2009年上海高考數(shù)學(xué)理科卷帶詳解

1、2009年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、填空題（共14小題，每小題4分，滿分56分）1若復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=1i（i是虛數(shù)單位），則其共軛復(fù)數(shù)=_【測(cè)量目標(biāo)】復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.【考查方式】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)等式，求解一個(gè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).【難易程度】中等【參考答案】i【試題解析】設(shè)zabi，則（abi）(1+i) =1i，即ab（ab）i1i，（步驟1）由，解得a0，b1，所以zi，i，故答案為i（步驟2）2已知集合A=x|x1，B=x|xa，且AB=R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【測(cè)量目標(biāo)】集合的基本運(yùn)算.【考查方式】給出兩個(gè)集合，已知集合間的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)軸法求解集合中未知參數(shù)的取

2、值范圍【難易程度】容易【參考答案】a1【試題解析】因?yàn)锳B=R，畫數(shù)軸可知，實(shí)數(shù)a必須在點(diǎn)1上或在1的左邊，所以，有a1.第2題圖 3若行列式中，元素4的代數(shù)余子式大于0，則x滿足的條件是_【測(cè)量目標(biāo)】矩陣初步.【考查方式】根據(jù)代數(shù)余子式的概念，列出關(guān)于x的不等式求出取值范圍.【難易程度】中等【參考答案】x【試題解析】依題意，得： (1)2(9x24)0，解得：，故答案為：x.4某算法的程序框如下圖所示，則輸出量y與輸入量x滿足的關(guān)系式是_ 第4題圖 【測(cè)量目標(biāo)】選擇結(jié)構(gòu)程序框圖.【考查方式】給出程序框圖，按照程序框圖的執(zhí)行流程分析循環(huán)過程，判斷輸入值與輸出值之間的關(guān)系.【難易程度】容易【參考

3、答案】【試題解析】根據(jù)流程圖所示的順序，程序的作用是分段函數(shù)的函數(shù)值其中輸出量y與輸入量x滿足的關(guān)系式是，故答案為：.5如圖，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2，高為4，則異面直線BD1與AD所成角的大小是_.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）第5題圖 【測(cè)量目標(biāo)】異面直線所成的角.【考查方式】給出正四棱柱的邊長(zhǎng)及高，判斷正四棱柱中兩條異面直線所成角的值.【難易程度】容易【參考答案】arctan【試題解析】先畫出圖形將AD平移到BC，則D1BC為異面直線BD1與AD所成角，（步驟1）BC=2，D1C=，tanD1BC=，D1BC=arctan，故答案為arctan（步驟2）第5題圖 6函

4、數(shù)y=2cos2x+sin2x的最小值是_【測(cè)量目標(biāo)】三角函數(shù)的最值.【考查方式】給出三角函數(shù)，通過化簡(jiǎn)求解函數(shù)的最小值.【難易程度】中等【參考答案】1【試題解析】=1+（步驟1）當(dāng)=2k，有最小值1，故答案為1.（步驟2）7某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學(xué)期望E_（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）【測(cè)量目標(biāo)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差【考查方式】給出數(shù)學(xué)實(shí)例，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件寫出分布列求出期望【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】用隨機(jī)變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，可取0，1，2，當(dāng)=0時(shí)，表示沒有選到女生；當(dāng)=1時(shí)，表

5、示選到一個(gè)女生；當(dāng)=2時(shí)，表示選到2個(gè)女生，（步驟1）P（=0）=.P（=1）=.P（=2）=（步驟2）E=0=故答案為：.（步驟3）8已知三個(gè)球的半徑R1，R2，R3滿足R1+2R2=3R3，則它們的表面積S1，S2，S3，滿足的等量關(guān)系是_【測(cè)量目標(biāo)】球的表面積.【考查方式】給出三個(gè)球的半徑之間的關(guān)系，根據(jù)面積公式推出表面積之間的關(guān)系.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】因?yàn)?4R12，所以，同理：，（步驟1）即R1=，R2=，R3=，由S1+S2=3R3得，故答案為：.（步驟2）9已知F1、F2是橢圓C：（ab0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且若PF1F2的面積為9，則b=_【測(cè)量

6、目標(biāo)】橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).【考查方式】給出橢圓上的一點(diǎn)與橢圓兩交點(diǎn)之間的位置關(guān)系，及它們所形成的三角形面積求解橢圓方程中b的值.【難易程度】中等【參考答案】3【試題解析】依題意，有，可得即故有.10在極坐標(biāo)系中，由三條直線=0，cos+sin=1圍成圖形的面積等于_【測(cè)量目標(biāo)】坐標(biāo)系與參數(shù)方程.【考查方式】給出直線的參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為普通方程后求解直線與坐標(biāo)軸所形成的三角形面積.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】化為普通方程，分別為：y0，yx，xy1，畫出三條直線的圖像如右圖，（步驟1）可求得A（，），B（1,0），三角形AOB的面積為：（步驟2）第10題圖 11當(dāng)時(shí)，不等式sinxkx

7、恒成立則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_【測(cè)量目標(biāo)】不等式恒成立問題.【考查方式】給出x在一定區(qū)間內(nèi)，不等式恒成立的關(guān)系式，利用圖像得到k的范圍.【難易程度】中等【參考答案】k2【試題解析】設(shè)m=sinx，n=kx，x0，根據(jù)題意畫圖得：mn恒成立即要m的圖像要在n圖像的上面，當(dāng)x=時(shí)即x=時(shí)相等，所以此時(shí)k=2，所以k2，故答案為k2.第11題圖 12已知函數(shù)f（x）=sin x+tan x，項(xiàng)數(shù)為27的等差數(shù)列an滿足an（,），且公差d0，若f（a1）+f（a2）+f（a27）=0，則當(dāng)k=_時(shí)，f（ak）=0【測(cè)量目標(biāo)】函數(shù)的奇偶性.【考查方式】利用奇函數(shù)的性質(zhì)及等差數(shù)列的性質(zhì)求解綜合性問題.【難

8、易程度】中等【參考答案】14【試題解析】因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=sinx+tanx是奇函數(shù)，所以圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，圖像過原點(diǎn)（步驟1）而等差數(shù)列an有27項(xiàng)，an（,）若f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a27）=0，則必有f（a14）=0，所以k=14故答案為：14.（步驟2）13某地街道呈現(xiàn)東西、南北向的網(wǎng)格狀，相鄰街距都為1兩街道相交的點(diǎn)稱為格點(diǎn)若以互相垂直的兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點(diǎn)（2，2），（3，1），（3，4），（2，3），（4，5），（6，6）為報(bào)刊零售點(diǎn)請(qǐng)確定一個(gè)格點(diǎn)（除零售點(diǎn)外）_為發(fā)行站，使6個(gè)零售點(diǎn)沿街道到發(fā)行站之間路程的和最短【測(cè)量目標(biāo)】?jī)牲c(diǎn)間距離公式的

9、應(yīng)用.【考查方式】利用兩點(diǎn)間的距離公式判斷實(shí)際問題中的最短路線問題.【難易程度】中等【參考答案】（3，3）【試題解析】設(shè)發(fā)行站的位置為（x，y），零售點(diǎn)到發(fā)行站的距離為z，則z=2|x+2|+|y2|+2|x3|+|y1|+|y4|+|y3|+|x4|+|y5|+|x6|+|y6|，（步驟1）這六個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的平均值為，（步驟2）記A（2，），畫圖可知發(fā)行站的位置應(yīng)該在點(diǎn)A附近，代入附近的點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行比較可知，在（3，3）處z取得最小值.故答案為（3，3）（步驟3）第13題圖 14將函數(shù)（x0，6）的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角（0），得到曲線C若對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角，曲線C都是一個(gè)函數(shù)的圖像

10、，則的最大值為_【測(cè)量目標(biāo)】函數(shù)圖像的性質(zhì).【考查方式】給出曲線函數(shù)解析式，通過圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，判斷旋轉(zhuǎn)角與函數(shù)關(guān)系式之間的關(guān)系.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】先畫出函數(shù)（x0，6）的圖像這是一個(gè)圓弧，圓心為M（3，2）由圖可知當(dāng)此圓弧繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角大于MAB時(shí)，曲線C都不是一個(gè)函數(shù)的圖像MAB=故答案為：.第14題圖 二、選擇題（共4小題，每小題4分，滿分16分）15 “2a2”是“實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+ax+1=0有虛根”的（ ）A必要不充分條件 B充分不必要條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件【測(cè)量目標(biāo)】充分、必要條件.【考查方式】給出兩個(gè)命題判斷它們之間的關(guān)系

11、【難易程度】容易【參考答案】A【試題解析】實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+ax+1=0有虛根，=a240，解得2a2，（步驟1）“2a2”是“2a2”的必要不充分條件，（步驟2）故選A16若事件E與F相互獨(dú)立，且P（E）=P（F）=，則P（EF）的值等于（）A0 B C D【測(cè)量目標(biāo)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【考查方式】給出相互獨(dú)立事件的概率，由相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式P（EF）=P（E）P（F），求解.【難易程度】容易【參考答案】B【試題解析】故選B17有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為甲型H1 N1流感在一段時(shí)間沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過15人”根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁

12、四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是 （）A甲地：總體均值為6，中位數(shù)為8 B乙地：總體均值為5，總體方差為12C丙地：中位數(shù)為5，眾數(shù)為6 D丁地：總體均值為3，總體方差大于0【測(cè)量目標(biāo)】用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征.【考查方式】運(yùn)用均值、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的數(shù)值特征對(duì)整體數(shù)字特征進(jìn)行估計(jì)【難易程度】容易【參考答案】B【試題解析】假設(shè)連續(xù)10天，每天新增疑似病例的人數(shù)分別為x1，x2，x3，x10并設(shè)有一天超過15人，不妨設(shè)第一天為16人，根據(jù)計(jì)算方差公式有s2= （165）2+（x25）2+（x35）2+（x105）212，說(shuō)明乙地連續(xù)10天，每天新增疑似病例的人數(shù)都不超過15人故選

13、B18過圓C：（x1）2+（y1）2=1的圓心，作直線分別交x、y正半軸于點(diǎn)A、B，AOB被圓分成四部分（如圖），若這四部分圖形面積滿足SI +SIV= SII + S則直線AB有 （ ）A0條 B1條 C2條 D3條第18題圖 【測(cè)量目標(biāo)】直線與圓的位置關(guān)系.【考查方式】給出已知圓方程，討論過圓心把圓分割的面積成等量關(guān)系的直線的條數(shù).【難易程度】中等【參考答案】B【試題解析】由已知，得：SIVSII=SSI，由圖形可知第II，IV部分的面積分別為S正方形OECFS扇形ECF=1 和S扇形ECF= ，所以，SIVSII為定值，即SSI為定值，（步驟1）當(dāng)直線AB繞著圓心C移動(dòng)時(shí)，只可能有一個(gè)位

14、置符合題意，即直線AB只有一條（步驟2）故選B三、解答題（共5小題，滿分78分）19如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=BC=AB=2，ABBC，求二面角的大小第19題圖 【測(cè)量目標(biāo)】向量在幾何中的應(yīng)用；二面角.【考查方式】給出直三棱柱棱長(zhǎng)的長(zhǎng)度及其之間的關(guān)系，求解直三棱柱中二面角的大小.【難易程度】中等【試題解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系則A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），(步驟1)設(shè)AC的中點(diǎn)為M，BMAC，BMCC1BM平面A1C1C，即=（1，1，0）是平面A1C1C的一個(gè)法向量（步驟2）設(shè)平面A1B1C的一個(gè)法向

15、量是=（x，y，z）=（2，2，2），=（2，0，0），（步驟3）令z=1，解得x=0，y=1=（0，1，1），（步驟4）設(shè)法向量與的夾角為，二面角B1A1CC1的大小為，顯然為銳角cos=|cos|=，解得：=二面角B1A1CC1的大小為（步驟5）第19題圖 20有時(shí)可用函數(shù)f（x）=，描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)的掌握程度其中x表示某學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)次數(shù)（xN*），f（x）表示對(duì)該學(xué)科知識(shí)的掌握程度，正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識(shí)有關(guān)（1）證明：當(dāng)x7時(shí)，掌握程度的增長(zhǎng)量f（x+1）f（x）總是下降；（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)科甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為（115，121，（121，127，（127，133當(dāng)學(xué)習(xí)某

16、學(xué)科知識(shí)6次時(shí)，掌握程度是85%，請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué)科【測(cè)量目標(biāo)】分段函數(shù)【考查方式】求解分段函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用問題.【難易程度】容易【試題解析】證明：（1）當(dāng)x7時(shí)，（步驟1）而當(dāng)x7時(shí)，函數(shù)y=（x3）（x4）單調(diào)遞增，且（x3）（x4）0故函數(shù)f（x+1）f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x7時(shí)，掌握程度的增長(zhǎng)量f（x+1）f（x）總是下降（步驟2）（2）由題意可知0.1+15ln=0.85（步驟3）整理得解得，由此可知，該學(xué)科是乙學(xué)科.（步驟4）21已知雙曲線，設(shè)直線l過點(diǎn).（1）當(dāng)直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時(shí)，求直線l的方程及l(fā)與m的距離；（2）證明：當(dāng)k時(shí)，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，

17、使之到直線l的距離為【測(cè)量目標(biāo)】雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系.【考查方式】給出雙曲線方程及直線l與雙曲線的位置關(guān)系，求解直線方程及直線與雙曲線漸近線的距離，探討雙曲線上是否存在一點(diǎn)使得在直線斜率一定的情況下，點(diǎn)到直線的距離為一定值.【難易程度】中等【試題解析】（1）雙曲線C的漸近線，即直線l的方程（步驟1）直線l與m的距離（步驟2）（2）設(shè)過原點(diǎn)且平行于l的直線b：kxy=0，則直線l與b的距離，（步驟3）當(dāng)又雙曲線C的漸近線為，（步驟4）雙曲線C的右支在直線b的右下方，雙曲線C的右支上的任意點(diǎn)到直線l的距離大于故在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q（x0，y0）到到直線l的距離為（步

18、驟5）22已知函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)定義：若對(duì)給定的實(shí)數(shù)a（a0），函數(shù)y=f（x+a）與互為反函數(shù)，則稱y=f（x）滿足“a和性質(zhì)”；若函數(shù)y=f（ax）與互為反函數(shù)，則稱y=f（x）滿足“a積性質(zhì)”（1）判斷函數(shù)g（x）=x2+1（x0）是否滿足“1和性質(zhì)”，并說(shuō)明理由；（2）求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù)；（3）設(shè)函數(shù)y=f（x）（x0）對(duì)任何a0，滿足“a積性質(zhì)”求y=f（x）的表達(dá)式【測(cè)量目標(biāo)】反函數(shù).【考查方式】給出一種關(guān)于函數(shù)的新定義，討論新定義的具體應(yīng)用.【難易程度】較難【試題解析】（1）函數(shù)g（x）=x2+1（x0）的反函數(shù)是，（步驟1）而g（x+1）=（x+1）2+1（

19、x1），其反函數(shù)為，故函數(shù)g（x）=x2+1（x0）不滿足“1和性質(zhì)”（步驟2）（2）設(shè)函數(shù)f（x）=kx+b（xR）滿足“2和性質(zhì)”，k0，（步驟3）而 f（x+2）=k（x+2）+b（xR），得反函數(shù)，（步驟4）由“2和性質(zhì)”定義可知 =，對(duì)（xR）恒成立k=1，bR，即所求一次函數(shù)f（x）=x+b（bR）（步驟5）（3）設(shè)a0，x00，且點(diǎn)（x0，y0）在y=f（ax）圖像上，則（y0，x0）在函數(shù)圖像上，故，可得 ay0=f（x0）=af（ax0），（步驟6）令 ax0=x，則，即（步驟7）綜上所述，此時(shí)，其反函數(shù)是，而，故y=f（ax）與互為反函數(shù)（步驟8）23已知an是公差為d的等差數(shù)列，bn是公比為q的等比數(shù)列（1）