2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)層級(jí)二專題七系列4選考第1講坐標(biāo)系與參數(shù)方程教學(xué)案(選修4_4)

1、第1講 選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程考情考向高考導(dǎo)航高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程與普通 方程的互化，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用.以極坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程 的互化為主要考查形式，同時(shí)考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識(shí).真題體驗(yàn)1. (2018 全國(guó)I卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線。的方程為y=k| x|+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為 極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為 p2+2p cos 03 = 0.(1)求G的直角坐標(biāo)方程；(2)若。與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求 C的方程.解：(1)由x= p cos 8 , y= p s

2、in 0得。的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知G是圓心為 A( 1,0),半徑為2的圓.由題設(shè)知，C是過(guò)點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線. 記y軸右邊的射線為11, y軸左 邊的射線為12.由于B在圓G的外面，故C與。有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于 11與G只有一個(gè) 公共點(diǎn)且1 2與。有兩個(gè)公共點(diǎn)，或1 2與。只有一個(gè)公共點(diǎn)且1 1與。有兩個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)1 1與Q只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到11所在直線的距離為 2,所以 7| = 2,4k +144故k= /或k=0.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k=0時(shí)，11與。沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k=段時(shí)，11與。只有一個(gè)公 33共點(diǎn)，12與G有兩個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)1 2

3、與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到1 2所在直線的距離為 2,所以隼粵=2,故k= 0或kVk2+1 、7綜上，所求G的方程為y = -4| x| +2.32. (2019 全國(guó)I卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為1-t2x=1+t24ty=Kl的極坐標(biāo)方程為為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn) O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線2 p cos 8 + 淄 p sin 8+11 = 0.(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值.解：(1)曲線C參數(shù)方程為4t y=TTT 由x2+1t2，曲線C的直角坐標(biāo)方程為 x2+y4= 1(xw1).x=由y=p cosp sinl的

4、直角坐標(biāo)方程為 2x+*73y+11=0.(2) C上的點(diǎn)(cos 0 , 2sin0)到直線l的距離 d =12cos e + 2J3sin e + 11|4+3兀當(dāng) sin e+-=-ot dmin = *j7即C上的點(diǎn)到l距離的最小值為7.主干整合兀4sin 9 + + 111 .直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸正半軸作為極軸,p 2= x2+ y2,且在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)ye =- xwoXx= p cos 0 ,tan分別為(x, y)和(p , 0),則 y = p sin 0 ,2 .直線的極坐標(biāo)方程若直

5、線過(guò)點(diǎn) M P % 8 0),且極軸到此直線的角為a ,則它的方程為p sin( 0 a )=p osin( 9 0 a ).幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程：(1)直線過(guò)極點(diǎn)：8 = a ;(2)直線過(guò)點(diǎn) M a, 0)( a0)且垂直于極軸；p cos 8 =a;兀(3)直線過(guò)Mb, 且平行于極軸：p sin 0 = b.3 .圓的極坐標(biāo)方程幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程：(1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為 r： p =r；(2)當(dāng)圓心位于M(r, 0),半徑為r： p =2rcos e；兀(3)當(dāng)圓心位于 Mr,半徑為r： p=2rsin 0.4 .直線的參數(shù)方程X = X。+ t cos a ,

6、經(jīng)過(guò)點(diǎn)R(x, y),傾斜角為a的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).y=y0+tsin a設(shè)P是直線上的任一點(diǎn)，則 t表示有向線段PP的數(shù)量.5 .圓、橢圓的參數(shù)方程x = x0+rcos 0 ,(1)圓心在點(diǎn)Mx0, yo),半徑為r的圓的參數(shù)方程為(0為參數(shù),y = yo+ rsin00 02兀).(2)橢圓3+ y2= 1的參數(shù)方程為a by=bsin 0熱點(diǎn)一極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用數(shù)學(xué)運(yùn)算系喬數(shù)學(xué)運(yùn)算一一極坐標(biāo)應(yīng)用問題中的核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過(guò)程，在極坐標(biāo)應(yīng)用中加強(qiáng)運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想.例1(2019 全國(guó)出卷)如圖，在極坐標(biāo)系 Ox中

7、，A(2,0),B 4 ,C/2,D(2 ,兀)，弧BC(所在圓的圓心分別是(1,0), i, 2 ,(i,兀)，曲線m是弧A13,曲線m是弧工*(門曲線M3是弧(1)分別寫出M, M,M的極坐標(biāo)方程;(2)曲線M由M, M, M構(gòu)成，若點(diǎn) P在M上，且| OP=J3,求P的極坐標(biāo).審題指導(dǎo)(i)依據(jù)條件直接寫出圓的極坐標(biāo)方程，因?yàn)槭菆A弧，所以要對(duì)極角e進(jìn) 行范圍限制.(2)根據(jù)點(diǎn)p在三段圓弧上的不同情況分類討論，由|op = 3分別求出極角，從而確定點(diǎn)P的極坐標(biāo).念，希,CT)解(1)由題設(shè)可得，弧所在圓的極坐標(biāo)方程分別為 p =2cos 0 , p = 2sin 0 , p = 2cos

8、0 .兀所以 M的極坐標(biāo)方程為 P = 2cos 0 0 e , M2的極坐標(biāo)方程為 P = 2sine e w等，m的極坐標(biāo)方程為 p =- 2cos e 等w e w兀.44r4(2)設(shè)P( p , e),由題設(shè)及(1)知若 0W 8 w 十,則 2cos 8 =43,解得 8 =6；若4 0W號(hào)匚,則2sin 8 =#,解得 0 =3或8 =3；3 5育:-w 9 % ,則一 2cos 9 =弋3,斛得 9 = .4 16綜上，p的極坐標(biāo)為小,6或小,-3-或小,十或寸3,極坐標(biāo)方程問題的求解方法有關(guān)曲線的極坐標(biāo)方程的問題中，常見的有直線與圓的交點(diǎn)問題，圓心到直線的距離問 題等.一般情況

9、下，解決的方案是：化極坐標(biāo)方程為平面直角坐標(biāo)方程，然后用平面解析幾 何的方法解決問題，必要時(shí)，還要把結(jié)果返回到極坐標(biāo)系中.(2018 江蘇卷)在極坐標(biāo)系中，直線l的萬(wàn)程為p sin( y- 0)=2,曲線C的萬(wàn)程為p= 4cos 0 ,求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng).解:因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為 p = 4cos 9 ,所以曲線C是圓心為(2,0),直徑為4的圓.,兀因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為 p sin( 9) = 2, . 兀則直線l過(guò)A(4,0),傾斜角為,6所以A為直線l與圓C的一個(gè)交點(diǎn). 一兀設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為 B,則/ OAB=-.6.兀連結(jié)OB因?yàn)镺A為直徑，從而/ OBA=萬(wàn)，所以 AB

10、= OA cos/ OAB= 4cos= 2鎘.因此，直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為2出.熱點(diǎn)二參數(shù)方程及其應(yīng)用x=2cos 0 ,例2(2018 全國(guó)n卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為y=4sin 0X= 1 +1 COS a , (e為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).y=2+tsin a(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求l的斜率.審題指導(dǎo)(1)直接消去參數(shù)可得曲線的直角坐標(biāo)方程，注意對(duì)相關(guān)系數(shù)的分類討論；(2)利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解.解析(1)曲線C的參數(shù)方程為x = 2cos 0y = 4sin 9x y4

11、 + 16= 1.x= 1 + tcos a直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))y=2+tsinay 2-= tan a( a w90 )，即 tan ax- 1x y+2tan a =0,當(dāng) a = 90 時(shí)，x= 1.綜上，l :tan a x y+ 2 tan x= 1 a = 90.a W90(2)當(dāng)a =90 ,點(diǎn)(1,2)不為中點(diǎn)，不成立.當(dāng) aw90 ,把 l 代入曲線 C中得：4x2+ tan a (x1) + 22= 16,化簡(jiǎn)彳導(dǎo):(4 + tan 2 a ) x2+ (4tana 2tan 2 a ) x+ tan 2 a 4tan a12=0,一、,一口廠 2tan2 a 4

12、tan a點(diǎn)(1,2)為弦的中點(diǎn)， Xi + X2=2,即一2=2,4 十 tan a .tan a= 2, 直線 l 的斜率 k= 2.參數(shù)方程與普通方程的互化及應(yīng)用技巧(1)將參數(shù)方程化為普通方程的過(guò)程就是消去參數(shù)的過(guò)程，常用的消參方法有代入消參、 加減消參、三角恒等式消參等，往往需要對(duì)參數(shù)方程進(jìn)行變形，為消去參數(shù)創(chuàng)造條件.但在 消參時(shí)要注意參數(shù)范圍等價(jià)變形.(2)在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中，參數(shù)方程的使用會(huì)使問題的解決事半功倍，尤其 是求取值范圍和最值問題，可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中，根據(jù)參數(shù)的取值條件 求解.x= cos e（2018 全國(guó)出卷）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中

13、，。的參數(shù)方程為，（0為參y= sin 0數(shù)），過(guò)點(diǎn)（0,J2）且傾斜角為a的直線l與。O交于A, B兩點(diǎn). 的取值范圍；（2）求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.解析：（1）。的普通方程為x2+y2=1.a =2時(shí)，l與。O父于兩點(diǎn).a w2-時(shí)，記 tan a = k,則 l的方程為y=kx 42. l與。O交于兩點(diǎn)且當(dāng)且僅當(dāng)j2 1,即1 + k兀4,712兀綜上，a的取值范圍是x = t cos(2) l的參數(shù)方程為廠y= 2+ tsin(t一 兀為參數(shù)， a3兀）設(shè)A, B, P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA, tBtP,t a+ t B tP=，且 tA, t b滿足 t22加t sin a +1

14、=0.于是 tA+ t b= 2/2sina, t p=/sina .X = t pCOS a , 又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x, y)滿足y=-V2 + tpsin a .所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是22y= 2 一 2cos 2 ”（a 為參數(shù)，- a 0)在曲線C:p =4sin 0上，直線l過(guò)點(diǎn)A(4,0)且與O弧直，垂足為 P.兀.當(dāng)9。=萬(wàn)時(shí))求P。及1的極坐標(biāo)方程;(2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OMk時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.；=23.由已知得 | OP = | OAcos 3A一，,兀，解：(1)因?yàn)?M P。，6。)在。上，當(dāng) 8。= 以時(shí)，po=4sin 兀3=2.兀設(shè)Qp, 0)為

15、l 上除 P的任意一點(diǎn)，在 RtOPQK P cos 0 - =| OFP=2.兀兀經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P2, W在曲線p cos 9 3 =2上.兀所以，l的極坐標(biāo)方程為 P cos e - =2.(2)設(shè) P( P , e ),在 Rt OAF, | OP = | OAcos e = 4cos e ,則 P = 4cos e ,兀 兀因?yàn)镻在線段OM上，且API OM故8的取值范圍是 丁，萬(wàn).所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為p = 4cos 0 ,7t7t1x=1 + 2t ,3. (2020(t成都摸底)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為y= 1 +為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn) O為極點(diǎn)，x軸的正半軸

16、為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為 P 2(1 +2cos2 e )=3.(1)寫出直線l的普通方程與曲線 C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)M(1,1),若直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn) A, B,求|AM+|BM的值.解析：(1)由直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t,得x-1=3(y-1),化簡(jiǎn)，彳#直線l的普通方程為A/3x-y+1-3 = 0. 曲線C的極坐標(biāo)方程可化為p 2+2 p 2cos2 0=3, .(x2+y2) + 2x2=3, 曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y7=1.3(2)由題易知，點(diǎn) M在直線l上.將直線l的參數(shù)方程代入x2+y3-=1,得 /I 2+3 1 +坐 2=1,化簡(jiǎn)

17、，得 t2+2 1+ 坐 t+2=0, 338 8 3此時(shí) A = 3 + -3-0,此方程的兩根為直線l與曲線C的交點(diǎn)A B對(duì)應(yīng)的參數(shù)t1, t2.由根與系數(shù)的關(guān)系，得t1 + t2= 2 + 233 , t1t2 = |,2,334.(2020 南昌模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x = V7cosy= 2+巾sina(其 .| AM + | BM = | t1| + | t2| = t1t2= 2 +中a為參數(shù))，曲線C： (x1)2+y2=1,以坐標(biāo)原點(diǎn) O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線C的普通方程和曲線 。的極坐標(biāo)方程.兀(2)若射線e = ( P

18、0)與曲線C, G分別交于 A B兩點(diǎn)，求|AB.X=J7C0S a(其中oc為參數(shù)),解析：(1)因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為Vy=2 + #7sin a所以曲線Ci的普通方程為x2+(y2)2=4.因?yàn)榍€ C2: (x-1)2+y2=1,所以把 x= p cos 0 , y= p sin 0 代入(x 1) 2+ y2= 1,得到曲線C2的極坐標(biāo)方程(p cos 0 -1)2+( p sin 8)2 = 1,化簡(jiǎn)得p = 2cos 0 . .、兀兀(2)依題息設(shè) A p， , B p2,因?yàn)榍€G的極坐標(biāo)方程為 p 2-4p sin 0 -3=0,將e =-6( p 0)代入曲線c的極坐標(biāo)方程，得 p22p3=0,解得 p 1= 3,兀同理，將e = ( P o)代入曲線G的極坐標(biāo)方程，得 p 2=木，所以 | AB = | p1 p2|=3 m.x