(完整版)新人教版初一下冊(cè)數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組經(jīng)典例題

1、新人教版初一下冊(cè)數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組經(jīng)典例題經(jīng)典例題透析類型一：列二元一次方程組解決一一行程問(wèn)題01.甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機(jī)同時(shí)由 甲、乙兩地相向而行，1小時(shí)20分相遇.相遇后，拖拉機(jī)繼續(xù)前進(jìn), 汽車在相遇處停留1小時(shí)后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回，在汽車再次由發(fā)半小 時(shí)后追上了拖拉機(jī).這時(shí)，汽車、拖拉機(jī)各自行駛了多少千米？ 總結(jié)升華：根據(jù)題意畫(huà)由示意圖，再根據(jù)路程、時(shí)間和速度的關(guān)系找 生等量關(guān)系，是行程問(wèn)題的常用的解決策略?！咀兪?1甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走 2小 時(shí)，那么他們?cè)谝疑l(fā) 2.5小時(shí)后相遇；如果乙比甲先走 2小時(shí)，那么他們?cè)诩咨l(fā)3小

2、時(shí)后相遇，甲、乙兩人每小時(shí)各走多少千米？【變式21兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用 14小時(shí),逆流用20小時(shí)，求船在靜水中的速度和水流速度。分析：船順流速度=靜水中的速度+水速船逆流速度=靜水中的速度-水速類型二：列二元一次方程組解決一一工程問(wèn)題02. 一家商店要進(jìn)行裝修，若請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工， 8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元；若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做 6天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12天可完成，需付兩組費(fèi)用共3480元，問(wèn)：（1）甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元？（2）已知甲組單獨(dú)做需12天完成，乙組單獨(dú)做需24天完成，單獨(dú)請(qǐng)哪組，商店所付費(fèi)用最少？ 思路點(diǎn)撥：本題有兩層含義，

3、各自隱含兩個(gè)等式，第一層含義：若請(qǐng) 甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元； 第二層含義：若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做6天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12天可完成，需付兩組費(fèi)用共 3480元。設(shè)甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付x元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付 y元，由第一層含義可得方程 8 （x+y） =3520,由第 二層含義可得方程 6x+12y=3480.舉一反三：【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個(gè)裝飾公司合作6周完成需工錢5.2萬(wàn)元；若甲公司單獨(dú)做 4周后，剩下的由乙公司來(lái) 做，還需9周完成，需工錢 4.8萬(wàn)元.若只選一個(gè)公司單獨(dú)完成，從 節(jié)約開(kāi)支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司

4、？請(qǐng)你說(shuō)明理由類型三：列二元一次方程組解決一一商品銷售利潤(rùn)問(wèn)題03.有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤(rùn)率為5%,乙商品的利潤(rùn)率為4%,共可獲利46元。價(jià)格調(diào)整后，甲商品的利潤(rùn)率為4%乙商品的利潤(rùn)率為5%共可獲利44元，則兩件商品的進(jìn)價(jià)分別是多少元？思路點(diǎn)撥：做此題的關(guān)鍵要知道：利潤(rùn)=進(jìn)價(jià)X利潤(rùn)率舉一反三：【變式11 （2011湖南衡陽(yáng)）李大叔去年承包了 10畝地種植甲、乙 兩種蔬菜，共獲利 18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利 2000元，乙種 蔬菜每畝獲利1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？【變式21某商場(chǎng)用36萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品，銷售完后共獲利 6 萬(wàn)元，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：

5、AB進(jìn)價(jià)（元/件）12001000售價(jià)（元/件）13801200（注：獲利=售價(jià)一進(jìn)價(jià)）求該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品各多少件;類型四：列二元一次方程組解決一一銀行儲(chǔ)蓄問(wèn)題04.小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費(fèi)用，現(xiàn)在以兩 種方式在銀行共存了 2000元錢，一種是年利率為2.25 %的教育儲(chǔ)蓄， 另一種是年利率為2.25 %的一年定期存款，一年后可取由2042.75元, 問(wèn)這兩種儲(chǔ)蓄各存了多少錢？（利息所得稅=利息金額X20%教育儲(chǔ)蓄沒(méi)有利息所得稅）總結(jié)升華：我們?cè)诮庖恍┥婕暗叫谐獭⑹杖?、支由、增長(zhǎng)率等的實(shí)際 問(wèn)題時(shí)，有時(shí)候不容易找由其等量關(guān)系，這時(shí)候我們可以借助圖表法 分析具體問(wèn)題中蘊(yùn)涵的

6、數(shù)量關(guān)系，題目中的相等關(guān)系隨之浮現(xiàn)由來(lái).舉一反三：【變式1】李明以兩種形式分別儲(chǔ)蓄了2000元和1000元，一年后全部取由，扣除利息所得稅可得利息43.92元.已知兩種儲(chǔ)蓄年利率的和為3.24%,問(wèn)這兩種儲(chǔ)蓄的年利率各是百分之幾？（注：公民應(yīng)繳 利息所得稅=禾1息金額X 20%）思路點(diǎn)撥：扣稅的情況：本金X年利率X （1-20%） X年數(shù)=利息（其中， 利息所得稅=利息金額X20% .不扣稅時(shí)：利息=本金x年利率x年數(shù).類型五：列二元一次方程組解決一一生產(chǎn)中的配套問(wèn)題05.某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身 3個(gè)或衣袖5只.現(xiàn)計(jì)劃用132米這種布料生產(chǎn)這 批秋裝

7、（不考慮布料的損耗），應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣 袖恰好配套？思路點(diǎn)撥：本題的第一個(gè)相等關(guān)系比較容易得由：衣身、衣袖所用布 料的和為132米；第二個(gè)相等關(guān)系的得由要弄清一整件衣服是怎么樣 配套的，即衣袖的數(shù)量等于衣身的數(shù)量的2倍（注意：別把2倍的關(guān)系寫(xiě)反了）.總結(jié)升華：生產(chǎn)中的配套問(wèn)題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒 底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等.各種配套都有數(shù)量比例，依次設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關(guān)系表示由 來(lái)，從而得到方程組，使問(wèn)題得以解決，確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個(gè)盒身或22個(gè)盒底, 一個(gè)盒身與

8、兩個(gè)盒底配成一個(gè)完整盒子，問(wèn)用多少?gòu)堣F皮制盒身，多少?gòu)堣F皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？思路點(diǎn)撥：兩個(gè)未知數(shù)是制盒身、 盒底的鐵皮張數(shù)，兩個(gè)相等關(guān)系是： 制盒身鐵皮張數(shù)+ 制盒底鐵皮張數(shù)=190;制盒身個(gè)數(shù)的2倍=制盒 底個(gè)數(shù).【變式21某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓 14個(gè)或螺母20個(gè)，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺 栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)生的螺栓和螺母剛好配套。類型六：列二元一次方程組解決一一增長(zhǎng)率問(wèn)題06.某工廠去年的利潤(rùn)（總產(chǎn)值一總支由）為 200萬(wàn)元，今年 總產(chǎn)值比去年增加了 20%總支由比去年減少了 10%今年的利潤(rùn)為 780萬(wàn)元，去

9、年的總產(chǎn)值、總支由各是多少萬(wàn)元？ 思路點(diǎn)撥：設(shè)去年的總產(chǎn)值為 x萬(wàn)元，總支由為y萬(wàn)元，則有總產(chǎn)值（萬(wàn)元）總支由（萬(wàn)元）利潤(rùn)（萬(wàn)元）去年xy200今年120%x90%y780根據(jù)題意知道去年的利潤(rùn)和今年的利潤(rùn)，由利潤(rùn)=總產(chǎn)值總支出和表格里的已知量和未知量，可以列出兩個(gè)等式。舉一反三：【 變式 1】若條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬(wàn)元？【 變式2】某城市現(xiàn)有人口42 萬(wàn)，估計(jì)一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%，農(nóng)村人口增加1.1%，這樣全市人口增加1%，求這個(gè)城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。思路點(diǎn)撥： 由題意得兩個(gè)等式關(guān)系，兩個(gè)相等關(guān)系為：( 1)城鎮(zhèn)人口+農(nóng)村人口=42 萬(wàn)；(2)城鎮(zhèn)人口 x (1

10、+0.8%)+農(nóng)村人口 x ( 1+1.1%) =42x (1+1%類型七：列二元一次方程組解決一一和差倍分問(wèn)題07. （2011年北京豐臺(tái)區(qū)中考一摸試題） “愛(ài)心”帳篷廠和“溫 暖”帳篷廠原計(jì)劃每周生產(chǎn)帳篷共 9千頂，現(xiàn)某地震災(zāi)區(qū)急需帳篷 14 千頂，兩廠決定在一周內(nèi)趕制由這批帳篷. 為此，全體職工加班加點(diǎn)，“愛(ài)心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別達(dá)到了原來(lái)的1.6倍、1.5倍，恰好按時(shí)完成了這項(xiàng)任務(wù).求在趕制帳篷的一周內(nèi)，“愛(ài)心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂？思路點(diǎn)撥：我由已知量和未知量，根據(jù)題意知未知量有兩個(gè)，所以列 兩個(gè)方程，根據(jù)計(jì)劃前后，倍數(shù)關(guān)系由已知量和未知

11、量列由兩個(gè)等式， 即是兩個(gè)方程組成的方程組。舉一反三：【變式11 （2011年北京門頭溝區(qū)中考一模試題 ）“地球一小時(shí)”是世界自然基金會(huì)在 2007年提由的一項(xiàng)倡議.號(hào)召個(gè)人、社區(qū)、企業(yè) 和政府在每年3月最后一個(gè)星期六 20時(shí)30分一21時(shí)30分熄燈一小 時(shí)，旨在通過(guò)一個(gè)人人可為的活動(dòng)，讓全球民眾共同攜手關(guān)注氣候變化，倡導(dǎo)低碳生活.中國(guó)內(nèi)地去年和今年共有119個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)，且今年參加活動(dòng)的城市個(gè)數(shù)比去年的3倍少13個(gè)，問(wèn)中國(guó)內(nèi)地去年、今年分別有多少個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)【 變式 2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每

12、位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多 1 倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？思路點(diǎn)撥： 本題關(guān)鍵之一是：小孩子看游泳帽時(shí) 只看到別人的，沒(méi)看到自己的帽子。關(guān)鍵之二是：兩個(gè)等式，列等式要看到重點(diǎn)語(yǔ)句，第一句：每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多；第二句：每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多 1 倍。找到已知量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個(gè)方程。類型八：列二元一次方程組解決數(shù)字問(wèn)題兩個(gè)兩位數(shù)的和是68,在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫(xiě)較小的兩位數(shù)，得到一個(gè)四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫(xiě)上較小的兩位數(shù)，也得到一個(gè)四位數(shù)，已知前一個(gè)四位數(shù)比后一個(gè)四位數(shù)大2178,求這兩個(gè)兩位數(shù)。思路點(diǎn)撥：設(shè)較大的兩位數(shù)為 x,較小的

13、兩位數(shù)為y。問(wèn)題1:在較大的兩位數(shù)的右邊寫(xiě)上較小的兩位數(shù)，所寫(xiě)的數(shù)可表示為：100x+ y問(wèn)題2：在較大數(shù)的左邊寫(xiě)上較小的數(shù)，所寫(xiě)的數(shù)可表示為：100y+ x舉一反三：【變式11 一個(gè)兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的 3倍，結(jié)果是23; 這個(gè)兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是 5,余數(shù)是1,這個(gè)兩位數(shù) 是多少？【變式21 一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大5,如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來(lái)的兩位數(shù)的一半還少 9,求這個(gè)兩位數(shù)？類型九：列二元一次方程組解決一一濃度問(wèn)題09.現(xiàn)有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是 3 ： 7, 乙種酒精溶液的酒精與水的

14、比是 4 ： 1,今要得到酒精與水的比為 3 : 2的酒精溶液50kg,問(wèn)甲、乙兩種酒精溶液應(yīng)各取多少？ 思路點(diǎn)撥：本題欲求兩個(gè)未知量，可直接設(shè)由兩個(gè)未知數(shù)，然后列由 二元一次方程組解決，題中有以下幾個(gè)相等關(guān)系：（1）甲種酒精溶液與乙種酒精溶液的質(zhì)量之和=50; （2）混合前兩種溶液所含純酒精質(zhì)量之和=混合后的溶液所含純酒精的質(zhì)量；（3）混合前兩種溶液所含水的質(zhì)量之和=混合后溶液所含水的質(zhì)量；（4）混合前兩種溶液所含純酒精之和與水之和的比=混合后溶液所含純酒精與水的 比。總結(jié)升華：此題的第（1）個(gè)相等關(guān)系比較明顯，關(guān)鍵是正確找到另 外一個(gè)相等關(guān)系，解這類問(wèn)題常用的相等關(guān)系是：混合前后所含溶質(zhì)相

15、等或混合前后所含溶劑相等。用它們來(lái)聯(lián)系各量之間的關(guān)系，列方 程組時(shí)就顯得容易多了。列方程組解應(yīng)用題，首先要設(shè)未知數(shù)，多數(shù) 題目可以直接設(shè)未知數(shù)，但并不是千篇一律的，問(wèn)什么就設(shè)什么。有 時(shí)候需要設(shè)間接未知數(shù)，有時(shí)候需要設(shè)輔助未知數(shù)。舉一反三：【 變式 1 】要配濃度是45%的鹽水12 千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少？思路點(diǎn)撥： 做此題的關(guān)鍵是找到配制溶液前后保持不變的量，即相等的量。本題主要有兩個(gè)等量關(guān)系，等量關(guān)系一：配制鹽水前后鹽的含量相等；等量關(guān)系二：配制鹽水前后鹽水的總重量相等 ?！咀兪?】 一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時(shí)，治蟲(chóng)最有效。用多少千克濃度為3

16、5%的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？類型十：列二元一次方程組解決一一幾何問(wèn)題10 .如圖，用8塊相同的長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，每塊 長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)和寬分別是多少？思路點(diǎn)撥：初看這道題目中沒(méi)有提供任何相等關(guān)系，但是題目提供的 圖形隱含著矩形兩條寬相等，兩條長(zhǎng)相等，我們?cè)O(shè)每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng) 為x,寬為y,就可以列由關(guān)于 x、y的二元一次方程組?？偨Y(jié)升華：幾何應(yīng)用題的相等關(guān)系一般隱藏在某些圖形的性質(zhì)中，解 答這類問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意認(rèn)真分析圖形特點(diǎn)，找由圖形的位置關(guān)系和數(shù)量 關(guān)系，再列由方程求解。舉一反三：【變式11用長(zhǎng)48厘米的鐵絲彎成一個(gè)矩形，若將此矩形的長(zhǎng)邊剪掉3厘米，補(bǔ)到較短

17、邊上去，則得到一個(gè)正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？思路點(diǎn)撥：此題隱含兩個(gè)可用的等量關(guān)系，其一長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為鐵絲 的長(zhǎng)48厘米，第二個(gè)等量關(guān)系是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)剪掉3厘米補(bǔ)到短邊去,得到正方形，即長(zhǎng)邊截掉 3厘米等于短邊加上3厘米?！咀兪?1 一塊矩形草坪的長(zhǎng)比寬的2倍多10m它的周長(zhǎng)是132ml則長(zhǎng)和寬分別為多少？類型十一：列二元一次方程組解決一一年齡問(wèn)題Oil.今年父親的年齡是兒子的 5倍，6年后父親的年齡是兒子 的3倍，求現(xiàn)在父親和兒子的年齡各是多少？5倍，6年后父親的思路點(diǎn)撥：解本題的關(guān)鍵是理解“ 6年后”這幾個(gè)字的含義，即 6年 后父子倆都長(zhǎng)了 6歲。今年父親的年齡是兒子的年齡是兒子

18、的3倍，根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列方程總結(jié)升華： 解決年齡問(wèn)題，要注意一點(diǎn)：一個(gè)人的年齡變化（增大、減?。┝?，其他人也一樣增大或減小，并且增大（或減?。┑臍q數(shù)是相同的（相同的時(shí)間內(nèi)）。舉一反三：【變式 1】 今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种? 小李發(fā)現(xiàn)， 12 年之后，他的年齡變成爺爺?shù)娜种?. 試求出今年小李的年齡.思路點(diǎn)撥： 本題的關(guān)鍵是兩句話，第一句：小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?；第二句：他的年齡變成爺爺?shù)娜种弧０盐粗獢?shù)設(shè)出來(lái)，已知量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個(gè)方程。類型十二：列二元一次方程組解決優(yōu)化方案問(wèn)題：12.某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場(chǎng)上直接銷售，每噸利潤(rùn)為1000元；經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤(rùn)可