數(shù)理金融復(fù)習(xí)要點(diǎn)

1、數(shù)理金融復(fù)習(xí)要點(diǎn)、名詞解釋1 .冗余資產(chǎn)組合與冗余資產(chǎn)：冗余資產(chǎn)組合是指能夠起復(fù)制作用的套利資產(chǎn)組合；冗余資 產(chǎn)組合中權(quán)重系數(shù)非零的資產(chǎn)稱為冗余資產(chǎn)。2 .“均值-方差”有效資產(chǎn)組合：如果一個(gè)資產(chǎn)組合對確定的方差具有最大期望收益率，同時(shí)對確定的期望收益率水平有最小的方差，則稱這樣的資產(chǎn)組合為“均值 -方差”有效資產(chǎn) 組合。3 .套利與套利資產(chǎn)組合 套利是指不投入任何資產(chǎn)即可獲利，或者在 0期不進(jìn)行任何投入， 而在1期刻獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益； 或者在0期獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益， 而在1期無任何現(xiàn)金支出。 套利 資產(chǎn)組合 設(shè)W= (Wi,W2鬃?Wn)T為一資產(chǎn)組合，如果 W滿足1T?W 0,1= (1,1,鬃

2、1)T,則 稱w =(W1,W2鬃! Wn )T為一套利資產(chǎn)組合4 .最小方差資產(chǎn)組合：又稱前沿組合，是指對確定的期望收益率水平有最小的方差的資產(chǎn)組 合。5 .證券市場線是指對任意資產(chǎn)組合Xp? M ,由點(diǎn)(bMp,E(Xp)所形成的軌跡。證券市場線方程為：E(Xp)- r=bMp(E(XM)- r)。其中 bMp = cov(Xp，Xm)/sM 為資產(chǎn)組合 Xp 的市場beta系數(shù)，r為無風(fēng)險(xiǎn)利率。它是過無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)對應(yīng)的點(diǎn)(0, r)和市場資產(chǎn)組合對應(yīng)的點(diǎn)(1,E(Xm)的一條直線。6 .資本市場線是由所有有效資產(chǎn)組合Xp ? M所對應(yīng)的點(diǎn)(s(Xp), E(Xp)所形成的軌跡。sd資本市場

3、線的方程為：E(Xp)= r+ (E(Xm - r)s m7 .看漲期權(quán)又稱買入期權(quán)，敲入期權(quán)，是給予其持有者在給定時(shí)間或在此時(shí)間之前的任一時(shí)刻按規(guī)定的價(jià)格買入一定數(shù)量某種資產(chǎn)的權(quán)利的一種法律合同。期權(quán)包含四個(gè)要素：執(zhí)行價(jià)、執(zhí)行日、標(biāo)的資產(chǎn)和期權(quán)費(fèi)。8,看跌期權(quán)：又稱賣出期權(quán)、敲出期權(quán)，是指給予其持有者在給定時(shí)間或在此時(shí)間之前的任 一時(shí)刻按規(guī)定的價(jià)格賣出一定數(shù)量某種資產(chǎn)的權(quán)利的一種法律合同。9 .無摩擦市場：是指無任何交易成本、稅收、無賣空限制、資產(chǎn)數(shù)量單位無限可分的資產(chǎn)市場。10 .套利是指不投入任何資產(chǎn)即可獲利，或者在0期不進(jìn)行任何投入，而在 1期刻獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益；或者在 0期獲得無風(fēng)險(xiǎn)收

4、益，而在1期無任何現(xiàn)金支出。二.簡答題1.設(shè)一投資者效用函數(shù)為雙曲絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)u(x)=上(空+ b)r,b> 0。其中r 1- ra,b,x為實(shí)數(shù)。求該效用函數(shù)的絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)A(x),風(fēng)險(xiǎn)容忍函數(shù)T(x)和相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)。解：因?yàn)?u (x) = a( ax + b)r- 1,u ?；x) = - a2(-ax-+ b)r-21- r1- r“、 u %x) / ax , .-1 所以 A(x)=-= a(-+ b);u (x)1- rT(x)=工=1(詈-+ b)= +A(x) a 1- r 1- rR(x) = x?A(x) ax(-ax- + b)-11- r2.設(shè)一投

5、資者的效用函數(shù)為負(fù)指數(shù)效用函數(shù) 函數(shù)、風(fēng)險(xiǎn)容忍函數(shù)和相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)。解：因?yàn)?u (x) = (- e- ax) = ae- ax,u iqx)二 所以 A(x)=- = a,T(x) = 7u(x)= - e-ax,求該效用函數(shù)的絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡2 - ax-a e1 L=一,R(x) = xA(x) = ax a3、投資者有幾種類型？他們的效用函數(shù)有什么特點(diǎn)？愛好型。設(shè)u(小為投資者的效用函數(shù), 風(fēng)險(xiǎn)厭惡型投資者的效用函數(shù)滿足： 風(fēng)險(xiǎn)愛好型投資者的效用函數(shù)滿足： 風(fēng)險(xiǎn)中性型投資者的效用函數(shù)滿足：Eu(方為投資者的期望效用函數(shù)。Eu(w) £u(Ew)因而u()為凹函數(shù);Eu(w)3

6、 u(Ew)Eu(w) = u(Ew)因而u()為凸函數(shù)； 因而u()為線性函數(shù)解：根據(jù)投資者對風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度，投資者可以分為三種類型：風(fēng)險(xiǎn)厭惡型，風(fēng)險(xiǎn)中性型及風(fēng)險(xiǎn)模型4、敘述 Sharpe-Linter-Mossin CAPM解：所謂Sharpe-Linter-MossinCAPMI型是指在市場上可以獲得無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的條件下，當(dāng)市場達(dá)到均衡時(shí)，任意風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的超額收益率與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的市場資產(chǎn)組合超額收益率有如下關(guān)系式：E(X)- r?1 bM(E(XM )- r),其中 bM, = cov(X,XM,)/var(XM);或者寫成分量的形式為：E(Xj)- r = bMj(E(XM)- r),( j =

7、 1,2，鬃?n),其中 bMj = cov(Xj,XM)/var(XM)三、計(jì)算題1 .經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)在時(shí)期1有3個(gè)可能的狀態(tài)，市場中有 2種可交易證券，它們的收益矩陣為:31，試求正狀態(tài)定價(jià)向量、等價(jià)概率分布，并討論相應(yīng)的套利機(jī)會(huì)。解:令正狀態(tài)定價(jià)向量j = (j 1 ,j2 ,j 3)則:zt?3(1,(1) ? ji= 1-15 一3R 13R7 73R1- 一一 一一 一一 12 3 2jxx jx42j.解得3j 3 = 12j 3 = 13= 1/ R2jjj1即:所求向量 j = (j 1,j 2,j 3)T=(3R 3R7 一 5、t- 1,1-)3R 3R57 .當(dāng)< r&

8、lt; 時(shí)j i > 0(i = 1,2,3),市場無套利，因而存在等價(jià)概率分布律。等價(jià)概率分布33律為：I123P(i)1/37/3-RR-5/3在其他情形都會(huì)存在套利機(jī)會(huì)。2.假定預(yù)測公司一年后每股價(jià)值為100美元，已知無風(fēng)險(xiǎn)利率為 5%市場期望收益率為15%公司市場b系數(shù)為2.0 ,如果現(xiàn)在想購買該公司的股票，所愿意支付的合理價(jià)格是多少?解：由風(fēng)險(xiǎn)自行調(diào)節(jié)收益率定價(jià)公式P0 =E(Pj)Po =1001+5%+ 2.0? (15% 5%)1.251+ r+ bMj(E(XM)- r) /=803.假設(shè)證券的市場價(jià)值為40美元，證券的期望收益率為13%無風(fēng)險(xiǎn)利率為7%市場風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)E(

9、Xm )- r為8%假如證券未來的期望收益不變，而證券收益率關(guān)于市場資產(chǎn)組合收益率的協(xié)方差是原來的 2倍，試求證券在當(dāng)前的價(jià)值。解：設(shè)此證券為Xpp由證券市場線方程 E(Xp)- r= bMp(E(XM)- r),可知 bMp?8%6%,bMp= 0.75cov(XD, XM )因?yàn)閎Mp = ,當(dāng)證券收益率關(guān)于市場資產(chǎn)組合收益率的協(xié)方差是原來的p var(XM)時(shí)，bMp 2bMp= 0.75?21.5D= P0?E(X)40? 13% 5.2則 E(X 房=7%+ 1.5? 8%0.19D= p3i?E(X , B g!9%= 5.2,P)?=5.2/0.19%= 27.374.(股票定價(jià)

10、)企業(yè)I在0期將發(fā)行100股股票，企業(yè)在1期的價(jià)值為隨機(jī)變量Vi。企業(yè)的資金都是通過發(fā)行這些股票而籌措的,以致于股票持有者有資格獲得Vi(1) =完全的收益流。最后給出的有關(guān)數(shù)據(jù)是:?$1000"I 一？$800Ip=1/2p= 1/2cov(X1,XM) = 0.045 ,var(XM)= 0.30r = 0.10, E(Xm)= 0.200期的合理價(jià)值。試用資本資產(chǎn)定價(jià)方程或風(fēng)險(xiǎn)自行調(diào)節(jié)定價(jià)公式求出該股票在解法一：應(yīng)用證券市場線方程口”*、)0.20- 0.10c=0.10+ ? 0.045 0.150.09即普通股所需的收益率為15%這就意味著市場將以 15%勺貼現(xiàn)EVI(1)

11、,以確定股票 在0期的市場價(jià)格，于是我們有13EVI(1)= ?1000 ?800 900$22P0 =E(VI(1)/1001+ r900/100 c r CC? 7.831.15解法二：由風(fēng)險(xiǎn)自行調(diào)節(jié)定價(jià)公式p _E_E(Vi (1)/100E(Xm)- rP0 =( l =表1+ r + l cov(X j, Xm)1+ r + l cov(Xj,XM )var(XM )示沒單位風(fēng)險(xiǎn)的市場資產(chǎn)組合的超額收益率。)900/1009 ,= =? 7.83$1+0.10+ ；20? 0.045 1.15 (0.30)5(債券定價(jià))有一面值為100元的債券，約定到期付息8%假設(shè)在債券有效期內(nèi)有

12、70%的時(shí)間可以贖回本金并獲得利息，30%勺時(shí)間不能還本付息， 但將支付50元的承保金。即可將債券在時(shí)期2的價(jià)值表示為隨機(jī)變量B(2) =和08, ?50,p= 0.7p= 0.3設(shè)，7var(Xm) = 0.30 r = 0.10, E(Xm ) = 0.20 , cov(B,Xm ) = 7，試確定債券在時(shí)期1的合理價(jià)值。解 由證券市場線性方程(3.2.1 )可得確定等價(jià)定價(jià)公式。PB =E(B)- E(Xm)- r s2(Xm)cov(B,Xm)1+ r90.60 - (0.20 - 0.10) 0.09? 71.1090.60- 7.78 82.82=75.29$1.101.10市場所

13、需的期望收益率為E(Xb) =90.60- 75.29 15.31 =20.33%75.2975.296某公司在時(shí)期1的市場價(jià)值為900元?，F(xiàn)有一項(xiàng)目，其在時(shí)期2的期望收益為 E (V)=1000, E (X) =0.5 , r=0.05。公司現(xiàn)考慮一個(gè)新的投資項(xiàng)目，其單位成本為60元。在時(shí)期2的現(xiàn)金收益流為 E (F)=130元，cov (F, Xm) /(t 2 (X) =250元。試回答，該公司管理者應(yīng)怎樣考慮這個(gè)項(xiàng)目？解：由確定等價(jià)定價(jià)公式可得P0 =EQ” ，？-、rcov(M,Xm)s (X m)1+ r由此式得900 =1.051000- 0.10cov(Vi ,Xm )2s (

14、Xm)求解上式得COv(Vi, Xm )2s (Xm)=550$COV(M + Fi ,Xm )= COV(M, Xm ) + COV( Fi, Xm )故cOv(V2+ Fi%) = 550 + 250 = 800$ s (Xm)又E(%F%)= 1000+ 130 = 1130假如投資新項(xiàng)目，那么公司在時(shí)期1的總收入(不考慮投資成本)是E(Vi+ Fi)-COv(Vi + Fi, Xm )2s (Xm)1+ r(E(Xm)- r)1130- 800? 0.10 1050 ” 小 =1000$1.051.05因?yàn)楣臼袌鰞r(jià)值 Po+比原來的P0上漲了 100元，而投資成本為60元，故可以得到

15、補(bǔ)償，所以可以投資該項(xiàng)目。7.已知某股票在時(shí)刻 0的價(jià)格為100元，在時(shí)刻1股票價(jià)格有兩種可能：股票價(jià)格為120元的概率為P;股票彳格為90元的概率為1-P.以該股票為表的資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)的執(zhí)行 價(jià)格為105元，無風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.05.試求此歐式看漲期權(quán)的無套利價(jià)格。解法一：設(shè)時(shí)刻0的此歐式看漲期權(quán)價(jià)值即無套利價(jià)格為V0,則:第一步：從股票二叉樹圖得到q。股票的二叉樹圖為:0=100q SS1-q S由無套利原理知:1.05? 100 120q+ 90(1- q)105= 120q+ 90(1- q)我們得到15= 120q- 90q = 30q所以15q = 0.530第2步：對此歐式看漲

16、期權(quán)價(jià)值 U和D先求期望，然后貼現(xiàn)。執(zhí)行價(jià)K=105美元的歐式看漲期權(quán)的二叉樹圖為:u-K,0)=15d-K,0)=0所以此看漲期權(quán)的價(jià)格為:17.5標(biāo)q?15 (1-q)?0贏=74(美兀)解法二：由Cox- Ross- Rubinstein二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)公式 V0 =都- d )?U(u一R)?D ,其Rfu- d u- d中 0<d< R< u, U = max(0, uS0- K)= (uS0- K)+D= max(0, dS0- K) = (d&- K)+ ,由題意知，S0 = 100,u = 1.2,d = 0.9,K = 105,U = (0,uS0-

17、K)+ = max(0,120- 105)= 15D= (0, dSo- K)+ = max(0,90 - 105)= 0 r = 0.05,R= 1+ r = 1.05所以，歐式看漲期權(quán)的無套利價(jià)格、，一 1 韻.05 0.9、。“ J2- 1.05、邙V0 =；|) ?15 () ?01.05 11.2- 0.91.2- 0.97.51.05? 7.148股票現(xiàn)在的價(jià)值為50美元。六個(gè)月后，它的價(jià)值可能是 55美元或45美元。一年期無風(fēng)險(xiǎn)利率為10%請計(jì)算執(zhí)行價(jià)K=50美元，6個(gè)月到期的歐式看漲期權(quán)的無套利價(jià)格是多少？歐式看跌期權(quán)的價(jià)值又是多少?9.某股票現(xiàn)在的價(jià)值為50美元。兩個(gè)月后，它

18、的價(jià)值可能是53美元或48 美元。一年期無風(fēng)險(xiǎn)利率為10%請用無套利原理說明執(zhí)行價(jià) K=49美元，兩個(gè) 月到期的歐式看漲期權(quán)的無套利價(jià)值是多少？歐式看跌期權(quán)的價(jià)值又是多少？10.某股票現(xiàn)在的價(jià)值為50美元。六個(gè)月后，它的價(jià)值可能是 60美元或42美元。一年期無風(fēng)險(xiǎn)利率為12%請用無套利原理說明執(zhí)行價(jià) K=48美元，6 個(gè)月到期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值是多少？歐式看跌期權(quán)的價(jià)值又是多少？四、綜合題1 .市場上有兩種股票，股票 A的價(jià)格為60元/股，每股年收益為 x元，其均值為6元，方 差為50。股票B的價(jià)格為40元/股，每股年收益為y元，其均值為3.2,方差為25。設(shè)x和 y相互獨(dú)立。某投資者有43

19、000元，準(zhǔn)備購買q1股股票A, q2股股票B,剩余的q3元存入銀行， 設(shè)銀行一年期定期存款利率為5%投資者希望該投資策略白年平均收益不少于8麗，并使投資收益有最小的風(fēng)險(xiǎn)。求這個(gè)投資策略（q,q2,q3）,并計(jì)算該策略的收益的標(biāo)準(zhǔn)差。解：由題意知，該市場存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，則投資收益最小方差問題可以表為如下優(yōu)化問題：en 1 c21t-min s n = w Q w2 p 2-stwT?m (1- wT 府rf rp(1- wT?1)rf)1 TT _利用 Lagrange 乘數(shù)法，令 L = -w ? w+ l (rp- w ?m?L最優(yōu)解的一階條件為:T = Q w- l (m- rf 1)

20、= 0?w ,?L =r ?l p最優(yōu)解為:rp- rf = lwT ?m (1- wT ?1)rf0*1 ,w = l ?(m- rf ?1)。T -1T - 1a(m 遛 m- rfm 1-% 1T 遛 - 1m+ d1T-11)2、=l (a- 2% b+ crf)rf20125a- 2rfb+ cc由已知條件可得：？ = ¥ S1：=$0 ,所以 ?»21 s2S 25632甲=一 =10%,m2 = 一 = 8%,r = 8%, 6040pm= (rni，m,)T = (10%,8%)T,rf = 5%, a = mT ? - 1m= 0.000456, b= m

21、 ? - 11= 0.0052, c= 1T? -11= 0.06 2H = a- 2brf + cr2 = 0.000456- 0.00052+ 0.00015= 0.000086rp- rf H1500011%4312%8%- 5% = 30000 = 150000.000086 86 - 43所以18000,60q = 15? 43000 15000,40q2 = ? 43000 4343q = 250,q2 = 225 q3 = 43000- 18000- 15000= 10000所以最優(yōu)策略為(q,q2,q3)= (250,225,10000)。收益的方差為：Sp= wT? w =

22、15/43,18/43/ 4325 螂/ 4311250 8100 19350。= 丁+? 10.47432432432標(biāo)準(zhǔn)差為s p ? 3.24 p2 .(1)什么是最小方差資產(chǎn)組合？(2)寫出標(biāo)準(zhǔn)的最小方差資產(chǎn)組合的數(shù)學(xué)模型。(即不存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)期望收益率為rp的模型)(3)求解該模型，即求權(quán)重表達(dá)式及最小方差表達(dá)式(4)已知市場上有三種證券，他們的收益向量為 X = (Xi, X2, X3)T ,假設(shè)X服從聯(lián)合正態(tài)分布，其期望收益向量為E(X)= (1,2,0.5)t, x的協(xié)方差矩陣為13 0S = 1 5 0I 0 1求由這三種證券組成的均值 -方差最優(yōu)資產(chǎn)組合(允許賣空)，并畫出有效前沿圖。解：(1)最小