數(shù)值計算方法41

1、華長生制作1120001)2)12(2)1(21)(kjkkabjafabkTkTnkknknxfCabI0)()()()()(2)0(0bfafabTbadxxfA)(, 3 ,2 , 1k中南大學數(shù)學科學與計算技術學院陳海波第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分華長生制作2120001)2)12(2)1(21)(kjkkabjafabkTkTnkknknxfCabI0)()()()()(2)0(0bfafabTbadxxfA)(, 3 ,2 , 1k第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 3.1 Newton-Cotes公式公式 3.2 復合求積法復合求積法 3.3 Romberg算法算法 3.4* Gauss求

2、積法求積法 3.5 數(shù)值微分數(shù)值微分華長生制作3本章要點公式：近似值的幾個基本求積計算定積分從而導出代替被積函數(shù)本章將用插值多項式badxxfxfxP)(),()(1) 等距節(jié)點下的:Newton-Cotes公式和Romberg公式(2) 數(shù)值微分公式本章作業(yè)1(2), 2(3), 5, 8, 10, 11(2), 14, 16P170.華長生制作4本章應用題:為了計算瑞士國土的面積,首先對地圖作了如下測量:以西向東方向為x軸,由南向北方向為y軸,選擇方便的原點,并將從最西邊界到最東邊界在x軸上的區(qū)間適當?shù)貏澐譃槿舾啥?在每個分點的y方向測出南邊界點和北邊界點的y坐標,數(shù)據(jù)如表(單位mm):x

3、 7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 y1 44 45 47 50 50 38 30 30 34y2 44 59 70 72 93 100 110 110 110 x 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5y1 36 34 41 45 46 43 37 33 28y2 117 118 116 118 118 121 124 121 121x 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0y1 32 65 55 54 52 50

4、66 66 68y2 121 122 116 83 81 82 86 85 68華長生制作502040608010012014016020406080100120140瑞士地圖的外形如圖(比例尺18mm:40km)試由測量數(shù)據(jù)計算瑞士國土的近似面積,并與其精確值41288平方公里比較華長生制作6 3.1 Newton-Cotes公式公式badxxffI)()(對于積分公式有則由的原函數(shù)如果知道LeibnizNewtonxFxf),()(badxxf)()()()(aFbFxFba但是在工程技術和科學研究中,常會見到以下現(xiàn)象:的一些數(shù)值只給出了的解析式根本不存在)(,)()1(xfxf不是初等函

5、數(shù)如求不出來的原函數(shù))(,)()()2(xFxFxf求原函數(shù)較困難的表達式結構復雜,)()3(xf華長生制作7以上這些現(xiàn)象,Newton-Leibniz很難發(fā)揮作用只能建立積分的近似計算方法這類方法很多,但為方便起見,最常用的一種方法是利用插值多項式來構造數(shù)值求積公式,具體步驟如下:上取一組節(jié)點在積分區(qū)間,babxxxan10次插值多項式的作nxf)(nkkknxlxfxL0)()()(為插值基函數(shù)), 1 , 0)(nkxlk不同的插值方法有不同的基函數(shù)華長生制作8有的近似作為被積函數(shù)用,)()(xfxLnbadxxf)(bandxxL)( bankkkdxxlxf0)()(nkbakkdx

6、xlxf0)()(則，若計bakkdxxlA)(badxxffI)()(nkkkxfA0)(這就是數(shù)值求積公式稱為求積系數(shù)其中kA為了使一個求積公式能對更多的積分具有較好的實際計算意義,就要求它對盡可能多的被積函數(shù)都準確地成立)( fIn華長生制作9因此定義代數(shù)精度的概念:定義1. 若求積公式 badxxf)(nkkkxfA0)(即都準確成立次的代數(shù)多項式對任意次數(shù)不超過,)(mixPmi即只要立次多項式卻不能準確成但對,1mbaidxxP)(nkkikxPA0)(mi, 1 , 0bamdxx1nkmkkxA01則稱該求積公式具有m次的代數(shù)精度代數(shù)精度也稱代數(shù)精確度華長生制作10例1. 試確

7、定下面積分公式中的參數(shù)使其代數(shù)精確度盡量高.220)()0()()0(2)(IhffahhffhdxxfIhhdxxI00解:222hI 202232hahhI0)(xxf對于hI 2hhdxxI011)(xxf對于22hhdxxI022)(xxf對于33h3)221(ha2II 令121a華長生制作113022242hahhIhdxxI033)(xxf對于44h44h4023252hahhIhdxxI044)(xxf對于55h65h3 ,2 , 1 , 0)()(2jxIxIjj)()(424xIxI因此所以該積分公式具有3次代數(shù)精確度 華長生制作12一、Newton-Cotes數(shù)值求積公式

8、Newton-Cotes公式是指等距節(jié)點下使用Lagrange插值多項式建立的數(shù)值求積公式,)(baCxf設函數(shù)為插值多項式及余項分別的Lagrangexf)(等份分割為將積分區(qū)間nba,nkkhaxk, 1 ,0,為步長其中nabh各節(jié)點為華長生制作13nkkknxlxfxL0)()()()()!1()()(1)1(xnfxRnnn,baniinxxx01)()(其中kjnjjkjkxxxxxl0)(而)()()(xRxLxfnn因此對于定積分badxxffI)()(banndxxRxL)()(有badxxffI)()(華長生制作14 bankkkdxxlxf0)()(bandxxR)(nk

9、kkxfA0)(bandxxR)(令nkkknxfAfI0)()(banndxxRIR)()(badxxfI)()()()(nnIRfIfI即有bakkdxxlA)(其中dxxxxxbakjnjjkj 0n階Newton-Cotes求積公式Newton-Cotes公式的余項(誤差)()(fIfIn華長生制作15bakkdxxlA)(dxxxxxbakjnjjkj 0:的計算kA注意是等距節(jié)點thax假設,bax由, 0nt可知kAdxxxxxbakjnjjkj 0dthhjkhjtnkjnj 00)()(dtjtknkhnkjnjkn 00)()!( !)1(華長生制作16dtjtknknab

10、nkjnjkn 00)()!( !)1()()()(nkkCabAnkkknxfAfI0)()(nkknkxfCab0)()()(所以Newton-Cotes公式化為系數(shù)稱為CotesCnk)(思考使用n次Lagrange插值多項式的Newton-Cotes公式至少具有n次代數(shù)精度,并且n為偶數(shù)時至少具有n+1次代數(shù)精度,試以n=1,2,4為例說明該結果華長生制作17二、低階Newton-Cotes公式及其余項在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4時的公式是最常用也最重要三個公式,稱為低階公式1.梯形(trapezia)公式及其余項abhbxaxn, 110則取dtt10)1()1(

11、0CCotes系數(shù)為21dtt10)1(1C21求積公式為華長生制作18)(1fI10)1()()(kkkxfCab)()(210 xfxfab)()(2bfafab)(1fI即上式稱為梯形求積公式,也稱兩點公式，記為-0.500.511.500.511.522.533.544.5)()(2)(bfafab)(1fIT 梯形公式的余項為)()(1IRTRbadxxR)(1華長生制作19dxbxaxfTRba )(2)()(dxbxaxfba )(2)(,ba第二積分中值定理6)(2)(3abf )()!1()()(1)1(xnfxRnnn)(12)(3fab 2312)(|)(|MabTR|)

12、(|max,2xfMbax 梯形(trapezia)公式具有1次代數(shù)精度故華長生制作202.Simpson公式及其余項2,2,2210abhbxabxaxn則取Cotes系數(shù)為dtttC20)2(0)2)(1(4161dtttC20)2(1)2(2164dtttC20)2(2)1(4161求積公式為2I20)2()()(kkkxfCab華長生制作21)(61)(64)(61)(210 xfxfxfab)()2(4)(6bfbafafab)(2fI-0.500.511.500.511.522.533.544.5上式稱為Simpson求積公式，也稱三點公式或拋物線公式記為)(2fIS Simpso

13、n公式的余項為)()(2IRSRbadxxR)(2)()2(180)4(4fababSimpson公式具有3次代數(shù)精度華長生制作223.Cotes公式及其余項4,4 , 1 , 0, 4abhkkhaxnk則取Cotes系數(shù)為dtttttC)4)(3( )2)(1(! 44140)4(0907dtttttC)4)(3( )2(! 34140)4(19032dtttttC)4)(3( )1(! 2! 24140)4(29012dtttttC)4)(2( )1(! 34140)4(39032dtttttC)3)(2( )1(! 44140)4(4907華長生制作23求積公式為)(4fI40)4()

14、()(kkkxfCab)(907)(9032)(9012)(9032)(907)(43210 xfxfxfxfxfab)(7)(32)(12)(32)(79043210 xfxfxfxfxfab上式稱為Cotes求積公式，也稱五點公式記為)(4fIC Cotes公式的余項為)()(4IRCRbadxxR)(4)()4(945)(2)6(6fababCotes公式具有5次代數(shù)精度華長生制作24三、Newton-Cotes公式的穩(wěn)定性(舍入誤差)dtjtknknCnkjnjknnk 00)()()!( !)1(考察Cotes系數(shù)無關與函數(shù)的劃分有關的節(jié)點只與積分區(qū)間)(,xfxbaj因此用Newt

15、on-Cotes公式計算積分的舍入誤差主要由的計算引起函數(shù)值)(kxf其值可以精確給定華長生制作25響的舍入誤差對公式的影只需討論)(kxf)()()(,)(計算值的近似值作為而以為精確值假設kkkxfxfxf為誤差)()(kkkxfxfnInkknkxfCab0)()()(記)(計算值的近似值為nI而理論值為nInkknkxfCab0)()()(的誤差為與nnIInnII nkkknkxfxfCab0)()()()(華長生制作26nnII nkknkCab0)()(nkknkCab0)()(nnII nknkCab0)()(|max|k有若,0,)(nkCnknnII nknkCab0)()(nknkCab0)(1)(nkknkxgCab0)()()()1)(xgbadxxg)(badx)(ab 10)(nknkC性質(zhì)：華長生制作27即nnII )(ab Newton-Cotes公式的舍入誤差只是函數(shù)值誤差的倍)(ab