復(fù)變函數(shù)論鐘玉泉第四章

1、1第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)2、復(fù)數(shù)項級數(shù)、復(fù)數(shù)項級數(shù)3、復(fù)函數(shù)項級數(shù)、復(fù)函數(shù)項級數(shù)4、解析函數(shù)項級數(shù)、解析函數(shù)項級數(shù)1、復(fù)數(shù)列的極限、復(fù)數(shù)列的極限第四章第四章 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示解析函數(shù)的冪級數(shù)表示21. 復(fù)數(shù)列的極限復(fù)數(shù)列的極限定義定義0, 如如任任意意給給定定相相應(yīng)應(yīng)地地都都能能找找到到一一個個正正整整( ), , nNnN 數(shù)數(shù)使使在在時時: :成成立立 , 時時的的極極限限當(dāng)當(dāng)稱稱為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列那那末末 nn 記作記作.lim nn . 收斂于收斂于此時也稱復(fù)數(shù)列此時也稱復(fù)數(shù)列n , ), 2 , 1( 其中其中為一復(fù)數(shù)列為一復(fù)數(shù)列設(shè)設(shè) nn ,nnniba

2、, 為一確定的復(fù)數(shù)為一確定的復(fù)數(shù)又設(shè)又設(shè)iba 復(fù)數(shù)列收斂的條件復(fù)數(shù)列收斂的條件 (1,2,) nnnaibnaib 定定理理 復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列收收斂斂于于的的充充要要條條件件是是lim,lim.nnnnaabb 3,lim nn如如果果那末對于任意給定的那末對于任意給定的0 就能找到一個正數(shù)就能找到一個正數(shù)N, , 時時當(dāng)當(dāng)Nn ,)()( ibaibann證證,)()( bbiaaaannn從而有從而有.limaann 所以所以.limbbnn 同理同理.2,2 bbaann反之反之, 如果如果,lim,limbbaannnn , 時時那末當(dāng)那末當(dāng)Nn 從而從而)()(ibaibannn )(

3、)(bbiaann .lim nn所所以以, bbaann4下列數(shù)列是否收斂下列數(shù)列是否收斂, 如果收斂如果收斂, 求出其極限求出其極限.;)11()1(nienn 例例1 1.cos)2(innn 解解; 1)11 (lim)11 (lim) 1 (1niniennnennn. )(2cos)2(neeninnnnn定理：復(fù)數(shù)列收斂的定理：復(fù)數(shù)列收斂的Cauchy準(zhǔn)則準(zhǔn)則 (1,2,) nn 復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列收收斂斂的的充充要要條條件件是是: :0:NnNpN , , 0 0, ,當(dāng)當(dāng)時時, ,對對|npn ;11)1(ninizn ;1)1()2( niznn.1)3(2innenz 練習(xí)練習(xí)

4、52. 復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散定義定義(1,2,),nnnaibn 設(shè)設(shè)為為一一復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列121 (4.1)nnn 表達式表達式稱為復(fù)數(shù)項級數(shù)稱為復(fù)數(shù)項級數(shù).nns 21稱為級數(shù)的稱為級數(shù)的部分和部分和.若部分和數(shù)列若部分和數(shù)列sn(n=1,2,)以有限復(fù)數(shù)以有限復(fù)數(shù)s為極限為極限,lim()nnss 即即1nns 則稱復(fù)數(shù)項無窮級數(shù)則稱復(fù)數(shù)項無窮級數(shù)(4.1)收斂收斂于于s,且稱且稱s為為(4.1)的和的和,寫成寫成否則若復(fù)數(shù)列否則若復(fù)數(shù)列sn(n=1,2,)無有限極限無有限極限,則稱級數(shù)則稱級數(shù)(4.1)為為發(fā)散發(fā)散.定義：的收斂于復(fù)級數(shù)注Nsn .|, 0, 01

5、sNnNnkk有6定理定理4.1 設(shè)設(shè) n=an+ibn(n=1,2,),an及及bn為實數(shù)為實數(shù),則復(fù)則復(fù)級數(shù)級數(shù)(4.1)收斂于收斂于s=a+ib(a,b為實數(shù)為實數(shù))的充要條件為的充要條件為:11,nnnnab分別收斂于分別收斂于a及及b.復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的條件復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的條件實數(shù)項級數(shù)實數(shù)項級數(shù)證證因為因為nns 21)()(2121nnbbbiaaa ,nni . 11 nnnnba都收斂都收斂和和級數(shù)級數(shù)于是于是 : 極限存在的充要條件極限存在的充要條件根據(jù)根據(jù)ns , 的的極極限限存存在在和和nn 7注：復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂問題可轉(zhuǎn)化為實數(shù)項級數(shù)注：復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂問題可轉(zhuǎn)化為實數(shù)

6、項級數(shù)的收斂問題的收斂問題111),nnnnab 分別收斂于分別收斂于a及及b1()nnsaib 112),nnnnab至至少少一一個個發(fā)發(fā)散散 1nn 發(fā)發(fā)散散11(1) 2ninn 例例1 級數(shù)級數(shù)是否收斂？是否收斂？例例2級數(shù)級數(shù)是否收斂？是否收斂？2111 3nnin .211發(fā)散知原級數(shù)發(fā)散由nn.311發(fā)散知原級數(shù)發(fā)散由nn8推論推論2 收斂級數(shù)的各項必是有界的收斂級數(shù)的各項必是有界的.推論推論1 收斂級數(shù)的通項必趨于零收斂級數(shù)的通項必趨于零:lim0nn (事實上，取事實上，取p=1,則必有則必有|an+1|0,存在正整數(shù)存在正整數(shù)N(),當(dāng)當(dāng)nN且且p為任何正整數(shù)時為任何正整數(shù)

7、時 | n+1+ n+2+ n+p|0,存在正整數(shù)存在正整數(shù)N=N(),當(dāng)當(dāng)nN時時,對一切對一切的的zE均有均有 |f(z)-fn(z)|0,存在正整數(shù)存在正整數(shù)N=N(),當(dāng)當(dāng)nN時時,對對一切的一切的zE均有均有 |f(z)-sn(z)|0, 存在存在正整數(shù)正整數(shù)N=N(),使當(dāng)使當(dāng)nN時時,對于一切對于一切zE,均有均有 |fn+1(z)+fn+p(z)| (p=1,2,).Weierstrass優(yōu)級數(shù)準(zhǔn)則優(yōu)級數(shù)準(zhǔn)則: 如果整數(shù)列如果整數(shù)列Mn(n=1,2,),使對一切使對一切zE,有有|fn(z)|Mn (n=1,2,),而且正項而且正項級數(shù)級數(shù) 收斂收斂,則復(fù)函數(shù)項級數(shù)則復(fù)函數(shù)項級

8、數(shù) 在點集在點集E上上絕對收斂且一致收斂絕對收斂且一致收斂: 這樣的正項級數(shù)這樣的正項級數(shù) 稱為函數(shù)項級數(shù)稱為函數(shù)項級數(shù)的優(yōu)級數(shù)的優(yōu)級數(shù).1nnM 1( )nnfz 1nnM1)(nnzf15定理定理4.6 設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù) 的各項在點集的各項在點集E上連續(xù)上連續(xù),并并且一致收斂于且一致收斂于f(z),則和函數(shù)則和函數(shù) 也在也在E上連續(xù)上連續(xù).1)(nnzf1)()(nnzfzf定理定理4.7 設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù) 的各項在曲線的各項在曲線C上連續(xù)上連續(xù),并并且在且在C上一致收斂于上一致收斂于f(z),則沿則沿C可以逐項積分可以逐項積分:1)(nnzf1)()(nCnCdzzfdzzf16定義定義4.5

9、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)fn(z)(n=1,2,)定義于區(qū)域定義于區(qū)域D內(nèi)內(nèi),若若級數(shù)級數(shù)(4.2)在在D內(nèi)任一有界閉集上一致收斂內(nèi)任一有界閉集上一致收斂,則稱此則稱此級數(shù)在級數(shù)在D內(nèi)內(nèi)內(nèi)閉一致收斂內(nèi)閉一致收斂.定理定理4.8 設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù)(4.2)在圓在圓K:|z-a|R內(nèi)閉一致收斂內(nèi)閉一致收斂的充要條件為的充要條件為:對于任意正數(shù)對于任意正數(shù),只要只要R,級數(shù)級數(shù)(4.2)在閉圓在閉圓 上一致收斂上一致收斂.:Kza 17定理定理4.9 設(shè)設(shè) (1)fn(z) (n=1,2,)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析,級數(shù)級數(shù)則則 (1) f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析()()1(2)( )( )(,1,2,)

10、.ppnnfzfzzD p 6. 解析函數(shù)項級數(shù)解析函數(shù)項級數(shù)或或 序列在區(qū)域序列在區(qū)域D內(nèi)內(nèi)閉一致收斂于函數(shù)內(nèi)內(nèi)閉一致收斂于函數(shù)f(z),C cnndzzf, 2 , 1, 0)( 10)()(ncncdzzfdzzfDz 0CDz 0Dz 0D證證 （1）設(shè)，若為內(nèi)包含）設(shè)，若為內(nèi)包含z0的任一周線，的任一周線，則由柯西積分定理得則由柯西積分定理得由定理由定理4.74.7得得于是，由摩勒拉定理知，于是，由摩勒拉定理知，f( (z) )在內(nèi)解析，即在內(nèi)解析，即在解析。由于的任意性，在解析。由于的任意性，故故f(z)在區(qū)域內(nèi)解析。在區(qū)域內(nèi)解析。)(zfn)(zfn., 2 , 1),(lim)

11、()()(pzfzfpnnp或18,)2(0KzDKUz內(nèi)，對于也在的邊界圓的某鄰域設(shè),)()()()(10110pnpnzzzfzzzf一致收斂于有由定理7 . 4,)()(21)()(2111010nKpnKpzzdzzfizzdzzfi. )()(1)()(npnpzfzf即19第二節(jié)第二節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù)1 1、冪級數(shù)的斂散性、冪級數(shù)的斂散性2 2、冪級數(shù)的收斂半徑的求法、冪級數(shù)的收斂半徑的求法3 3、冪級數(shù)的和函數(shù)的解析性、冪級數(shù)的和函數(shù)的解析性4 4、例題、例題5 5、小結(jié)、小結(jié)201. 冪級數(shù)的定義冪級數(shù)的定義： 20120()()()nnnczacc zacza 4.3 4.3形

12、式的復(fù)函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù)形式的復(fù)函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù),其中其中 c0,c1,c2 ,a都是復(fù)常數(shù)都是復(fù)常數(shù).20121.nnnc zcc zc z 冪級數(shù)是最簡單的解析函數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)是最簡單的解析函數(shù)項級數(shù),為了搞清楚為了搞清楚它的斂散性它的斂散性,先建立以下的阿貝爾先建立以下的阿貝爾(Abel)定理定理.一、冪級數(shù)的斂散性一、冪級數(shù)的斂散性具有具有當(dāng)當(dāng)a=0,則以上冪級數(shù)可以寫成如下形式則以上冪級數(shù)可以寫成如下形式注注1 一般冪級數(shù)在一定的區(qū)域內(nèi)收斂于一個解析函數(shù)。一般冪級數(shù)在一定的區(qū)域內(nèi)收斂于一個解析函數(shù)。注注2 在一點解析的函數(shù)在此點的一個鄰域內(nèi)可以用冪在一點解析的函數(shù)在此點的一個鄰

13、域內(nèi)可以用冪級數(shù)表示出來，因此一個函數(shù)在某點解析的充要條件級數(shù)表示出來，因此一個函數(shù)在某點解析的充要條件是它在這點的某個鄰域內(nèi)可以展開成一個冪級數(shù)。是它在這點的某個鄰域內(nèi)可以展開成一個冪級數(shù)。21定理定理4.10：如果冪級數(shù)：如果冪級數(shù)(4.3)在某點在某點z1(a)收斂收斂,則它必則它必在圓在圓K:|z-a|z1-a|(即以即以a為圓心圓周通過為圓心圓周通過z1的圓的圓)內(nèi)絕內(nèi)絕對收斂且內(nèi)閉一致收斂對收斂且內(nèi)閉一致收斂.推論推論4.11 若冪級數(shù)若冪級數(shù)(4.3)在某點在某點z2(a)發(fā)散發(fā)散,則它在以則它在以a為圓心并且通過點為圓心并且通過點z2的圓周外部發(fā)散的圓周外部發(fā)散.2. 冪級數(shù)的

14、斂散性討論冪級數(shù)的斂散性討論命題：命題：對于冪級數(shù)對于冪級數(shù) , 若實系數(shù)實冪級數(shù)若實系數(shù)實冪級數(shù)nnnzz)(00nnnx0|的收斂半徑為的收斂半徑為R,則有則有發(fā)散；時，級數(shù)當(dāng)絕對收斂，時，級數(shù)則當(dāng)若nnnnnnzzRzzzzRzzR)(|)(|,0) 1 (000000對收斂；在復(fù)平面上每一點處絕則級數(shù)若nnnzzR)(,)2(00外，每一點都發(fā)散。在復(fù)平面上除去則級數(shù)若000)(, 0) 3(zzzzRnnn22，使得冪級數(shù)在圓域圓周總存在一個對任意冪級數(shù)于是)0( |,)(, 000RRzzzzCkkk外處處發(fā)散。內(nèi)處處收斂，在此圓域Rzz|0稱為收斂半徑。稱為冪級數(shù)的收斂圓圓域RR

15、zz,|0。收斂，在收斂圓外發(fā)散冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對斂，也可能發(fā)散。但在圓周上，則可能收23定理定理4.12 如果冪級數(shù)如果冪級數(shù)(4.3)的系數(shù)的系數(shù)cn合于合于1lim,(nnnclD Alembertc 達達朗朗貝貝爾爾）或或lim,(-)nnnclCauchy Hadamard 柯柯西西阿阿達達瑪瑪或或3. 冪級數(shù)收斂半徑的求法冪級數(shù)收斂半徑的求法則冪級數(shù)則冪級數(shù) 的收斂半徑為的收斂半徑為:0)(nnnazcR=1/l (l0,l+)0 (l=+);+ (l=0).(4.4)Cauchy(|lim柯西lcnnn244、冪級數(shù)的運算和性質(zhì)1.1.冪級數(shù)的有理運算冪級數(shù)的有理運算.,)(,

16、)(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn 設(shè)設(shè),)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzf Rz ),()()()(00 nnnnnnzbzazgzf 00110,)(nnnnnzbababaRz ),min(21rrR 252. 冪級數(shù)的代換冪級數(shù)的代換( (復(fù)合復(fù)合) )運算運算如果當(dāng)如果當(dāng)rz 時時,)(0 nnnzazf又設(shè)在又設(shè)在Rz 內(nèi)內(nèi))(zg解析且滿足解析且滿足,)(rzg 那末當(dāng)那末當(dāng)Rz 時時, 0.)()(nnnzgazgf說明說明: 此代換運算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級數(shù)此代換運算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級數(shù).26定理定理4.13 (1) 冪級數(shù)冪

17、級數(shù)0)()(nnnazczf(4.5)的和函數(shù)的和函數(shù)f(z)在其收斂圓在其收斂圓K:|z-a|R(0R+)內(nèi)解析內(nèi)解析.5. 冪級數(shù)的和函數(shù)的解析性冪級數(shù)的和函數(shù)的解析性 (2)在在K內(nèi)內(nèi),冪級數(shù)冪級數(shù)(4.5)可以逐項求導(dǎo)至任意階可以逐項求導(dǎo)至任意階,即：即：( )1( )!(1)2()pppfzp cppcz a (1)(1)()n pnn nnpc za (p=1,2,) (4.6)(3) (p=0,1,2,). (4.7)()( )!ppfacp (4) 級數(shù)（級數(shù)（4.5）可沿）可沿K內(nèi)曲線內(nèi)曲線C逐項積分，且逐項積分，且其收斂半徑與原級數(shù)相同。其收斂半徑與原級數(shù)相同。簡言之簡言

18、之: 在收斂圓內(nèi)在收斂圓內(nèi), , 冪級數(shù)的和函數(shù)解析冪級數(shù)的和函數(shù)解析; 冪級數(shù)可冪級數(shù)可逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo), , 逐項積分逐項積分. .(常用于求和函數(shù)常用于求和函數(shù))27例例1 求下列冪級數(shù)的收斂半徑求下列冪級數(shù)的收斂半徑R:.)2( ;)2() 1 (002nnnnnnznz例例2 求下列冪級數(shù)在收斂域內(nèi)的和函數(shù)：求下列冪級數(shù)在收斂域內(nèi)的和函數(shù)：例例3 求級數(shù)求級數(shù) 0)1(nnzn的收斂半徑與和函數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).例例4 計算計算.21,d)(1 zczzcnn為為其中其中.)2( ;) 1 (111nnnnnznz5. 典型例題典型例題例例5 把函數(shù)把函數(shù)bz 1表成形如表成形如

19、0)(nnnazc的冪的冪級數(shù)級數(shù), 其中其中ba與與是不相等的復(fù)常數(shù)是不相等的復(fù)常數(shù) .28第三節(jié)第三節(jié) 解析函數(shù)的泰勒展式解析函數(shù)的泰勒展式1、泰勒、泰勒(Taylor)定理定理2、冪級數(shù)和函數(shù)在收斂圓周上的狀況、冪級數(shù)和函數(shù)在收斂圓周上的狀況3、一些初等函數(shù)的泰勒展式、一些初等函數(shù)的泰勒展式29(4.9)定理定理4.14 (泰勒定理泰勒定理) 設(shè)設(shè)f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析,aD,只只要圓要圓K:|z-a|R含于含于D,則則f(z)在在K內(nèi)能展成如下冪級數(shù)內(nèi)能展成如下冪級數(shù) 0( )()nnnfzcza(4.8)其中系數(shù)其中系數(shù)( )11( )( )2!()nnnffacdina

20、(:|,0;0,1,2,)aR n且展式是唯一的且展式是唯一的. .1. 泰勒泰勒(Taylor)定理定理（4.8）稱為）稱為f(z)在點在點a的的泰勒展式泰勒展式，（，（4.9）稱為其）稱為其泰勒系數(shù)泰勒系數(shù)，（，（4.8）中的級數(shù)稱為）中的級數(shù)稱為泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)。30 定理定理4.15 f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件為內(nèi)解析的充要條件為:f(z)在在D內(nèi)任一點內(nèi)任一點a的鄰域內(nèi)可展成的鄰域內(nèi)可展成z-a的冪級數(shù)的冪級數(shù),即泰勒級數(shù)即泰勒級數(shù).max( )|(0,0,1,2,).z annf zcR n 由柯西不等式知若由柯西不等式知若f(z)在在|z-a|0,且且)|:|( ,)

21、()(0RazKzazczfnnn則則f(z)在收斂圓周在收斂圓周C：|z-a|=R上至少有一奇點，即不上至少有一奇點，即不可能有這樣的函數(shù)可能有這樣的函數(shù)F(z)存在，它在存在，它在|z-a|R內(nèi)與內(nèi)與f(z)恒恒等，而在等，而在C上處處解析上處處解析. 2. 冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓周上的狀況冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓周上的狀況32231(|)2!3!nzzzzezzn );|(|,)!2() 1(cos02Znzznnn).|(|,)!12() 1(sin012znzznnn.) 1(322)1 (ln132 nzzzzikznnk3. 3. 一些初等函數(shù)的泰勒展式一些初等函數(shù)的泰勒展式 2!

22、2)1(1)1(zzz nznn!)1()1(33例例1 1. 0 )1ln( 泰勒展開式泰勒展開式處的處的在在求對數(shù)函數(shù)的主值求對數(shù)函數(shù)的主值 zz分析分析, 1 , 1 )1ln( 是它的一個奇點是它的一個奇點平面內(nèi)是解析的平面內(nèi)是解析的向左沿負(fù)實軸剪開的向左沿負(fù)實軸剪開的在從在從 z. 1 的冪級數(shù)的冪級數(shù)內(nèi)可以展開成內(nèi)可以展開成所以它在所以它在zz 如圖如圖,1 Ro1 1xy34zzzzzznnnd)1(d11000 即即 1)1(32)1ln(132nzzzzznn1 z 將展開式兩端沿將展開式兩端沿 C 逐項積分逐項積分, 得得解解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nn

23、nnnzzzz)1( z, 0 1 的的曲曲線線到到內(nèi)內(nèi)從從為為收收斂斂圓圓設(shè)設(shè)zzC 35例例2 2. )1 (1 2的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成把把函函數(shù)數(shù)zz 解解 nnzzzz) 1(11121 z, 11)1(12 zzz上有一奇點上有一奇點在在由于由于,1內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析且且在在 z,的冪級數(shù)的冪級數(shù)可展開成可展開成 z zz11)1 (12. 1,)1(321112 znzzznn上式兩邊逐項求導(dǎo)上式兩邊逐項求導(dǎo),36例例3 3 .0arctan的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開式式在在求求 zz解解,1darctan02 zzzz因因為為1,)()1(11 022 zzznnn且且

24、zzzz021darctan所所以以 znnnzz002d)()1(. 1,12)1(012 znznnn371、 解析函數(shù)零點的孤立性解析函數(shù)零點的孤立性2、 唯一性定理唯一性定理3、 最大與最小模原理最大與最小模原理第四節(jié)第四節(jié) 解析函數(shù)零點的孤立性與唯一性定理解析函數(shù)零點的孤立性與唯一性定理38 定義定義4.7 設(shè)設(shè)f(z)在解析區(qū)域在解析區(qū)域D內(nèi)一點內(nèi)一點a的值為零，即：的值為零，即：f(a)=0，則稱，則稱a為解析函數(shù)為解析函數(shù)f(z)的一個零點的一個零點. 如果在如果在|z-a|R內(nèi)，解析函數(shù)內(nèi)，解析函數(shù)f(z)不恒為零，我們不恒為零，我們將它在點將它在點a展成冪級數(shù)，此時，冪級數(shù)

25、的系數(shù)不必展成冪級數(shù)，此時，冪級數(shù)的系數(shù)不必全為零，故必有一正數(shù)全為零，故必有一正數(shù)m(m1)，使得，使得(1)()( )( )( )0,( )0,mmf afafafa 但但合乎上述條件的合乎上述條件的m稱為零點稱為零點a的階的階(級級)，a稱為稱為f(z)的的m階階(級級)零點零點。特別是當(dāng)。特別是當(dāng)m=1時，時，a也稱為也稱為f(z)的的簡單簡單零點零點.1. 1. 解解析函數(shù)的零點及其孤立性析函數(shù)的零點及其孤立性39定理定理4.17 不恒為零的解析函數(shù)不恒為零的解析函數(shù)f(z)以以a為為m級零點的充要條件為級零點的充要條件為:( )()( )mf zzaz ( )z 其中其中. 0)(

26、a(4.14)在點在點a的鄰域的鄰域|z-a|R內(nèi)解析內(nèi)解析,且且證證 必要性必要性 由假設(shè)，由假設(shè)，只要令只要令即可。充分性是明顯的。即可。充分性是明顯的。 1)1()()()!1()()(!)()(mmmmazmafazmafzf )()!1()(!)()()1()(azmafmafzmm40定理定理4.18 如在如在|z-a|R內(nèi)解析的函數(shù)內(nèi)解析的函數(shù)f(z)不恒為不恒為零，零，a為其零點，則必有為其零點，則必有a的一個鄰域，使得的一個鄰域，使得f(z)在其中無異于在其中無異于a的零點的零點(簡單來說就是，不恒為零簡單來說就是，不恒為零的解析函數(shù)的零點必是孤立的的解析函數(shù)的零點必是孤立的

27、)。 零點的孤立性零點的孤立性(2)(2)在在K內(nèi)有內(nèi)有f( (z) )的一列零點的一列零點 zn(zna) )收斂于收斂于a, ,推論推論4.194.19 設(shè)設(shè)(1)(1)f( (z) )在鄰域在鄰域K:|z-a|R內(nèi)解析內(nèi)解析; ;即存在即存在 zn K, , ( (zna) ) f( (zn)=0, )=0, zna ( )0z zfK41(1)函數(shù)函數(shù)f1(z)， f2(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析，內(nèi)解析，(2)D內(nèi)有一個收斂于內(nèi)有一個收斂于aD的點列的點列zn(zna)，滿，滿足足 ,則在則在D內(nèi)有內(nèi)有 f1(z) f2(z). 定理定理4.20(解析函數(shù)的唯一性定理解析函數(shù)的唯一性定理) 設(shè)：設(shè)：2. 零點的唯一性零點