全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案

1、2003年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案  2003年“TRULY®信利杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題  參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)     一、選擇題（每小題6分，滿分30分）  1D  ì4x-3y-6z=0,ìx=3z,由í 解得í 代入即得.  x+2y-7z=0,y=2z.îî  2D  因為20×3<72.5<20×4，所

2、以根據(jù)題意，可知需付郵費0.8×4=3.2（元）.  3C  如圖所示，B+BMN+E+G=360°，F(xiàn)NM+F+A+C=360°， 而BMN +FNM =D180°，所以  A+B+C+D+E+F+G=540°.     A  G   A B D  C O F  M  C   N  B  

3、;   4D  顯然AB是四條線段中最長的，故AB=9或AB=x。 （1）若AB=9，當(dāng)CD=x時，92=x2+(1+5)2，x=3  當(dāng)CD=5時，92當(dāng)CD=1時，92  （2）若AB=x，當(dāng)CD=9時，x2  當(dāng)CD=5時，x2  =5+(x+1)=1+(x+5)=9+(1+5)=5+(1+9)  +(5+9)  2222  22222  5  ； . 

4、0;，x，x，x，x，x  =2-1； =45-5=3； ； .  =55=  當(dāng)CD=1時，x2=12  故x可取值的個數(shù)為6個.  5B  設(shè)最后一排有k個人，共有n排，那么從后往前各排的人數(shù)分別為k，k+1，k+2，k+（n1），由題意可知kn     +  n(n-1)  2  1  =100，即n2k+(n-1)=200.  因

5、為k，n都是正整數(shù)，且n3，所以n<2k+（n1），且n與2k+（n1）的奇偶性不同. 將200分解質(zhì)因數(shù)，可知n=5或n=8. 當(dāng)n=5時，k=18；當(dāng)n=8時，k=9. 共有兩種不同方案.  6-  321x+2  .  +  1x  2  -4  -  1x-2  =  -4x  2  -4  + 

6、; 1x  2  -4  =  -3x  2  -4    (1+  -33)-4  2  =-  32  。  77  因為4  =x+  1y  =x+  11-  1z &#

7、160;=x+  zz-1  =x+  373-  -1x  1x-1  =x+  7x-34x-3  ，  所以 解得 從而 于是  84(4x-3)=x(4x-3)+7x-3，  x=z=  3273  .  -321x´=2573´-5323=53  ，y 

8、60;=1-  1z  =1-  35  =  25  .  xyz=  =1.  根據(jù)圖中、的規(guī)律，可知圖中三角形的個數(shù)為 1+4+3×4+3296  2  ´4  +33´4=1+4+12+36+108=161（個）.     .  如圖，延長AD交地面于E，過D作

9、DFCE于F.  因為DCF=45°，A=60°，CD=4m，所以CF=DF=2=2  6  2  m， EF=DFtan60°  （m）.  ABBE  =tan30  o  因為  =  33  ，所以AB  =BE´  33  =62 

10、0;（m）.  10.4.     2  由于二次函數(shù)的圖象過點A（1，4），點  ìb=-a-1, íîc=3-2a.ìa-b+c=4,B（2，1），所以í 4a+2b+c=1,î解得  因為二次函數(shù)圖象與x軸有兩個不同的交點，所以D  (-a-1)-4a(3-2a)>0，即(9a-1)(a-1)>0，由于2=b2-4ac>0， >1， a是正整數(shù)，故a所以a2. 又因為

11、b+c=3a+24，且當(dāng)a=2，b=3，c=1時，滿足 題意，故b+c的最大值為4.  三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）  11如圖所示，已知AB是O的直徑，BC  是O的切線，OC平行于弦AD，過點D作  DEAB于點E，連結(jié)AC，與DE交于點P.  問EP與PD是否相等？證明你的結(jié)論.  解：DP=PE. 證明如下：  因為AB是O的直徑，BC是切線，  所以ABBC.  由RtAEPRtABC，得

12、  EP  BC=AE  AB   . （6分） 又ADOC，所以DAE=COB，于是RtAEDRtOBC. 故ED  BC=AE  OB=AE  1  2AB=2AEAB （12分）  由，得 ED=2EP.  所以 DP=PE. （15分）  12某人租用一輛汽車由A城前往B城，沿途可能經(jīng)過的城市以及通過兩城市之間所需的時間（單位：小時）如圖所示. 若汽車行駛的平均速度為8

13、0千米/小時，而汽車每行駛1千米需要的平均費用為1.2元. 試指出此人從A城出發(fā)到B城的最短路線（要有推理過程），并求出所需費用最少為多少元？  解：從A城出發(fā)到達B城的路線分成如下兩類：  3  （1）從A城出發(fā)到達B城，經(jīng)過O城. 因為從A城到O城所需最短時間為26小時，從O城到B城所需最短時間為22小時. 所以，此類路線所需 最短時間為26+22=48（小時）. （5分）  （2）從A城出發(fā)到達B城，不經(jīng)過O城. 這時從A城到達B城，必定經(jīng)過C，D，E城或F，G，H城，所需時間至少為49小時. （10分）&#

14、160; 綜上，從A城到達B城所需的最短時間為48 小時，所走的路線為： AFOEB. （12分） 所需的費用最少為：  80×48×1.2=4608（元）（14分） 答：此人從A城到B城最短路線是AFOEB，所需的費用最少為4608元 （15分）  13B如圖所示，在ABC中，ACB=90°.  （1）當(dāng)點D在斜邊AB內(nèi)部時，求證：  CD  2     -BD  2  2&

15、#160; BC  =  AD-BD  AB  .  （2）當(dāng)點D與點A重合時，第（1）小題中的等式是否存在？請說明理由. （3）當(dāng)點D在BA的延長線上時，第（1）小題中的等式是否存在？請說明理由.  解：（1）作DEBC，垂足為E. 由勾股定理得  CD  2  2  2  2  2  2    

16、 CE  -BD  2  =(CE  2  +DE)-(BE+DE)  =CECD  -BE  2  =(CE-BE)BC.  2     B  D  A  所以  -BD  2  BC  = 

17、60;CE-BEBCCEBC  =  =ADAB  CEBC,  -  BEBC=  . .  因為DEAC，所以 故  BEBC  BDAB  CD  2  -BD  2  2  BC  =  ADAB  -  BDA

18、B  =  AD-BD  AB  . （10分）  （2）當(dāng)點D與點A重合時，第（1）小題中的等式仍然成立。此時有  AD=0，CD=AC，BD=AB.  所以  CD  2  -BD  2  2  BC  =  AC  2  -AB  2

19、  2  BC=  =  -BCBC  2  2  =-1，  AD-BD  AB  -ABAB  =-1.  從而第（1）小題中的等式成立. （13分） （3）當(dāng)點D在BA的延長線上時，第（1）小題中的等式不成立. 作DEBC，交BC的延長線于點E，則  CD  2     -

20、BD  2  2  BC=-  =  CE  2  -BE  2  2  E CBC  CE+BEBC  =  2  =-1-ABAB  2  2CEBC     ,  B而  AD-BD 

21、 AB  =-1,  A  D  所以  CD-BD  2  BC  ¹  AD-BD  AB  . （15分）  說明第（3）小題只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清 者不扣分）.  14B已知實數(shù)a，b，c滿足：a+b+c=2，abc=4.  （1）求a，b，c中的最大者的最小值； （

22、2）求a  +b+c  的最小值.  解：（1）不妨設(shè)a是a，b，c中的最大者，即ab，ac，由題設(shè)知a>0， 且b+c=2-a，bc  =4a  .  -(2-a)x+  2  于是b，c是一元二次方程x2  4a  =0  的兩實根，  D=(2-a)-4´  4a  0，  a

23、-4a  32  +4a-16  2  (a0，  +4)(a-4)  0. 所以a4. （8分）  又當(dāng)a=4，b=c=-1時，滿足題意.  故a，b，c中最大者的最小值為4. （10分）  （2）因為abc>0，所以a，b，c為全大于0或一正二負(fù).  1）若a，b，c均大于0，則由（1）知，a，b，c中的最大者不小于4，這與a+b+c=2矛盾.  2）若a，b，c為或

24、一正二負(fù)，設(shè)a>0，b<0，c<0，則  a+b+c=a-b-c=a-(2-a)=2a-2  ，  由（1）知a4，故2a-26，當(dāng)a=4，b=c=-1時，滿足題設(shè)條件且使得不等式等號成立。故a  13A如圖所示，O的直徑的長是關(guān)于x的二次方程x2  +2(k-2)x+k=0  +b+c  的最小值為6. （15分）  （k  是整數(shù)）的最大整數(shù)根. P是O外一點，過點P作O的切線PA和割線PBC，

25、其中A為切點，點B，C是直線PBC與O的交點. 若PA，PB，PC的長都是正整數(shù)，且PB的長不是合數(shù)，求  PA  2  +PB  2  +PC  2  的值.  +2(k-2)x+k=0     解：設(shè)方程x2的兩個根  P   x1+x2=4-2kx1x2=k  ，   .   由題設(shè)及知，x1

26、，x2都是整數(shù). 從，消去k，得  2x1x2+x1+x2=4， (2x1+1)(2x2+1)=9  .  由上式知，x2  £4  ，且當(dāng)k=0時，x2  =4  ，故最大的整數(shù)根為4.  于是O的直徑為4，所以BC4.  因為BC=PCPB為正整數(shù)，所以BC=1，2，3或4. （6分） 連結(jié)AB，AC，因為PAB=PCA，所以PABPCA，  PAPB  =

27、60; PCPA  。  分）  故  PA  2  =PB(PB+BC) （10  2  （1）當(dāng)BC=1時，由得，PA  PB  2  =PB  2  +PB  ，于是  <PA  2  <(PB+1)  2

28、60; ，矛盾！  2  （2）當(dāng)BC=2時，由得，PA  PB  2  =PB  2  +2PB  ，于是  <PA  2  <(PB+1)  2  ，矛盾！  2  （3）當(dāng)BC=3時，由得，PA  =PB  2  

29、;+3PB  ，于是  ，  (PA-PB)(PA+PB)=3PB  由于PB不是合數(shù)，結(jié)合PA  -PB<PA+PB  ，故只可能  ìPA-PB=1,ìPA-PB=3,ìPA-PB=PB,  ííí  îPA+PB=3PB,îPA+PB=PB,îPA+PB=3,  解得 此時  

30、ìPA=2,  í  PB=1.îPA  2  +PB  2  +PC  2  =21  2  .  2  （4）當(dāng)BC=4，由得，PA  (PB+1)  2  =PB  2  +4PB  ，于是  2  <PB  2  +4PB=PA<(PB+2)  ，矛盾.  綜上所述  PA  2