得的弦長.解:因為曲線C的極坐標方程為 p = 4cos 9 ,所以曲線C是圓心為(2,0),直徑為4的圓.,兀因為直線l的極坐標方程為 p sin( 9) = 2, . 兀則直線l過A(4,0),傾斜角為,6所以A為直線l與圓C的一個交點. 一兀設(shè)另一個交點為 B,則/ OAB=-.6.兀連結(jié)OB因為OA為直徑，從而/ OBA=萬，所以 AB

10、= OA cos/ OAB= 4cos= 2鎘.因此，直線l被曲線C截得的弦長為2出.熱點二參數(shù)方程及其應(yīng)用x=2cos 0 ,例2(2018 全國n卷)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為y=4sin 0X= 1 +1 COS a , (e為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).y=2+tsin a(1)求C和l的直角坐標方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2),求l的斜率.審題指導(dǎo)(1)直接消去參數(shù)可得曲線的直角坐標方程，注意對相關(guān)系數(shù)的分類討論；(2)利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解.解析(1)曲線C的參數(shù)方程為x = 2cos 0y = 4sin 9x y4

11、 + 16= 1.x= 1 + tcos a直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))y=2+tsinay 2-= tan a( a w90 )，即 tan ax- 1x y+2tan a =0,當 a = 90 時，x= 1.綜上，l :tan a x y+ 2 tan x= 1 a = 90.a W90(2)當a =90 ,點(1,2)不為中點，不成立.當 aw90 ,把 l 代入曲線 C中得：4x2+ tan a (x1) + 22= 16,化簡彳導(dǎo):(4 + tan 2 a ) x2+ (4tana 2tan 2 a ) x+ tan 2 a 4tan a12=0,一、,一口廠 2tan2 a 4

12、tan a點(1,2)為弦的中點， Xi + X2=2,即一2=2,4 十 tan a .tan a= 2, 直線 l 的斜率 k= 2.參數(shù)方程與普通方程的互化及應(yīng)用技巧(1)將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程，常用的消參方法有代入消參、 加減消參、三角恒等式消參等，往往需要對參數(shù)方程進行變形，為消去參數(shù)創(chuàng)造條件.但在 消參時要注意參數(shù)范圍等價變形.(2)在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中，參數(shù)方程的使用會使問題的解決事半功倍，尤其 是求取值范圍和最值問題，可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中，根據(jù)參數(shù)的取值條件 求解.x= cos e（2018 全國出卷）在平面直角坐標系 xOy中

13、，。的參數(shù)方程為，（0為參y= sin 0數(shù)），過點（0,J2）且傾斜角為a的直線l與。O交于A, B兩點. 的取值范圍；（2）求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程.解析：（1）。的普通方程為x2+y2=1.a =2時，l與。O父于兩點.a w2-時，記 tan a = k,則 l的方程為y=kx 42. l與。O交于兩點且當且僅當j2 1,即1 + k兀4,712兀綜上，a的取值范圍是x = t cos(2) l的參數(shù)方程為廠y= 2+ tsin(t一 兀為參數(shù)， a3兀）設(shè)A, B, P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA, tBtP,t a+ t B tP=，且 tA, t b滿足 t22加t sin a +1

14、=0.于是 tA+ t b= 2/2sina, t p=/sina .X = t pCOS a , 又點P的坐標(x, y)滿足y=-V2 + tpsin a .所以點P的軌跡的參數(shù)方程是22y= 2 一 2cos 2 ”（a 為參數(shù)，- a 0)在曲線C:p =4sin 0上，直線l過點A(4,0)且與O弧直，垂足為 P.兀.當9。=萬時)求P。及1的極坐標方程;(2)當M在C上運動且P在線段OMk時，求P點軌跡的極坐標方程.；=23.由已知得 | OP = | OAcos 3A一，,兀，解：(1)因為 M P。，6。)在。上，當 8。= 以時，po=4sin 兀3=2.兀設(shè)Qp, 0)為

15、l 上除 P的任意一點，在 RtOPQK P cos 0 - =| OFP=2.兀兀經(jīng)檢驗，點P2, W在曲線p cos 9 3 =2上.兀所以，l的極坐標方程為 P cos e - =2.(2)設(shè) P( P , e ),在 Rt OAF, | OP = | OAcos e = 4cos e ,則 P = 4cos e ,兀 兀因為P在線段OM上，且API OM故8的取值范圍是 丁，萬.所以，P點軌跡的極坐標方程為p = 4cos 0 ,7t7t1x=1 + 2t ,3. (2020(t成都摸底)在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為y= 1 +為參數(shù)).在以坐標原點 O為極點，x軸的正半軸

16、為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為 P 2(1 +2cos2 e )=3.(1)寫出直線l的普通方程與曲線 C的直角坐標方程；(2)設(shè)點M(1,1),若直線l與曲線C相交于不同的兩點 A, B,求|AM+|BM的值.解析：(1)由直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t,得x-1=3(y-1),化簡，彳#直線l的普通方程為A/3x-y+1-3 = 0. 曲線C的極坐標方程可化為p 2+2 p 2cos2 0=3, .(x2+y2) + 2x2=3, 曲線C的直角坐標方程為x2+y7=1.3(2)由題易知，點 M在直線l上.將直線l的參數(shù)方程代入x2+y3-=1,得 /I 2+3 1 +坐 2=1,化簡

17、，得 t2+2 1+ 坐 t+2=0, 338 8 3此時 A = 3 + -3-0,此方程的兩根為直線l與曲線C的交點A B對應(yīng)的參數(shù)t1, t2.由根與系數(shù)的關(guān)系，得t1 + t2= 2 + 233 , t1t2 = |,2,334.(2020 南昌模擬)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x = V7cosy= 2+巾sina(其 .| AM + | BM = | t1| + | t2| = t1t2= 2 +中a為參數(shù))，曲線C： (x1)2+y2=1,以坐標原點 O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線C的普通方程和曲線 。的極坐標方程.兀(2)若射線e = ( P

18、0)與曲線C, G分別交于 A B兩點，求|AB.X=J7C0S a(其中oc為參數(shù)),解析：(1)因為曲線C的參數(shù)方程為Vy=2 + #7sin a所以曲線Ci的普通方程為x2+(y2)2=4.因為曲線 C2: (x-1)2+y2=1,所以把 x= p cos 0 , y= p sin 0 代入(x 1) 2+ y2= 1,得到曲線C2的極坐標方程(p cos 0 -1)2+( p sin 8)2 = 1,化簡得p = 2cos 0 . .、兀兀(2)依題息設(shè) A p， , B p2,因為曲線G的極坐標方程為 p 2-4p sin 0 -3=0,將e =-6( p 0)代入曲線c的極坐標方程，得 p22p3=0,解得 p 1= 3,兀同理，將e = ( P o)代入曲線G的極坐標方程，得 p 2=木，所以 | AB = | p1 p2|=3 m.x