微積分之美 -

1、微積分之美-科學美學論文【摘要】：數(shù)學是美的。而數(shù)學中的微積分，以其簡單性、對稱性、實用性、奇異性和創(chuàng)造性展現(xiàn)著它獨特的，無與倫比的美！【關(guān)鍵詞】：微積分；簡單性；對稱性；實用性；奇異性；創(chuàng)造性微積分之美一：簡單性之美 1.1 邏輯簡單性 陳大柔老師在科學美學中提到了科學理論建構(gòu)的邏輯簡單性法則。邏輯簡單性法則被普遍應用于科學發(fā)現(xiàn)之中。它指的是“科學體系中所包含的彼此獨立的假設(shè)或公理最少”。愛因斯坦也曾指出：“科學的目的，一方面是盡可能完備地理解全部感覺經(jīng)驗之間的關(guān)系，另一方面是通過最小數(shù)的原始概念和原始關(guān)系的使用來達到這個目的（在世界圖像中盡可能地尋求邏輯的統(tǒng)一，即邏輯元素最少）?！崩鐝V義

2、相對論就是一個很好的例子，它看似復雜深奧，讓人難以理解，但是歸根結(jié)底，它的基礎(chǔ)假設(shè)只有相對性原理和光速恒定原理兩條，它便是一個符合邏輯簡單性美的物理學理論。同樣，我們可以看到，盡管微積分千變?nèi)f化，有看似深奧的極限思想，有微分，有積分，但是它的基本原理卻非常簡潔。即增量無限趨近于零時，割線無限趨近于切線，曲線無限趨近于直線，從而“以直代曲”，以線性化的方法解決非線性問題。再精簡地說，就是“以直代曲”。這簡單的基本原理不禁讓我們驚嘆微積分所具有的邏輯簡單性之美！1.2 定理簡單性 微積分基本定理是微積分中非常重要的一個定理，作用巨大。但是它毫不復雜，而是非常精簡地揭示了積分與求導的某種內(nèi)在聯(lián)系，還

3、將不定積分與定積分聯(lián)系了起來。還有費馬定理，拉格朗日定理等重要定理，都是形式異常簡單，卻又作用巨大。 二：對稱性之美陳大柔老師在科學美學中還提到了對稱性形式美法則。無論在藝術(shù)領(lǐng)域還是在科學領(lǐng)域，對稱美形式法則都發(fā)揮著巨大的作用，而在科學審美活動中，科學家、尤其是物理學家，經(jīng)常依據(jù)對稱性作為理論美的評價標準。在他們開來，一個理論越對稱，就越美。如法拉第揭示電磁對稱，狄拉克預言的電荷共軛對稱，愛因斯坦相對論揭示的空間與時間對稱，以及基本粒子物理學中的物質(zhì)與反物質(zhì)對稱等，在一定程度上，也都符合對稱性形式美法則。 同樣，我認為，微積分中也存在著對稱美，其中最突出的就是“微分”與“積分”。正如我們有了加

4、法，就會自然地想到減法，有了乘法，就會自然地想到除法那樣，人們往往會在積分時想到微分，在微分時想到積分?；蛟S簡單地把微分和積分比作一對互逆運算有些不大貼切，但是微分與積分確實存在著某種內(nèi)在的不可抗拒的對稱性。而它們，就好比兩個相反的工具。微分猶如顯微鏡，在局部的很小的范圍內(nèi)研究問題，化曲為直。而積分更像是望遠鏡，被人們用來看待整體的一個工具。沒有微分，積分無從談起，也就不會有微積分巨大的作用；沒有積分，微分也就只是局限于研究一些問題的局部情況，同樣不會有微積分巨大的作用了。所以，微分和積分相輔相成，而它們內(nèi)在的對稱性，也讓微積分具有獨特的對稱美！ 三：實用性之美如果一門學科僅僅只是有一些華麗的

5、式子和晦澀難懂的理論，卻毫無實際用處，那么這門學科很難說它是美的。微積分，從它誕生之日起，就注定了它作為研究自然科學的有力武器的地位。有了微積分，人類才有能力把握運動和過程。有了微積分，就有了工業(yè)革命，有了大工業(yè)生產(chǎn)，也就有了現(xiàn)代化的社會。航天飛機、宇宙飛船等現(xiàn)代化交通工具都是微積分的直接作用結(jié)果。在微積分的幫助下，萬有引力定律發(fā)現(xiàn)了，牛頓用同一個公式來描述太陽對行星的作用，以及地球?qū)λ浇矬w的作用。從最小的塵埃到最遙遠的天體的運動行為，宇宙中沒有哪一個角落不在這些定律所包含的范圍內(nèi)。這是人類認識史上的一次空前的飛躍，不僅具有偉大的科學意義，而且具有深遠的社會影響。它強有力地證明了宇宙的數(shù)學

6、設(shè)計，摧毀了籠罩在天體上的神秘主義、迷信和神學。一場空前巨大的、席卷近代世界的科學運動開始了。毫無疑問，微積分的發(fā)現(xiàn)是世界近代科學的開端。 四：奇異性之美人們提起數(shù)學的時候通常會說“奇妙的數(shù)學”，數(shù)學的學習和解題中也有一些非常規(guī)的奇妙的解法等等。這些就是我們通常說的數(shù)學的奇異性。徐利治教授說“奇異是一種美，奇異到極度更是一種美。”奇異性是數(shù)學美的一個重要特征，它反映了顯示世界中非常規(guī)現(xiàn)象的一個側(cè)面，也是數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的重要美學因素。數(shù)學領(lǐng)域中的一些新的觀念的產(chǎn)生，就是來自對奇異美的追求。奇異性常常和數(shù)學中的反例緊密相聯(lián)，反例的產(chǎn)生則往往導致人們的認識能夠深化和數(shù)學理論的重大發(fā)展。例如人們以為一切函

7、數(shù)都是連續(xù)的，連續(xù)性不被人們所注目，當有間斷點的函數(shù)出現(xiàn)，以至于有著名的狄里克萊函數(shù)：D（x）=出現(xiàn)時，由于它在實數(shù)軸上處處有定義，但卻處處間斷，這種奇異性的發(fā)現(xiàn)使人們對連續(xù)性的美妙之處看得更清楚了。同樣，當魏爾斯特拉斯給出處處連續(xù)而處處不可微的函數(shù)時，人們對可微的概念便有了更深刻的認識。微積分同樣有奇異性，正是貝克萊悖論的奇異性。當時微積分在初創(chuàng)時期還缺乏清晰的、嚴謹?shù)倪壿嫽A(chǔ)。當時牛頓對導數(shù)的定義為：當x 增長為x+x時，x 的立方（記為x3）成為（x+x）的立方（記為(x+x）3)。即x3+3 x2*x+ 3x *x2+x3。x 與x3 的增量分別為x和3* x2*x+ 3x *x2+x

8、3。這兩個增量與x 的增量的比分別為1 和3 x2+ 3x *x +x 2，然后讓增量消失，則它們的最后比為1 與3 x2。我們知道這個結(jié)果是正確的，但是推導過程確實存在著明顯的偷換假設(shè)的錯誤：在論證的前一部分假設(shè)x是不為0 的，而在論證的后一部分又被取為0。那么x到底是不是0 呢？這就是著名的貝克萊悖論。這種在微積分的基礎(chǔ)上所引發(fā)的危機在數(shù)學史上稱為第二次數(shù)學危機。之后，一批杰出的數(shù)學家積極為微積分的奠基工作而努力，其中包括了達朗貝爾、拉格朗日、柯西等。最終，微積分的理論基礎(chǔ)得以完善。而微積分，也因此愈發(fā)顯現(xiàn)其奇異性之美！ 五：創(chuàng)造性之美微積分的思維方法是前所未有的！是創(chuàng)造性的!它帶給我們的

9、還有一種無與倫比的創(chuàng)造性之美。微積分的思維方法是從研究非均勻變化一類問題開始形成的。我們知道，即時速度和即時加速度這兩個重要的物理概念，是從運動時間的差值無限縮短并最終趨于0的過程中得到的。以即時速度為例，勻變速直線運動的物體，其速度在不同位置都不是一樣的，我們要知道物體在某點的即時速度 ，只孤立的考察這一點是不行的，必須從物體在這一點前后的運動中考察。我們讓時間從t0變到t，位移相應的從s(t0) 變到 s(t)，借助勻速直線運動的速度公式：速度 = 路程 / 時間，求得物體在 t0 至 t 時間內(nèi)的平均速度： v=s(t)-s(t0) / (t-t0) = s/t。這個平均速度是

10、假定在該段時間內(nèi)速度不變化而得到的，它當然不是物體t0 時刻的即時速度。但是如果我們設(shè)想時刻t動起來，無限接近時刻t0 ，即讓t變得無限小，從而s亦變得無限小，用這個極短時間內(nèi)的平均速度去代替t0 時刻的即時速度v，誤差將變得很小，而且t 越小，近似程度就越高。當 t無限接近并且最終變回到t0 ，即運動時間差值無限縮短并且最終消失為0時， 平均速度便發(fā)生質(zhì)變轉(zhuǎn)化為t0 時刻的即時速度。這正是微積分的創(chuàng)造性之處，也是常量數(shù)學難以理解的問題。當t趨于0的過程中，s亦趨于0，00在0不能做除數(shù)的數(shù)學中，是沒有意義的，面對上述問題中的0/0這個怪物，科學家們曾長期不能正視，徘徊不前。恩格斯在自然辯證法中指出：“運動本身就是矛盾；甚至簡單的機械的位移之所以能夠?qū)崿F(xiàn)，也只是因為物體在同一瞬間，既在一個地方，又在另一個地方，既在同一個地方，又不在同一個地方。這種矛盾的連續(xù)產(chǎn)生和同時解決正好就是運動”，“單純的量的變化到一定點時就轉(zhuǎn)化為質(zhì)的區(qū)別”。當t 由單純的量的變化消失為0，使得依賴于它的s也消失為0時, 質(zhì)的變化發(fā)生了。那就是在出現(xiàn)0/0的過程中，比值s/t卻能最終被保存在這個0/0中。把消失為0 的t和s 分別用dt和ds來表示，成為v = ds / dt，就是即時的速度，而ds = v(t) dt便是微分。 由此可