第二節(jié)中心極限定理

1、 1.中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景 在實際問題中，常常需要考慮許多隨機在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產生總影響因素所產生總影響. .例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多隨機因素的影響著許多隨機因素的影響. .5.2 5.2 中心極限定理中心極限定理 空氣阻力所產生的誤差，空氣阻力所產生的誤差，對我們來說重要的是這些對我們來說重要的是這些隨機因素的總影響隨機因素的總影響.如瞄準時的誤差，如瞄準時的誤差，炮彈或炮身結構所引起的誤差等等炮彈或炮身結構所引起的誤差等等. . 自從高斯指出測量誤差服從正自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分

2、布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見在自然界中極為常見. . 觀察表明：客觀實際中，許多隨機變量是觀察表明：客觀實際中，許多隨機變量是由大量由大量相互獨立的偶然因素的綜合影響相互獨立的偶然因素的綜合影響所形成，每一個微小所形成，每一個微小因素，在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來，因素，在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來，卻對總和有顯著影響，這種隨機變量往往近似地服從卻對總和有顯著影響，這種隨機變量往往近似地服從正態(tài)分布。正態(tài)分布。 現(xiàn)在我們就來研究獨立隨機變量之和所現(xiàn)在我們就來研究獨立隨機變量之和所特有的規(guī)律性問題特有的規(guī)律性問題. . 當當n

3、無限增大時，這個和的極限分布是無限增大時，這個和的極限分布是什么呢？什么呢？在什么條件下極限分布會是正態(tài)的呢在什么條件下極限分布會是正態(tài)的呢？ 由于無窮個隨機變量之和可能趨于由于無窮個隨機變量之和可能趨于，故我們不研究故我們不研究n個隨機變量之和本身而考慮個隨機變量之和本身而考慮它的標準化的隨機變量它的標準化的隨機變量 nkknknkkknXDXEXZ111)()(的分布函數的極限的分布函數的極限. . nkknknkkknXDXEXZ111)()(的分布函數的極限的分布函數的極限. .考慮考慮 概率論中有關論證獨立隨機變量的和的極限分布概率論中有關論證獨立隨機變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一

4、系列定理稱為是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理中心極限定理。獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理 設隨機變量設隨機變量X1，X2，Xn相互獨立相互獨立，服從同一分服從同一分布布，且有有限的數學期望，且有有限的數學期望 和方差和方差 ，則隨機變量，則隨機變量 的分布函數的分布函數 滿足如下極限式滿足如下極限式1niinXnYn( )nF x22121lim( )lim2ntixinnnXnF xPxedtn注：注：則則Y n為為nkkX1的標準化隨機變量的標準化隨機變量.)(limxxYPnn即即 n 足夠大時，足夠大時，Y n 的分布函數近似于標準正態(tài)的分布函數近似于標準正態(tài)隨

5、機變量的分布函數隨機變量的分布函數nnXYnkkn1記記)1 ,0( NYn近似近似nkkX1nYnn),(2nnN近似服近似服從從定理的應用定理的應用：對于獨立的隨機變量序列對于獨立的隨機變量序列 ，不管不管 服從什么分布，只要它們是同分布服從什么分布，只要它們是同分布，且有有限的數學期望和方差，那么，當且有有限的數學期望和方差，那么，當n充分大時，這充分大時，這些隨機變量之和些隨機變量之和 近似地服從正態(tài)分布近似地服從正態(tài)分布nX(1,2, )iX in1niiX2,N nn下面我們舉例說明中心極限定理的應用下面我們舉例說明中心極限定理的應用從演示不難看到中心極限定理的客觀背景從演示不難看

6、到中心極限定理的客觀背景例例: :20個個0-1分布的和的分布分布的和的分布X1 f(x)X1 +X2g(x)X1 +X2+X3 h(x)幾個幾個(0,1)上均勻分布的和的分布上均勻分布的和的分布0123xfgh例例1 一部件包括一部件包括10部分，每部分的長度是一個隨機變部分，每部分的長度是一個隨機變量，相互獨立，且具有同一分布。其數學期望是量，相互獨立，且具有同一分布。其數學期望是2mm，均方差是均方差是0.05mm，規(guī)定總長度為規(guī)定總長度為200.1mm時產品合時產品合格，試求產品合格的概率。格，試求產品合格的概率。解解 設部件的總長度為設部件的總長度為X，每部分的長度為每部分的長度為

7、Xi（i=1,2,10)，則則()2iE X()0.05iX101iiXX由定理可知：由定理可知：X近似地服從正態(tài)分布近似地服從正態(tài)分布 210 2,10 0.05N即即 20,0.025N續(xù)解續(xù)解 則產品合格的概率為則產品合格的概率為 200.119.920.1P XPX20.1 2019.9200.0250.025 0.1210.025 0.4714棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心極限定理拉普拉斯中心極限定理 (De Moivre(De Moivre-Laplace) -Laplace) 設設 Y n B( n , p) , 0 p 1, n = 1,2,則對任一實數則對任一實數 x，有，有xtn

8、ndtexpnpnpYP2221)1 (lim即對任意的即對任意的 a b,batnndtebpnpnpYaP2221)1 (limY n N (np , np(1-p) (近似近似)正態(tài)分布的概率密度的圖形正態(tài)分布的概率密度的圖形x 二項分布的隨機變量可看作許多相互獨立的0-1分布的隨機變量之和, 下面是當x-B(20,0.5)時, x的概率分布圖 Poisson分布相當于二項分布中分布相當于二項分布中p很小很小n很大很大的的分布分布, , 因此因此, , 參數參數l=np當很大時也相當于當很大時也相當于n特別大特別大, , 這個時候這個時候Poisson分布也近似服從正態(tài)分布分布也近似服從

9、正態(tài)分布, , 下面下面是是l=30時的時的Poisson概率分布圖概率分布圖. .例例2 設有一大批種子，其中良種占設有一大批種子，其中良種占1/6. 試估計試估計 在任選的在任選的6000粒種子中，良種所占比例與粒種子中，良種所占比例與 1/6比較上下不超過比較上下不超過1%的概率的概率.解解 設設 X 表示表示6000粒種子中的良種數粒種子中的良種數 , 則則X B(6000,1/6)65000)(,1000)(XDXE6500010009406500010001060650006065000601650006029624. 001. 0616000XP601000 XP65000,10

10、00 NX近似比較幾個近似計算的結果比較幾個近似計算的結果用中心極限定理用中心極限定理9624. 001. 0616000XP用二項分布用二項分布(精確結果精確結果)9590. 001. 0616000XP用用Poisson 分布分布9379. 001. 0616000XP用用Chebyshev 不等式不等式7685. 001. 0616000XP例例3 對敵人的防御工事用炮火進行對敵人的防御工事用炮火進行 100 次轟擊次轟擊, 設每次轟擊命中的炮彈數服從同一分布設每次轟擊命中的炮彈數服從同一分布, 其其 數學期望為數學期望為 2, 均方差為均方差為 1.5 . 如果各次轟擊如果各次轟擊 命

11、中的炮彈數是相互獨立的命中的炮彈數是相互獨立的, 求求100 次轟擊次轟擊 (1) 至少命中至少命中180發(fā)炮彈的概率發(fā)炮彈的概率; (2) 命中的炮彈數不到命中的炮彈數不到200發(fā)的概率發(fā)的概率.解解 設設 X k 表示第表示第 k 次轟擊命中的炮彈數次轟擊命中的炮彈數100, 2 , 1,5 . 1)(, 2)(2kXDXEkk10021,XXX相互獨立，相互獨立， 設設 X 表示表示100次轟擊命中的炮彈數次轟擊命中的炮彈數, 則則,225)(,200)(,1001XDXEXXkk(1) 152001801)180(XP(2)15200015200200)2000(XP91. 0)3 .

12、 1 ()3 . 1(15 . 0)33.13()0()225,200( NX近似例例4 售報員在報攤上賣報售報員在報攤上賣報, 已知每個過路人在已知每個過路人在報攤上買報的概率為報攤上買報的概率為1/3. 令令X 是出售了是出售了100份份報時過路人的數目，求報時過路人的數目，求 P (280 X 320).解解 令令Xi 為售出了第為售出了第 i 1 份報紙后到售出第份報紙后到售出第i 份報紙時的過路人數份報紙時的過路人數, i = 1,2,100, 2 , 1,1)(3/11kppkXPpki(幾何分布幾何分布)61)(, 31)(3/123/1pipippXDpXE1001kkXX10

13、021,XXX相互獨立,600)(,300)(XDXE)()600,300(近似NX600300280600300320)320280(XP160020218165. 025878.0中心極限定理的意義中心極限定理的意義 在實際問題中，若某隨機變量可以看在實際問題中，若某隨機變量可以看作是有相互獨立的大量隨機變量綜合作用作是有相互獨立的大量隨機變量綜合作用的結果，每一個因素在總的影響中的作用的結果，每一個因素在總的影響中的作用都很微小，則綜合作用的結果服從正態(tài)分都很微小，則綜合作用的結果服從正態(tài)分布布.練習練習設設,21nXXX );(lim)(1xxnXPAniin 相互獨立且都服從參數為相互獨立且都服從參數為 的泊松分的泊松分布，則下列選項中成立的是（布，則下列選項中成立的是（ ）);(lim)(1xxnnXPBniin );(lim)(1xxnnXPCniin );(lim)(1xxnXPDniin C這一講我們介紹了中心極限定理這一講我們介紹了中心極限定理 在后面的課程中