拋物線及其性質(zhì)知識點(diǎn)大全

1、拋物線及其性質(zhì)1 .拋物線定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線.2.拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)：圖形4參數(shù)p幾何意義參數(shù)p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p越大，開口越闊開口方向右左上下標(biāo)準(zhǔn)方程2y 2px(p o)2y 2px(p 0)2X 2py(p 0)2X2py(p 0)焦點(diǎn)位置X正X負(fù)Y正Y負(fù)焦點(diǎn)坐標(biāo)(f.o)(£,o)2(0昴(0, £)2準(zhǔn)線方程pX2Px 2Py 2Py 2范圍x 0, y Rx 0, y Ry 0, x Ry 0, x R對稱軸X軸X軸Y軸Y軸頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)離心率e 1通徑2p焦半徑A(Xi,yJAF x<|

2、2AFX-| 2AF y1 2AFy1 i焦點(diǎn)弦長AB|(X1 X2) p(X1 X2) p(y1 y2)p(y1 y2) p焦點(diǎn)弦長AB 的補(bǔ)充A(Xi,yi)B(X2, y2)以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線 丨相切若AB的傾斜角為，|ab|2psin2若AB的傾斜角為，則AB2p2 cos2P2X1X2y y2p411AF BFAB2AF BF AF ?BF AF ?BF p3 拋物線 寸 2 px( p 0)的幾何性質(zhì)：(1) 范圍：因?yàn)閜>0,由方程可知x> 0,所以拋物線在 y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時，|y|也增大,說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.(2) 對稱性：對稱軸要看

3、一次項(xiàng)，符號決定開口方向.頂點(diǎn)(o, 0),離心率：e 1焦點(diǎn)2 22 焦點(diǎn)弦：拋物線 y 2px(p 0)的焦點(diǎn)弦 AB，A(xyj , B(X2,y2),則 | AB | Xi X2 p .弦長|AB|=x 1+X2+P，當(dāng)Xi=X2時，通徑最短為 2p。4.焦點(diǎn)弦的相關(guān)性質(zhì):焦點(diǎn)弦AB , A(xi，yi), B(x2,y2)，焦點(diǎn)F(E,0)22(1)若AB是拋物線y2 2pXp 0)的焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)，且A,%) , B(x2, y2)，則：xp2 ,42yy2p。若AB是拋物線 寸2p"p 0)的焦點(diǎn)弦，且直線 AB的傾斜角為a,貝U AB已知直線AB是過拋物線y22

4、px(p0)焦點(diǎn)F ,AF1BFAF BFAF ?BF2 P (aM 0)。 sin 2AB 2AF ?BF p焦點(diǎn)弦中通徑最短長為 2p。通徑：過焦點(diǎn)垂直于焦點(diǎn)所在的軸的焦點(diǎn)弦叫做通徑.(5)兩個相切：以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切過拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線,以兩垂足為直徑端點(diǎn)的圓與焦點(diǎn)弦相切。5 弦長公式：A(x1, y1) , B( x2, y2)是拋物線上兩點(diǎn)，則IAB| 拆 1 xT石1 yp" 心 疋 | X1 X2 |1 占 | y1 y2 |6.直線與拋物線的位置關(guān)系34消 y 得：(1) 當(dāng)k=0時，直線I與拋物線的對稱軸平行，有一個交點(diǎn);(2) 當(dāng)k工

5、0時， > 0,直線I與拋物線相交，兩個不同交點(diǎn)； =0,直線I與拋物線相切，一個切點(diǎn)； v 0,直線I與拋物線相離，無公共點(diǎn)。(3)若直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)，則直線與拋物線必相切嗎？(不一定)7.關(guān)于直線與拋物線的位置關(guān)系問題常用處理方法直線I : y kx b 拋物線聯(lián)立方程法：y kx b 2 222k x 2(kb p)x b 0y 2px，(P 0)設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1, y1) , B(x2, y2)，則有 0 ,以及為x2, x1x2，還可進(jìn)一步求出yiy2kx1 b kx2 b k(x1 x2)2 22b， yiy2 (kxi b)(kx2 b) k X1X2 kb(

6、xi X2) b在涉及弦長，中點(diǎn)，對稱，面積等問題時，常用此法，比如 a.相交弦AB的弦長AB Vi k2 x1x2| vi 疋(為 x2)2 4XrX21 k2 a或 ABy2y2)24yiy2i k2b.中點(diǎn) M (x°, y°), X。-， y°2點(diǎn)差法：yi y22設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A(Xi, yi)， B(X2,y2)，代入拋物線方程，得2小yi2 pxi2小y22 px2將兩式相減，可得(yi y2)(yi 財 2p(xi X2)y y22pXi x yi y2a.在涉及斜率問題時,kAB2py1y2b在涉及中占軌跡問題時設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M（xo，y。）,

7、 y1X1y22p2pp>7?X2y1 y2 2yo yo即kAByo同理，對于拋物線X22py(p0），若直線l與拋物線相父于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（Xo,y°）是弦AB的中點(diǎn)，則有kABX x22p2XoXo2pp（注意能用這個公式的條件：1）直線與拋物線有兩個不同的交點(diǎn)，2）直線的斜率存在, 且不等于零）【經(jīng)典例題】（1）拋物線一一二次曲線的和諧線橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種：到一個定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的所有點(diǎn)的集合其離心率e=1，這使它既與橢圓、雙曲線相依相伴，又鼎立在圓錐曲線之中.由于這個美好的1,既使它享盡和諧之美，又生出多少華麗的篇章PF為直徑的

8、圓與y軸（ ）A相交B.相切C.相離【解析】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為F衛(wèi),0 ，準(zhǔn)線是2pl : x 上作PFU l于H,交y軸于Q那么PF PH2且 QH OF中位線，MN-作MNUy軸于N則MN是梯形PQOF的2PF為直徑的圓與-OF PQ2y軸相切，選B.丄PH-|PF .故以2D.位置由P確定【例1】P為拋物線y2 2px上任一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則以6【評注】相似的問題對于橢圓和雙曲線來說，其結(jié)論則 分別是相離或相交的#(2) 焦點(diǎn)弦?？汲Ｐ碌牧咙c(diǎn)弦有關(guān)拋物線的試題，許多都與它的焦點(diǎn)弦有關(guān)理解并掌握這個焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，對破解這些試題是大有幫助的【例2】過拋物線y 2px p0的焦點(diǎn)F作直線交拋物

9、線于A x1,y1 ,B為，y2兩點(diǎn)，求證:(1) AB x1 x2 p( 2)1 |af【證明】(1)如圖設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為 I，作AA I A,BBi I于Bi,貝y AF AA 為號，BF BBi X2 -.兩式相加即得：2AB x, x2 p(2) 當(dāng)AB丄x軸時，有1BFAFBFP,1AF1BF2 、成立;P當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)焦點(diǎn)弦 AB的方程為:y k x代入拋物線方程:22k2 X子2px化簡得:k2x2%24方程(1)之二根為X1,X2,.xx21_ 丄 _1_ _1AF IBF |AAJ |bb1x2N % P2ppXtX2x1 x21 22124X2 px1x2pX1X

10、22P_4X1X2故不論弦AB與x軸是否垂直，恒有1AF1BF2成立P(3) 切線一一拋物線與函數(shù)有緣有關(guān)拋物線的許多試題，又與它的切線有關(guān)基本功理解并掌握拋物線的切線方程，是解題者不可或缺的【例3】證明：過拋物線 y22px上一點(diǎn)M(xo, yo)的切線方程是:yoy=p (x+xo)【證明】對方程y2 2px兩邊取導(dǎo)數(shù)：2y y 2 p， y 衛(wèi)切線的斜率y2y°ypx px0 y°ppx x.由點(diǎn)斜式方程：y y°x x0y。y。Q y0 2 pxg,代入()1即得:y 0y=p (x+x0)8#（4）定點(diǎn)與定值拋物線埋在深處的寶藏卻容易為人疏忽的定點(diǎn)和定值

11、.掌握它們，在解題中常會有意想不拋物線中存在許多不不易發(fā)現(xiàn)， 到的收獲.例如：1.一動圓的圓心在拋物線2y8x上，且動圓恒與直線 x 2 0相切，則此動圓必過定點(diǎn)A 4,0B. 2,0C. 0,2D. 0, 2顯然.本題是例1的翻版，該圓必過拋物線的焦點(diǎn)，選B.2.拋物線y22 px的通徑長為2p；#3.設(shè)拋物線y22 px過焦點(diǎn)的弦兩端分別為Ax., y1, Bx2, y2，那么：yyp2以下再舉一例【例4】設(shè)拋物線y2 2px的焦點(diǎn)弦AB在其準(zhǔn)線上的射影是 AB1,證明：以 AB為直徑的圓必過定點(diǎn)【分析】假定這條焦點(diǎn)弦就是拋物線的通徑，那么AB=AB=2p而A1B1與AB的距離為p，可知該

12、圓必過拋物線的焦點(diǎn).由此我們猜想：一切這樣的圓都過拋物線的焦點(diǎn) .以下我們對AB的一般情形給于證 明.【證明】如圖設(shè)焦點(diǎn)兩端分別為a x1, Yj , b x?, y2 ，那么：y1 y2p2 |CA| |CB |加 p2.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交 x軸于C,那么CF p.2AFBi中 CFCA CB 故 AFB 90 .這就說明：以 AiBi為直徑的圓必過該拋物線的焦點(diǎn). 通法特法妙法（1）解析法為對稱問題解困排難解析幾何是用代數(shù)的方法去研究幾何，所以它能解決純幾何方法不易解決的幾何問題 （如對稱問題等）.【例5】（10.四川文科卷.10題）已知拋物線 y=-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對稱的相

13、異兩點(diǎn)Y+A、B，則|AB|等于（A.3B.4C.3 2D.4 . 2【分析】直線AB必與直線x+y=O垂直，且線段AB的中點(diǎn)必在直線x+y=0上，因得解法如下.【解析】t點(diǎn)A、B關(guān)于直線 x+y=0對稱，設(shè)直線 AB的方程為：y X m.由y x m 22 x x m 3 01y x2 3設(shè)方程(1)之兩根為xi, X2，則為 x21 .設(shè)AB的中點(diǎn)為 M( xo, yo),則x0 為一x21.代入x+y=0 : y。.故有M-1,-.2 2 2 2 2從而m y x 1.直線AB的方程為：y x 1方程(1)成為：x2 x 2 0 .解得：x 2,1，從而 y 1,2，故得：A (-2 ,

14、 -1 ), B (1, 2) . AB 3逅，選 C.(2)幾何法為解析法添彩揚(yáng)威雖然解析法使幾何學(xué)得到長足的發(fā)展，但伴之而來的卻是難以避免的繁雜計算，這又使得許多考生對解析幾何習(xí)題望而生畏.針對這種現(xiàn)狀，人們研究出多種使計算量大幅度減少的優(yōu)秀方法，其中最有 成效的就是幾何法.【例6】(11.全國1卷.11題)拋物線y2 4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為I，經(jīng)過F且斜率為.3的直線與C. 4.3)D.拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A , AK丄I ,垂足為K,則AK F的面積(【解析】如圖直線 AF的斜率為 3時/ AFX=60P 2,且/ KFM=60 , KF4, S akf 3 44 3 選 C

15、.4 AFK為正三角形.設(shè)準(zhǔn)線|交x軸于M貝y FM【評注】(1)平面幾何知識：邊長為 a的正三角形的面積用公式S丄3 a2計算.4.雖不是很(2)本題如果用解析法， 需先列方程組求點(diǎn) A的坐標(biāo)，再計算正三角形的邊長和面積難，但決沒有如上的幾何法簡單(3) 定義法一一追本求真的簡單一著許多解析幾何習(xí)題咋看起來很難.但如果返樸歸真，用最原始的定義去做，反而特別簡單【例7】(07.湖北卷.7題)雙曲線2 2Fi和F2 ;拋物線C2的線為Ci 221(a 0, b 0)的左準(zhǔn)線為I，左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為a bF1F2MF1，焦點(diǎn)為F2；C1與C2的一個交點(diǎn)為M，則-等于()MF1mf211A .1B

16、 . 1C.D .-22【分析】 這道題如果用解析法去做，計算會特別繁雜，而平面幾何知識又一時用不上，那么就從 最原始的定義方面去尋找出路吧如圖，我們先做必要的準(zhǔn)備工作：設(shè)雙曲線的半焦距c,離心率為e,作MH I于H，令MF1r1, MF2r2.v點(diǎn)m在拋物線上,MHMF2MF1MF2§ e,2這就是說:阿|IMF2I的實(shí)質(zhì)是離心率e.x其次,IF1F2IIMF,與離心率e有什么關(guān)系？注意到:F1F2MF12c e 2ae r1r21.1這樣，最后的答案就自然浮出水面了:由于IF1F2I IMF1I | MF1 | MF2 |(4)三角法一一本身也是一種解析三角學(xué)蘊(yùn)藏著豐富的解題資源

17、.利用三角手段，可以比較容易地將異名異角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名 同角的三角函數(shù)，然后根據(jù)各種三角關(guān)系實(shí)施“九九歸一”一一達(dá)到解題目的因此，在解析幾何解題中，恰當(dāng)?shù)匾肴琴Y源，常可以擺脫困境，簡化計算【例8】(09.重慶文科.21題)如圖，傾斜角為a的直線經(jīng)過物線y2 8x的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于 A、B兩點(diǎn)。(I)求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線I的方程；(H)若a為銳角，作線段 AB的垂直平分線 m交x軸于點(diǎn)P,證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值。【解析】(I)焦點(diǎn)F (2, 0),準(zhǔn)線l;x 2 .拋(n)直線 AB: y tan x 21 .118yi6ta n 0設(shè)方程(2

18、)之二根為yi, y2,則yiy2yiy28tani6設(shè)AB中點(diǎn)為M x0, y0，則y。yiAB的垂直平分線方程是:令 y=0，則 x 4cot26,Xoy2 cot yo4cot故FPOPOF44cot tan22 4cot 2cot X24cot 2 .有 P 4cot26, O4cot26 2 4 cot221 4cos2 2于是 |FP|-|FP|cos2a= 4csc i cos2 4csc22sin 8，故為定值.(5) 消去法一一合理減負(fù)的常用方法避免解析幾何中的繁雜運(yùn)算，是革新、創(chuàng)新的永恒課題 不求，它類似兵法上所說的“不戰(zhàn)而屈人之兵”.其中最值得推薦的優(yōu)秀方法之一便是設(shè)而【例9】 是否存在同時滿足下列兩條件的直線| :(1) l與拋物線y28x有兩個不同的交點(diǎn) A和B;( 2)線段AB被直線li :x+5y-5=0垂直平分.若不存在，說明理由，若存在,求出直線 I的方程.【解析】假定在拋物線2y 8x上存在這樣的兩點(diǎn)A Xi，yi，B X2,丫2則有:yi2 8xi y