2019年高考理科數(shù)學(xué)全國卷Ⅲ理數(shù)(附參考答案和詳解)

1、絕密啟用前6M 7 日 15:00-17:002019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷田）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）總分：150分 考試時間：120分鐘?？荚図樌⒁馐马?1、本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、 準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證條形碼粘貼在答題卡的指定位置。第2頁（共13頁）2、選擇題的作答：選出每小題答案后，用 題卷、草稿紙、答題卡上的非答題區(qū)域均無效。2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試3、填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿 紙、答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4

2、、考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并上交。第I卷、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求B x|x2 1,則 AI B ()的。1. （2019全國卷出理）已知集合 A 1,0,1,2,A. 1,0,1B.0,1C. 1,1D.0,1,21,0,1,2，所以 AI B 1,0,1.故選 A.【解析】因為B x|x2 1 x| 1 x 1,又A 2. （2019全國卷出理）若z(1 i) 2i ,則 zA. 1 iB. 1C.1 iD.1 i【解析】由z（1 i） 2i ,得z2i1 i2i(1 i)(1 i)(1 i)2i(1 i)，小山i(1 i

3、) 1 i .故選 D 23. （2019全國卷出理）西游記三國演義水滸傳和紅樓夢是中國古典文學(xué)瑰寶,100位90位，閱讀過紅樓夢的學(xué)生共有8060位，則該校閱讀過西游記的學(xué)生并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了學(xué)生，其中閱讀過西游記或紅樓夢的學(xué)生共有 位，閱讀過西游記且閱讀過紅樓夢的學(xué)生共有 人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為（）A. 0.5B. 0.6C.0.7D. 0.8【解析】設(shè)調(diào)查的100位學(xué)生中閱讀過西游記的學(xué)生人數(shù)為x,60 90 ,解得 x 70 ,所以該校閱讀過西游記的學(xué)生人數(shù)與該校總?cè)藬?shù)的比值的估計值為701000.7 ,故選C.【答

4、案】C第4頁（共13頁）4.（2019全國卷出理）（1 2x2）（1 x）4的展開式中x3的系數(shù)為（）A. 12B.16C.20D. 24【解析】（1 2x2）（1 x）4的展開式中x3的系數(shù)為1 C32C4 12 .故選 A.5. （2019全國卷出理）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 an的前4項和為15,且 35 3a3 4ai,則a3()A. 16B.8C.4D. 2【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列 %的公比為ai則44 aq0,q 0, 2 aq aiq3alq23aq15,431,解得a1 q1,所以2,a3mq24 .故選C.6. （2019全國卷出理）已知曲線 yx aexlnx在點(diǎn)（1,a

5、e）處的切線方程為y 2x b,則()D. a e 1【解析】y aex lnx 1k y |x 1 ae 1 ,所以切線方程為yae(ae 1)(x 1),即y （ae 1）x 1 .又因為切線方程為 y 2x b,所以ae '即a e 1 b b 1,1.故選D.2x3 十在x x227. （2019全國卷出理）函數(shù)6,6的圖象大致為（)D.2x32x 2 xf(x),所以f(x)是【解析】因為y f(x) r2x：,x 6,6,所以f( x)斗x3x 2222第13頁（共13頁）奇函數(shù)，排除選項C.當(dāng)x 4時，y2 4324 2 4128（7,8）,排除選項A, D.故選B.16

6、 -168. （ 2019全國卷出理）如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心， ECD為正三角形，平面ECD 平面 ABCD ,B. BM EN ,且直線 BM ,EN是相交直線EN是相交直線M是線段ED的中點(diǎn)，則（）C. BM EN ,且直線 BM , EN是異面直線D. BM EN ,且直線BM , EN是異面直線【解析】取 CD的中點(diǎn)O,連接EO, ON.由4ECD是正三角形，平面 ECD，平面ABCD,知EOL平面ABCD,所以EOXCD, EOXON.X N是正方形 ABCD的中心，所以 ONLCD.uur以CD的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，ON方向為x正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示 不妨設(shè) AD

7、2,則 E(0,0, 73) ， N(0,1,0) , M -,0, , B( 1,2,0),22所以 | EN | 肝一（廚 2 , |BM | J 34 3 6,所以EN BM .連接BD, BE,因為點(diǎn)N是正方形ABCD的中心，所以點(diǎn) N在BD上，且BN DN , 所以BM, EN是4DBE的中位線，所以BM, EN必相交.故選B.【答案】B為0.01,則輸出s的值等于（）9 . （2019全國卷出理）執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的(W|y/輸入£/】,3=0X x=否j < i.：是A. 21241B.2525C.21261 D. 2 - 27【解析】0.01,1,s1

8、,x1-,x2不成立;不成立;一，x -,x48不成立;s 1 1s 1 ,x ,x 4 11111-一 一 ,x 一 ,x4 8 16 3264 1 l,x ,x不成立;2 4 81611111不成立; 一,x - ,x不成立;2 4 8 16321 1 1 2工2 4 8 16 3211一,x 一 ,x64128成立,此時輸出s 2 6 ,故選C.22210 .（2019全國卷出理）雙曲線 C：工或 1的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為42坐標(biāo)原點(diǎn)，若|PO| |PF|,則PFO的面積為（）A.?B.?0.2,2D.3222-【解析】雙曲線 ? 力1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為坐標(biāo)為（76,0）

9、, 一條漸近線的方程為 y qx,不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象P由于|PO| |PF |,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 叵,縱坐標(biāo)為 立匣叵 即PFO的底邊 2222長為耶，高為畫,所以它的面積為，娓回 延.故選A.2224【答案】A）單調(diào)遞減，則（）11. （2019全國卷出理）設(shè) f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，且在（0,321noA. f log3 - f 2 2 f 2 332no10. f 2 2 f 2 3 f log3-23147B. f log 3- f 2 3 f 2 223；71D. f 2 3 f 2 2 f log 371f ( Iog3 4) f(iog3 4),【解析】因為f（x）是定義域

10、為R的偶函數(shù)，所以f log31 423又因為f(log34) 1 2. 22 0,且函數(shù)f (x)在(0,)上單調(diào)遞增減,32所以 f 2 2 f 2 3 f log31 ,故選 0. 4【答案】012. （2019全國卷出理）設(shè)函數(shù)f (x) sin0）,已知f（x）在0,2兀有且僅有5個零點(diǎn)，下述四個結(jié)論： f（x）在（0,2 %）有且僅有3個極大值點(diǎn)； f（x）在（0,2兀）有且僅有2個極小值點(diǎn)；f（x）在0, 單調(diào)遞增；10（）A.B.的取值范圍是12 295 ,10.其中所有正確結(jié)論的編號是C.D.有且僅有3個極大值點(diǎn),0）在0,2兀上有且僅有5個零點(diǎn)，如圖,其圖像的右端點(diǎn)的橫坐標(biāo)

11、在區(qū)間a,b）上，此時f（x）在（0,2力上f （x）在（0,2句上可能有2或3個極小值點(diǎn),所以正確，不正確;x 0,2 吊時， x-,2兀,，由f （x）在0,2可上有且僅有555個零點(diǎn)可得得的取值范圍是125,所以正確；當(dāng)x 0,時,10107t1049 %100所以f(x)在 0,10單調(diào)遞增，所以正確.故選D.二、填空題:本題共 4小題，每小題5分。13. ( 2019全國卷出理）已知ab為單位向若 c 2a 5bcos a,c【解析】由題意得 cos a,cag(2a 一 5 b)2|a|25agD14. ( 2019全國卷Si0S5|a|g2a. 5b| a g 12a5b |2山

12、理）記&為等差數(shù)列an的前n項和【解析】由a10 ，a23a1，可得d2a1 ，所以S1010al10 9d2100al ,S55a15 4 d 25a1,2所以SI0S5【答案】422.一.一 x y15.（2019全國卷出理）設(shè) Fi, F2為橢圓C： 一 1的兩個焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象 36 20限.若MF1F2為等腰三角形，則 M的坐標(biāo)為 .【解析】設(shè)F1為橢圓的左焦點(diǎn)，分析可知點(diǎn)M在以F1為圓心，焦距為半徑的圓上，即在圓22_（x 4） y 64 上.22因為點(diǎn)M在橢圓匕1上，36 2022(x 4)2 y2 64,x 3所以聯(lián)立方程可得x2v2解得 '_1,y

13、 15.36 20又因為點(diǎn)M在第一象限，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3,尺）.【答案】（3, . 15）16. （2019全國卷出理）學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體ABCD-AB1CQ1挖去四棱錐 O-EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心， E, F,G, H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB BC 6cm, AA1 4cm, 3D打印所用原料密度為 0.9g / cm3,不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為 g .JH【解析】由題知，挖去的四棱錐的是一個菱形，對角線長分別是6 cm和4 cm,故V挖去的四棱錐1134 6 3 12(cm ).3 2 又V長方體

14、6 6 4 144(cm3),所以模型的體積為V長方體V挖去的四棱錐144 12一 3132(cm3),所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132 0.9 118.8（g）.【答案】118.8 三、解答題：本題共 70分。17. （2019全國卷出理）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗：將200只小鼠隨機(jī)分成 A, B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘 留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：匕離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5 ”，根

15、據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中 a , b的值；(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代 表).【解析】(1 )由題得a 0.20 0.15 0.70.解得a 0.35.由 0.05 b 0.15 1 P(C) 1 0.70.解得b 0.10.(2)由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為：0.15 2 0.20 3 0.30 4 0.20 5 0.10 6 0.05 7 4.05.乙離子殘留百分比的平均值為：0.05 3 0.10 4 0.15 5 0.35 6 0.20 7 0.15 8 6.18.

16、( 2019全國卷出理)AABC的內(nèi)角A , B , C的對邊分別為a , b , c .已知A C asin bsinA .2(1)求 B ;(2)若ABC為銳角三角形，且 c 1,求 ABC面積的取值范圍.A C【解析】(1)由題設(shè)及正弦th理得 sinAsin sinBsinA .2因為sinA 0,所以 sin A-C sinB 2ACBBBB由 A B C 180 ,可信 sin cos,故 cos 2sin cos.22222因為cos旦0,故sin旦工，因此B 60o . 222第18頁(共13頁)(2)由題設(shè)及(1)知AABC的面積Saabc 立a4由正弦定理得acsinAsi

17、n(12Co C) 31sinC sinC 2tanC 2由于ABC為銳角三角形，故 0o A 90°, 0o120° ,所以30°C 90°,故1 a 2 ,從而43 SAabc .282因此，ABC面積的取值范圍是 叵但8219. (2019全國卷出理)圖1是由矩形 ADEB , RtABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其FBC 60°.將其沿 AB, BC折起使得 BE與BF重合，連接 DG ,(1)證明：圖2中的A ,C, G, D四點(diǎn)共面，且 平面ABC 平面BCGE;(2)求圖2中的二面角 B-CG-A的大小.【解析】(1)由已

18、知得 ADPBE, CGPBE,所以AD PCG ,故AD , CG確定一個平面，從而 A , C , G , D四點(diǎn)共面.由已知得 AB BE, AB BC,故 AB 平面BCGE .又因為AB 平面ABC,所以平面ABC 平面BCGE .(2)作EH BC ,垂足為H .揖U 一B H 因為EH 平面BCGE,平面BCGE 平面ABC , 所以EH 平面ABC .由已知，菱形 BCGE的邊長為2, EBC 60°,可求得BH 1 , EH 33 . luir以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HC的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H xyz,_ uur _uuir則 A( 1,1,0

19、), C(1,0,0) , G(2,0, 73), CG (1,0,小)，AC (2, 1,0).設(shè)平面 ACGD的法向量為n (x, y,z),則uurCG n 0,x3z 0,uur 即AC n 0,2x y 0.所以可取n (3,6,通.又平面BCGE的法向量可取為 m (0,1,0),所以 cos<n, mn m 3|n|m|2因此二面角B-CG-A的大小為30°.3220. (2019全國卷出理)已知函數(shù) f(x) 2x ax b.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)是否存在a, b,使得f (x)在區(qū)間0,1的最小值為 1且最大值為1?若存在，求出a,所有值；若不存在

20、，說明理由.(1) f (x) 6x2 2ax 2x(3x a),令 f (x) 0 ,得 x 0 或 x a , 3a右 a 0,則當(dāng) x (,0) U -, 時，f (x) 0；3當(dāng) x 0,a 時，f (x) 0 , 3故f(x)在(，0),-, 單調(diào)遞增，在 0,旦單調(diào)遞減； 33若a 0, f(x)在(，)單調(diào)遞增；若 a 0 ,則當(dāng) x ,- U (0,)時，f (x) 0 ；3當(dāng) x a,0 時，f (x) 0 , 3故f(x)在 ，a , (0,)單調(diào)遞增，在-,0單調(diào)遞減.33(2)滿足題設(shè)條件的a , b存在.(i)當(dāng)a 0時，由(1)知，f (x)在0,1單調(diào)遞增，所以f

21、(x)在區(qū)間0,1的最小值為f(0) b ,最大值為f(1) 2 ab.此時a , b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b 1,2ab1,即a0,b 1 .(ii )當(dāng)a 3時，由(1)知，f(x)在0,1單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間0,1的最大值為f (0) b,最小值為f (1) 2 ab.此時a , b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2ab 1,b1,即a4,b1.3(iii )當(dāng)0 a 3時，由(1)知，f(x)在0,1的最小值為f目 b ,最大值為b或 3272ab.3若 a-b 1,b1,則a3372,與0a 3 矛盾.273若a-b 1,2ab1,則a 3通或a373或a 0,與0 a 3矛盾.27綜上，

22、當(dāng)且僅當(dāng) a 0, b1或a 4, b 1時，f (x)在0,1的最小值為 1 ,最大值為1 .1 ,-上的動點(diǎn)，過 D作C的兩條切 2221.(2019全國卷出理)已知曲線C: y 土，D為直線y2線，切點(diǎn)分別為A , B .(1)證明：直線AB過定點(diǎn)；(2)若以E 0,5為圓心的圓與直線2AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形 ADBE的面積.12【解析】(1)設(shè) D t, - , A(x1,y1)，則 Xi 2y1 .1y12由于y x ,所以切線DA的斜率為為，故2 xi .X| t整理得 2tx1 2y1 1 0 .設(shè) B(X2,y2),同理可得 2tx2 2y2 1 0.故直線

23、AB的方程為2tx 2y 1 0 .1所以直線AB過定點(diǎn)0,1 .(2)由(1)得直線AB的方程為y tx 1 .2tx 2,2 可得 x2 2tx 1 0 . x2于是 X1X2 2t, X1X21 , y1V2 t(x1 X2)1 2t 1,AB dt2x1 x241t2 7( Xix2)2 4x1x22(t2 1).設(shè)d-d2分別為點(diǎn)D, E到直線AB的距離，則di Jt2 1 , d22t2 12因此，四邊形 ADBE 的面積 S 1 AB(d1 d2) (t2 3)t2 1 .2設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則M t,t2 12uuuu 由于EMuuuAB與向量（1,t）平行,uuur uuur oAB ,而 EM (t,t2 2),所以t(t22)t 0,解得t 0或t 1 .當(dāng) t 0時，S 3；當(dāng) t 1 時，S 4J2 .因此，四邊形 ADBE的面積為3或4J2.弧AB, BC, CD所在圓的圓心分別是 （1,0）,22. （2019全國卷出理）如圖，在極坐標(biāo)系 Ox中，A（2,0） , B J2,，C J2,三，D（2,兀）， 441,- , （1,兀），曲線M1是弧AB,曲線M2是弧 2（2