李永樂.線性代數(shù)沖刺筆記(打印版)

1、線性代數(shù)沖刺筆記1【例題1】B= 002 03 a , A_2AB = E, r(AB-2BA+3A)=()0 5(A) 1(B) 2(C) 3(D)與 a 有關(guān)【解】：A(A-2B) = E/. A 可逆，且 A-' = A-2B=> A(A-2B) = (A-2B) A (A A- = A-1 A) => AB = BA那么，AB-2BA+3A = 3A-AB = A(3E-B)又，A可逆，知r(AB-2BA+3A) = r(A(3E-B) = r(3E-B)Va13E-B =0,又3E-B有二階子式不得零，從而r(3E-B) = 2.【評注】本題考查矩陣逆的概念以及矩

2、陣的乘法.設(shè)矩陣/一階，B-n階,若AB = BA =E,則稱矩陣/可逆，且B為4的逆矩陣. 由此有4尸=尸A.【例題2】&Xn，1) H n ，T) t是Ax = 0的基礎(chǔ)解系，O是Ax = b的一個解.(I)證明 a, a + n I, a + n2,，a + flt 線性無關(guān).(II)證明Ax = b的任意一個解款可以由a , a - t u a + r)2,，a + n t線性表出.【分析】n h n2，n t是Ax=o的基礎(chǔ)解系，那么nn力，n t必定線性無關(guān)，從而證明a , a I n H a +。2， n,線性無關(guān)可以用定義法?！咀C】(D (用定義，重組，同乘)設(shè) k0a

3、 +ki (a + n i)+k2(a + t)2)Hb ki( a n .)=0(1)即 (ko+ki + kzHkki) a+ki n i + k2n 2+ ki n t=0(2)由 Aa=b, An i=0 (i = l,，t),用 A 左乘(2),有(ko+ki + k2+ kt)Aa +k1An i + k2Ail 2ktA n t=0即 (ko +ki+kz + + kt)b=O又 bHO,有 ko+ki + k2+ki=0(3)帶入有kj n】+k2 n 2T卜kt n t=o,而n u n2,，nt是Ax=0的基礎(chǔ)解系，那么ni, ，*必定線性無關(guān)，從而ki =k2 = =kt

4、=0,帶入有k0=0.所以 ko=ki = k2= = ki=O= a , a I n 1. a + tl2,，a I * 線性無關(guān).(或用秩)v nu n&,，n,線性無關(guān)，a是Ax=b的解=>a不能由n 限，n線性表出. =xifii+x52dPx n* = a 無解=r(n" n一 ，nJHr(n» n2,，n" a)Vr(n，nJ =t=>】(n” n> ，n；, a) = t + i=>r(a, a + n , a + q 2,，a I n «)=t+l => a , a I n « a + n

5、2,，a + n，線性無關(guān). (ID設(shè)B是Ax=b的任意一個解，則B-a是Ax=O的解.從而 B - a = L n i+Ln 2+ L n 一B = a+ iin】+Ln2+L i t B = (i - I一L-L)a+iini+Ln2+ + L n即B可由a, a + n a+n訂，a+n.表出.【評注】本題考查向量小組的線性相關(guān)的證明和線性表出的證明.考查了方程組基礎(chǔ)解系的 概念：設(shè)有向量小組2，,滿足：(1) A Hi = 0(/ =1,，力，即T) i是=0的解.(2) Ax = 0的任意一個解都可以由"i,，表出.(3) 2,，"：線性無關(guān).那么稱小,"

6、;入，:為4r = 0的基礎(chǔ)解系.也就是說若 外,人，工是4r = 0的基礎(chǔ)解系，那么人，,【例題3】AaXn，r(A) =n, a” <12,，a.是n維列向量.證明：alf -,*線性無關(guān)的充分必要條件是A*, Aaz,，A -線性無關(guān).【證】必要性(用定義)設(shè) kA*+kAa 2Hhk, Aa.=O,即 A(ki a . + k?a T+k. a J=0.由A r(A)=n=Ax=O只有零解.故ki*+k2a2T卜k a , = 0,又a. a?,，a ,線性無關(guān)二=>k(,=k尸七=憶=0.從而Aa1，A a 2,，Aa .線性無關(guān).充分性(用秩)因為 Aai, Aa?,，

7、A*=A(a., a 2,，a),所以r(Aa 1, A a 2,A a M) =r(A( a i, a 2,aJ)Wr(ai, a ,a J 由Aa., Aa&,，A a .線性無關(guān)知r (Aa ” Aa北,Aa .) =s.而(心，Gz,，a.)Ws,從而 r(ai, a 2, , a,)=s => a u a 2, » a,線性無關(guān).【例題 4】設(shè) A=ai, az, a，a J, Ax= B 的通解是1, 2, 1, -1 +kl, 3, 2, 0 B=a3, a 2, *, B ( a ., y = * -3 a -5 a 3,(I)能否由-，a.線性表出(I

8、I) a(能否由a »t。3線性表出(III) Bx=Y求的通解.【分析】由非齊次方程組解的結(jié)構(gòu)知道對應(yīng)的齊次方程組的解的結(jié)構(gòu).并且由于系數(shù)矩陣沒有明確給出，所以要從解的結(jié)構(gòu)抽象地求解 方程組.用觀察法得到基礎(chǔ)解系，注意基礎(chǔ)解系是線性無關(guān)的.【證】(I) Ax=B解的結(jié)構(gòu)知r(A)=3.1=> a】+3a2 + 2a.=0= ch 能由 aa3線性表出.3 由A =020(IV) 設(shè) ra 】 + x,aa+r,a * = a 由(D知r(aa2f ajV3,而r(at, a 2, a, a ;)=4,知方程組無解，故明不能由a 2t a：,線性表出.1=> a 1 2a

9、2 + a a- a i= p t-2 (III)由 A =B那么 B=a：, a 2» a i, B + aJ =a” a 2, a lt a »2 a .+a ja J => r(B)=4.從而n-r(B)=2.- 5 -一一3因為a$, a 2, a., a i 2a >+ a a J = a i -3a »+5a j0所以5, -3, 1, 0是Bx=Y的一個解.一2一3由(I)知明+3a?+2a尸0,從而"3, a 2, a H a t2a , + a i- a , 1 =0,用觀察法，取另一個向量使得它與3, 1, 00線性無關(guān)，

10、即2a” a 2, a i, a |-2 a 2+ a j- a <=0,所以 Bx=Y 的通解是1-15, -3, 1, 0T+k,2, 3, 1, 0T+kJ-l, - 2, 1, -1 其中冗，%為任意常數(shù).【評注】本題考查了方程組解的結(jié)構(gòu)以及在方程組矩陣未具體給出的時候如何求解方程組的 通解.根據(jù)題目信息求出系數(shù)矩陣的秩后，會用方程組解的理論拼出解得基本形式，要會 用觀察法得到特解，和線性無關(guān)的解向量.例如本題在選取齊次方程組基礎(chǔ)解系時，先由已知條件得到一個解向量2, 3, 1, 0,然后只要另一個解向量的形式為口，口, 1, -I1,那么這兩個向量必定線性無 關(guān)，從而可以作為基

11、礎(chǔ)解系.1【例題5】A=。，a 2, a J, a HO滿足AB=0.其中B= 232 34 6 ,求a”，a的一個極大線性無關(guān)組,并用它表出其6 k他向量.1分析】從AB=O要得想到兩方面的信息：(I) r(A)+r(B)n (II) B的列向量均是Ax=O的解.【解】由 AB=0=>r(A)+r(B)W3.因為 AWO, BHO 知 1 近r(A)W2, lWr(A)W2當(dāng)k W9時，r(B)=2,從而r(A)=l,此時極大無關(guān)組為a .由AB = O得a. + 2% + 3a. = 0IJ< 2% + 4% + 6a3 = 0 = (k-9) a ,=o4tzi +6% +k

12、a. = 0又 kK9,故 a 3=0, a 3=0a當(dāng) k=9 時，r(B)=l,從而 r(A) = l 或 2.若r(A) = l,則極大無關(guān)組為明,由 %+2-+3(13 a i=o=22 =tae a、=-'(l + 2t)iZ若r(A)=2,則極大無關(guān)組為明, a, (aH Q?必定線性無關(guān)，否則r(A) = l)1 1【例題6】設(shè)人=012, NA)=2,則A"x=0的通解是.-14一。r (A) = n【分析】若A為n階方陣，則r (A4) = 1,0,r CA) = n- ,從而由 r(A)=2 知 r(Aa)=L 又 Al=0,得 £ A=A A*

13、= A E=r (A) <77-1 0= A的列向量是£x=0解.由解的結(jié)構(gòu)知應(yīng)填kJ口，口，口r+%, , 的形式.【解】而由r(A) =2知r(Aa)=L所以通解由nr(B) =31=2個解向量構(gòu)成.又A =0,得A' A=A A'= A E=0=A的列向量是A'x=0解.即 口，0, 一1，2, 1, a1, 3, 2. 4-a T.又 1, aT+3, 2, 4a/=5, 4, 3 顯然1, 0, - 1T 與5, 4, 3線性無關(guān),故 kjl, 0, -1 T+k25, 4. 3是 A'x =0的通,解，其中匕為任意常數(shù).【例題 7】設(shè)

14、 a a2t a 是 Ax = b 的解，r(A) =3,若 a d a=1, 2, 3, 4 , a ?+2a 3=2, 3, 4, 5,則 Ax=b 的通解是【解】由r(A)=3知Ax=0的通解由n-r(B)=4 3=1個.解向量構(gòu)成.從而3(adcu) 2(cu+2a J 是 Ax = 0 的解，即- 1, 0, U 2 T(a62 a J (a 1+a 2)是 Ax=b 的解,即1, 1, 1 * 1從而，1, 1, 1, lT+k -1, 0, 1, 2是版=1)的通解，其中k為任意常數(shù).【評注】由非齊次方程組和齊次方程組解的性質(zhì)知：若即，是4-8的解，那么a - %是加=0的解.而

15、若。，*分別是幾個解向量的線性組合時，相減時用最小公倍數(shù) 的方式選擇系數(shù)微減法.即若 處，心分別是2個和3個解向量的線性組合(即 明=". + 2, a2="1+勿+ 人,這里 外,"2,小,小,心也是從r=6的解)時，那么 3%一2 a2也是4r=0的解.另外，在這種情況下求4r=6的特解，用除法：若 肌，人, 心是4r=6的解，又已知£=%必+兒乙+k 3,那么 5 B是Ax=b的解.去除,因為4（尢i+k 二+兒：）=*/+4相+4/3=（%+k+兒）6,所以A! （A1 "i + k二+3 n j=bk+k2+ k3即5一- £

16、;是4r=6的解.k、+k2+k.也可以用減法，設(shè)1, 2,，是4r=6的解，又已知£i=A|1+2人+ +4,"，8尸ki n + k2 n 2+鼠丁 "一，那么B. 一 £2是4r=8的解.即由S和s ，個解向量構(gòu)成的S（S）個解向量是的解.這里得到7個新的解向量，用上面 的除法就可以得到解,特別的，若r=1,例如得到32 = 1個解向量就可以直接使用.1 1【例題8】設(shè)人=1 a一3 1-1-1只有2個線性無關(guān)的特征向量.求A的特征值與特征向量.3【解】3階矩陣只有2個線性無關(guān)的特征向量,則特征值必有重根.A 1 1入 E-A；= -1 幾一。3

17、一11211 = 02-3 A-1 14-。1 =X (Xa)(X4)=0.-12-3(1)若 a = 0,則 X X 2= 0.對OEA x=0,有-1 -I-1 03 -111 01一0 1-30 0-100從而a尸1, 0, 1 ka,其中k,為任意常數(shù).對4EA x = 0,有3 -1-1 43 -111 -41 - 0111J 0 0-140從而a2=-5, 4, -11 k, a 2,其中k?為任意常數(shù).若 a=4» 則 Ai= X2=4.對OE-A x=0,有-1 -1 11 0 -1-1 01一0 1 03 -1 一30 0 0對 LieA x=o,有從而a3=lt

18、0, 1 ke,其中kj為任意常數(shù).3 -1-1 43 -111 -41 - 01110 0-14 ,從而a.= U 4, 1 k.a u其中*為任意常數(shù).0【例題9】設(shè)A是3階矩陣，且aTB=L, A=a a12(I)證明0是A的特征值.(II)證明a + B，a-B是A的特征向量. r(III)求二次型x；Ax的正負(fù)慣性指數(shù).【證】(I)： a p=p a=-.2.P a； P a 是秩為1的矩陣.從而 r(A)=r(a 8 T+B a)Wr(a B')+r(B a)=2V3 .即 |A =0=0 是 A 的特征值.(11) A(a+S) = (aB,+Ba')(a + B

19、)=aB：a + Ba a + aB'B + Ba'B1 13=a I B - aB = - (a+B),又（a + B ） WO,否則 a + 0 =0=> a = - B = aTp = pTa =-l=#= （ a , B 是 3 維單位列向量）.23從而a + p是A的屬于特征值一的特征向量.2同樣有A（a-B ）= 一上（1日），且（a-B）WO,從而a-p是A的屬于特征值一,的特征向量.2231（IID由（I）、 （II）如A的特征值是：0, 一，-一，又AT=A （否則A不是二次型的矩陣）=p=l, q=l22【例題10設(shè)A是3階矩陣，a B（12, a 3

20、是3維線性無關(guān)的列向量，a i是Ax = O的解，A a 2= a1+ 2 a 2, A a 3= a 13 a二+2 a 3.（I）求A的特征值，特征向量.（ID判斷A是否和A相似【分析】由 Aa2=ai+2a2，Aa ：尸 a 3 a 2+2 a 3，a1是 Ax=O 的解，得到 Aa” a a 30. a-2a如 a 13 a 2+2a 3-o11 -o11a 2， a 302-3.記B=02-3002002若！a1，a 2t(13可逆，則必有 A= a lt a 2> a 3；B. a H aa/f,現(xiàn)在問題是*, a2, as可不可逆呢題目中又給出了 a. a 2, a：,線性

21、無關(guān)，故三階矩陣a” a aj必可逆，所以A和 B相似.所以求A的特征值和特征向量就轉(zhuǎn)為求B的特征值與特征向量.記A的特征向量為則B的特征向量為p-1，所以知道了 P一速，就可以求出而問A是否和A相似，由于巳經(jīng)求出了 A的特征值，特征向量，則可以從相似對角化的充分必要條件給予推斷.也可以根據(jù)相似 的傳遞性，由于上一步中巳經(jīng)得到了 A和B相似，故若有B和A相似，則有A是否和A相似.【解】Aau-o11。31= 0, a i + 2a2, a 1 -3 a 2+2 a 3 = a H a 2, a 302-3002因為a 1，a 2， as線性無關(guān)，故a，a 2，a：J可逆，從而0a 2, a 3

22、 A a u a 2. a：J=B= °01 12 3 ,即A和B相似.02由B的特征值為0, 2, 2 （B為上三角矩陣,或者用定義，由XE-Bi = X (X-2)2=0=> X=0t 2, 2.)知A的特征值為0, 2,2.由已知，*是A的屬于特征值0的特征向量，其中冗為不等于零的任意常虬1對于B的屬于特征值2的特征向量，有學(xué)=, 2, 0r=d, a2, a3 2 =ai + 2a1, =kz a1+2 a 2；是A的屬于特0征值2的特征向量，其中匕為不等于零的任意常數(shù).(II)由(D知A只有2個線性無關(guān)的特征向量，故A不和A相似.【評注】這是特征值與特征向量的另一種考

23、法，由2。二=%+ 2 aA a2=m一3 a >4-2 a ：. 要想到相似的信息.這里缺少4 er,如果有跖的話，就可以構(gòu)成分塊矩陣的乘法，從而可以得到相似的信息，而這里題目中又紿出了即是4r=0的解，所以可以做分塊矩 陣的乘法，有 A a> 。2, 七0, ai+2a2, a l3 a2 + 2 %=a 1, *,011a ：1 0 2 30020記片0 01 12 -302若%, a_.，a/可逆，則必有力= a” a2, a1夙a；,由 r(A)=r 知 Bi， 0 2.，(II)由(D 知 A+3E =3 T%, a/”，現(xiàn)在問題是4, %, %可不可逆呢題目中又給出了

24、明，%, 右線 性無關(guān)，故三階矩陣ai,必可逆，所以4和5相似所以求4的特征值和特【例題11】設(shè)A'+2A=0,】(A)=r.(1)證明A和A相似.(II)求 |A+3E|.【分析】由'+2入=0=入=0, - 2 .即A的特征值是，但是各有幾個是不知道的，還需要具體分析.【證】(D (用秩)r(A)=r=>A=%,a中有r個向量線性無關(guān).由 A = -2A=A a I, a 2, -, a n = -2 a u a?,，a n； => a lt a?,，a n是 A 的屬于特征值-2 的特征向量=-2 有 r個線性無關(guān)的特征向量.B,-是Ax=0的基礎(chǔ)解系 =AB

25、i=0(i = l, 2, -n-r) = 特征值0有n-r個線,性無關(guān)的特征向【評注】若矩陣4滿足八，八為4的多項式，那么4的特征值由£(4)給出,但是各有0【例題12巳知A是3階矩陣，各行元素之和為2,且AB=O,其中B= 1-112一 1 3 ,若 B = 2, 3, 41，求 A B .25【解】因為A各行元素之和為2,所以=2是A的特征值,1是對應(yīng)的特征向量，記a1=11處理£,4個3維向量必相關(guān).B =5a j 5 a 2 3。3 B =5Aa i 5 A a ? - 3A a 3= 10 a5.2=>A =A A=10 A , a 】=10入 J，a i

26、 = 5 2% 1= 5 , 2”521【例題13巳知A= 0 02B= 10-2-104a相似,0求可逆矩陣P使pfAP=B.【解】因為A和B相似，所以r(A)=r(B)=>a=2.2-1 -2 -3又：入E-Al=2= r （入-1）=0=入=0, 0, 1.對入=0,有0E-AJ x=0,-1 -2 -3-。-5=-2, 1, 01，a2=-3t 0, 10對入=1 有E-A x=o,0 -2 -31> a 3= 1, 0, 0-.令 Pi=a 1，a 2, a 3,有 P1AP1 =由入E-B =2-2-1=> 入=o, o, i.對入=0,有0E-A-2-4-4-4

27、-4-1-2-2-2=人（入-1）=0x = 0.對入=1,有E-A-1一41, 0 , Bd-2,0, 1x = 0,-1-4-1-2-P3=2, 1, 01.令P2=。，有 P JP2=P2P- 1AP1 Pl2=B, iEP=Pi P '2則P=R P'=-2-3-2-3-2為所求.【例題141已知a =h并寫出所用的坐標(biāo)變換.k, -2，是二次型x'Ax=ax；+ax22+kx；-2x】X3-2x2X3矩陣A的特征向量.用坐標(biāo)變換化二次行為標(biāo)準(zhǔn)型,【解】二次型的矩陣為-1-1-1-1-1 -1 k-2=4-2a + 2 = 4ak + 2 = 4A1 3A=24

28、(2)(3)k(l)-(2) =>2k-2=0=>k=L 帶入(3)有、i = 2,帶入(1)有 a=0.2 0由 CE-A = 0 21 111 =X (X-2)( X +1)=0 => X=0, 2, - 1.2-1對入=0,有0E£ x=o,0 1-01 -101 -101- a2=l, -1, 0T.0 0對 x=-l 有-E-A X = O,-1 00 -11 111 110-1-20 11 -21 1 - a 3= 1, 1, lr.0 0因為正定矩陣不同特征值的特征向量巳正交，故只需單位化，得1 1V6_LV3_LV31V3 1721_72o1一761

29、76276-_ _= I-勺與一一 一令心那>1 1T22>2 ，有 x Ax=y Ay=2yT y：j.)3.【例題15巳如n階矩陣A，B均正定.證明：AB正定的充分必要條件是AB可交換，即AB=BA.【分析】設(shè)n階矩陣A為正定矩陣，隱含著潛臺詞：A是對稱的，所以必要性由此推得.s正定矩陣是由二次型引出的，即若二次型，Ax,則二次型正定也就是A正定，二次型負(fù)定也就是A負(fù)定，二次型不定也就是A不 定.矩陣正定的充要條件是：(I) A的特征值全大于零.(ID A的順序主子式全大于零.(111) V xK0,有 x'Ax>0.從而證明矩陣正定就可以從這些方面入手.【證】(必要性)A, B, AB 正定=>A=A； B=B，AB=(AB)r =AB= (AB)'=B A'=BA.(充分性)【方法一】A, B 正定=A=A , B=B =>AB=A Br=(BA) ；又 AB=BA=AB=