數(shù)學(xué)附錄PPT課件

1、數(shù)學(xué)附錄 連續(xù)函數(shù)：定義在歐氏空間子集X上的實(shí)值函數(shù)f叫做在某點(diǎn)x X連續(xù)的，如果對于每一個(gè)收斂于x的序列xkk=1 X，相應(yīng)的函數(shù)值序列f(xk)k=1 都收斂于f(x)。如果函數(shù)f在X上每一個(gè)點(diǎn)都連續(xù)，就稱f在X上連續(xù)。 定義在緊致集X上的每一個(gè)連續(xù)函數(shù)都在X中取得最大值和最小值。第2頁/共33頁第1頁/共33頁數(shù)學(xué)附錄 凸集：A set Xn is said to be a convex set if for any two points x and x” in X and any real number 0, 1, the point x=(1-)x+x” is contained i

2、n X. The intersection of any number of convex set is also convex. . For any m points x1,xm in n, and any 1,m in 0, 1 such that ii=1, x=iixi is said to be a convex combination of x1,xm. 第3頁/共33頁第2頁/共33頁數(shù)學(xué)附錄 9 凹函數(shù)： Assume that a real-valued function f is defined on a convex set Xn. f is said to be con

3、cave if for any x and x” in X, and any real number (0, 1), it holds that (1- )f(x)+ f(x”) f(1- )x+ x”) f is said to be strictly concave if the sign “ ” in the above inequality is replaced by “”. 第5頁/共33頁第4頁/共33頁數(shù)學(xué)附錄 11 擬凹函數(shù)：A function f defined on a convex set Xn is said to be quasi-concave, if for

4、any x and x” in X and any 0, 1: f(1- )x+ x”) min f(x),f(x”) f is said to be strictly quasi-convex, if the sign “ ” in the above inequality is replaced with “”. 7. Any concave (strictly concave) function is quasi-concave (strictly quasi-concave), but the converse is not true.第6頁/共33頁第5頁/共33頁數(shù)學(xué)附錄 12 擬

5、凸函數(shù)：A function f defined on a convex set Xn is said to be quasi-convx, if for any x and x” in X and any 0, 1: f(1- )x+ x”) min f(x),f(x”) f is said to be strictly quasi-convex, if the sign “ ” in the above inequality is replaced with “”. . Any convex (strictly convex) function is quasi-convex (stric

6、tly quasi-convex), but the converse is not true.第7頁/共33頁第6頁/共33頁數(shù)學(xué)附錄 14 等值集，上值集，下值集： Assume that f be defined on Xn, x0 X, and f(x0) = y0. The level set, the superior set, and the inferior set for level y0 are, respectively, the sets: L(y0) = x X: f(x)=y0; S(y0) = x X: f(x) y0; I(y0) = x X: f(x) y0第

7、8頁/共33頁第7頁/共33頁數(shù)學(xué)附錄 A necessary and sufficient condition for a function f defined on a convex set Xn to be quasi-concave (resp. quas-convex) is that all the superior sets S(y) (resp. all the inferior sets I(y) are convex; f is strictly quasi-concave (resp. strictly quas-convex) if all S(y) (resp. I(

8、y) are convex, and for any two points x and x” in any S(y), (resp. I(y), the points on the line segment x=(1- )x+ x”: 0, 1 expect possibly the two endpoints are all contained in Int(S(y) (resp. I(y).第9頁/共33頁第8頁/共33頁數(shù)學(xué)附錄 15 二元凹函數(shù)和擬凹函數(shù)的判別： Assume that f(x,y) is defined on a convex set X and f is C2. T

9、hen f is concave if f xx 0. A necessary and sufficient condition for a function f defined on a convex set Xn to be quasi-concave is that all the superior sets S(y) are convex; f is strictly quasi-concave if all the superior sets S(y) are convex, and for any two points x and x” in any superior set S(

10、y), the points on the line segment x=(1- )x+ x”: 0, 1 expect possibly the two endpoints are all contained in Int(S(y).第10頁/共33頁第9頁/共33頁數(shù)學(xué)附錄 1 6 凸 規(guī) 劃凸 規(guī) 劃 : A s s u m e t h a t f a n d g a r e differentiable functions defined on a convex set Xn and non-decreasing in each variable. Assume that f is q

11、uasi-concave and g is quasi-convex, and that f(O)=g(O)=0. Then both of the primal and the dual convex programming problems (where c0 and k0 are constants): max f(x), S.T. g(x)k, have optimal solutions. The solution of the primal (resp.the dual) problem is a tangent point of g(x)=c (resp. f(x)=k) wit

12、h a level set of f (resp. g). 第11頁/共33頁第10頁/共33頁偏好和效用偏好和效用 消費(fèi)集：考慮一個(gè)有消費(fèi)集：考慮一個(gè)有M種商品的經(jīng)濟(jì)。一個(gè)各分量非負(fù)的種商品的經(jīng)濟(jì)。一個(gè)各分量非負(fù)的M-維向量維向量x=(x1,.,xM)就稱為一個(gè)商品向量，這個(gè)向量的第就稱為一個(gè)商品向量，這個(gè)向量的第m個(gè)分量個(gè)分量xm表示表示第第m種商品的量。一個(gè)消費(fèi)者種商品的量。一個(gè)消費(fèi)者i意欲消費(fèi)的商品向量的全體意欲消費(fèi)的商品向量的全體Xi構(gòu)成他構(gòu)成他的消費(fèi)集。在一般情況下，我們認(rèn)為的消費(fèi)集。在一般情況下，我們認(rèn)為Xi=RM+。 容許消費(fèi)集：對消費(fèi)者容許消費(fèi)集：對消費(fèi)者i來說，一個(gè)商品向量

13、稱為容許的，如果他的來說，一個(gè)商品向量稱為容許的，如果他的收入足夠支付購買這個(gè)商品向量所需的花費(fèi)。對于給定的價(jià)格向量收入足夠支付購買這個(gè)商品向量所需的花費(fèi)。對于給定的價(jià)格向量p和給定的收入和給定的收入I, 消費(fèi)者消費(fèi)者i的所有容許商品向量構(gòu)成他的容許消費(fèi)集，的所有容許商品向量構(gòu)成他的容許消費(fèi)集，記為記為Bi(p,I)。第12頁/共33頁第11頁/共33頁偏好和效用偏好和效用 下面我們討論消費(fèi)者下面我們討論消費(fèi)者i的消費(fèi)決策。為方便計(jì)我們略去他的消費(fèi)集和容許的消費(fèi)決策。為方便計(jì)我們略去他的消費(fèi)集和容許消費(fèi)集的上標(biāo)。定義在消費(fèi)集的上標(biāo)。定義在X上的一個(gè)偏好就是一個(gè)二元關(guān)系上的一個(gè)偏好就是一個(gè)二元關(guān)

14、系 : “x y”是指是指“x至少和至少和y一樣好一樣好”。(如果有如果有x y但沒有但沒有y x，就記，就記x y，稱，稱x比比y好。好。如果有如果有x y同時(shí)有同時(shí)有y x，就記，就記x y，稱，稱x和和y無區(qū)別。無區(qū)別。) 這個(gè)二元關(guān)系應(yīng)該這個(gè)二元關(guān)系應(yīng)該滿足：滿足： 完備性：對于完備性：對于X中任何兩個(gè)消費(fèi)向量中任何兩個(gè)消費(fèi)向量x, y，或者，或者“x y”與與“y x”至少一至少一個(gè)成立；個(gè)成立； 傳遞性：如果傳遞性：如果x y和和y z同時(shí)成立，那么同時(shí)成立，那么x z； 連續(xù)性：如果對序列連續(xù)性：如果對序列xn中的每一個(gè)中的每一個(gè)xn都有都有xn y而且而且 lim xn=x ，

15、那么，那么x y。第13頁/共33頁第12頁/共33頁偏好和效用偏好和效用 單調(diào)性：（單調(diào)性：（1）嚴(yán)格增性指）嚴(yán)格增性指 xy x y ，注意這蘊(yùn)含了，注意這蘊(yùn)含了x y x y；（；（2）強(qiáng)嚴(yán)格增性指強(qiáng)嚴(yán)格增性指 x y并且并且xy x y。 凸性：凸性： （1）弱凸性指）弱凸性指 x y tx+(1-t)y y 對任何實(shí)數(shù)對任何實(shí)數(shù)t 0, 1；（；（2）強(qiáng)）強(qiáng)凸性指凸性指 x y & xy tx+(1-t)y y 對任何實(shí)數(shù)對任何實(shí)數(shù)t (0, 1)。第14頁/共33頁第13頁/共33頁偏好和效用偏好和效用 效用函數(shù)：設(shè)效用函數(shù)：設(shè) 為消費(fèi)者為消費(fèi)者i i的偏好；的偏好；稱定義

16、在稱定義在Xi=RH上的函數(shù)上的函數(shù)u表示表示i的偏好，如果對任的偏好，如果對任意意x,y RM，u(x) u(y)x y y。注意，上式蘊(yùn)含了。注意，上式蘊(yùn)含了u(x)u(y)x y y 以及以及u(x)=u(y)x y y。u u又稱為又稱為i i的效用函數(shù)。的效用函數(shù)。 效用函數(shù)的存在性定理：如果消費(fèi)者效用函數(shù)的存在性定理：如果消費(fèi)者i i的偏好的偏好 滿足完備性，傳遞性，連續(xù)性和嚴(yán)格增滿足完備性，傳遞性，連續(xù)性和嚴(yán)格增性公理，那么存在連續(xù)嚴(yán)格增的效用函數(shù)性公理，那么存在連續(xù)嚴(yán)格增的效用函數(shù)u u表示表示i i的偏好。又如果的偏好。又如果u u是是i i的一個(gè)效用函數(shù)，的一個(gè)效用函數(shù)，那

17、么對任何嚴(yán)格增的一元實(shí)函數(shù)那么對任何嚴(yán)格增的一元實(shí)函數(shù)f f，f(u(f(u()也是也是i i的效用函數(shù)。的效用函數(shù)。 定義在定義在RM +上的函數(shù)上的函數(shù)f稱為擬凹的，如果對于稱為擬凹的，如果對于x,y RM+ (xy) 和和t (0, 1)，f(1-t)x+ty) minf(x),f(y)；如果上面的不等式是嚴(yán)格不等式，則稱；如果上面的不等式是嚴(yán)格不等式，則稱f是嚴(yán)格擬凹的。是嚴(yán)格擬凹的。 偏好的凸性和效用函數(shù)的凹性：如果偏好的凸性和效用函數(shù)的凹性：如果u u是表示是表示 的效用函數(shù)，那么的效用函數(shù)，那么u u是（嚴(yán)格）擬凹的當(dāng)是（嚴(yán)格）擬凹的當(dāng)且僅當(dāng)且僅當(dāng) 是（嚴(yán)格）凸的。是（嚴(yán)格）凸的

18、。第15頁/共33頁第14頁/共33頁偏好和效用偏好和效用 函數(shù)擬凹性的判別定理：假設(shè)函數(shù)函數(shù)擬凹性的判別定理：假設(shè)函數(shù)f在在RM+上有二次連續(xù)偏導(dǎo)上有二次連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么（數(shù)，那么（1）如果）如果f在在RH+上擬凹，則在上擬凹，則在RM+上它的所有加上它的所有加邊邊Hessian主子式主子式Br0 (r=1,M)。（。（2）如果在）如果在RM+上每上每點(diǎn)點(diǎn)f的所有加邊的所有加邊Hessian主子式主子式Br0那么那么f在在RM+上嚴(yán)格凹。上嚴(yán)格凹。 Hessian矩陣的定義見下一幻燈片。矩陣的定義見下一幻燈片。第18頁/共33頁第17頁/共33頁偏好和效用偏好和效用第19頁/共33頁第18頁

19、/共33頁偏好和效用偏好和效用 從幾何上看，一個(gè)消費(fèi)者的偏好如果滿足上述五個(gè)公理，它就可以從幾何上看，一個(gè)消費(fèi)者的偏好如果滿足上述五個(gè)公理，它就可以用其效用函數(shù)的那一組等值曲面即無差別曲面（曲線）表示；籠統(tǒng)用其效用函數(shù)的那一組等值曲面即無差別曲面（曲線）表示；籠統(tǒng)地說，離開坐標(biāo)原點(diǎn)越遠(yuǎn)的曲面上的消費(fèi)向量產(chǎn)生的效用越大。消地說，離開坐標(biāo)原點(diǎn)越遠(yuǎn)的曲面上的消費(fèi)向量產(chǎn)生的效用越大。消費(fèi)者的決策問題通常是在容許消費(fèi)集中選取效用最大化的消費(fèi)向量；費(fèi)者的決策問題通常是在容許消費(fèi)集中選取效用最大化的消費(fèi)向量；在大多數(shù)情況下，這個(gè)最優(yōu)消費(fèi)向量對應(yīng)于預(yù)算約束平面（直線）在大多數(shù)情況下，這個(gè)最優(yōu)消費(fèi)向量對應(yīng)于預(yù)算

20、約束平面（直線）和某個(gè)無差別曲面的切點(diǎn)。和某個(gè)無差別曲面的切點(diǎn)。 在本課程中最為常見的效用函數(shù)包括在本課程中最為常見的效用函數(shù)包括Cobb-Douglas和和CES效用函效用函數(shù)，它們都具有擬凹性。數(shù)，它們都具有擬凹性。 與偏好和效用相關(guān)的另外一些數(shù)學(xué)知識和重要結(jié)論可見于數(shù)學(xué)附錄與偏好和效用相關(guān)的另外一些數(shù)學(xué)知識和重要結(jié)論可見于數(shù)學(xué)附錄1中。中。第20頁/共33頁第19頁/共33頁消費(fèi)者決策 Marshallian需求：在初級微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的討論中，通常把消費(fèi)者的需求視為給定的；在實(shí)際情況中，消費(fèi)者是根據(jù)商品的價(jià)格向量p和自己的收入I選取消費(fèi)向量以求效用最大化。由此推導(dǎo)出來的需求x(p,I)就叫做

21、Marshallian需求。在一般情況下（指偏好滿足五個(gè)公理而具有非嚴(yán)格凸性），x(p,I)是個(gè)非空凸閉集；進(jìn)一步，在偏好嚴(yán)格凸時(shí)，x(p,I)是單點(diǎn)集，這時(shí)Marshallian需求是價(jià)格和收入的連續(xù)函數(shù)。第21頁/共33頁第20頁/共33頁消費(fèi)者決策 消費(fèi)者的決策是個(gè)凸規(guī)劃；無差別曲面的法向量是(u1,uM)，預(yù)算約束平面 px=I 的法向量就是p=(p1,pM)；因此在最優(yōu)解處有實(shí)數(shù) 使得(u1,uM) = (p1,pM)。由此得u1/p1=uM/pM。就是說，對每一種商品而言，邊際效用和相應(yīng)的價(jià)格成比例。 設(shè)想在無差別曲面u(x1,xM)=const上讓xm ,xn 變化而其他商品的消

22、費(fèi)量保持不變，容易導(dǎo)出商品i對商品j的邊際替代率 MRSmn -dxn/dxm=pm/pn。第22頁/共33頁第21頁/共33頁消費(fèi)者決策 簡例1 小陳媽媽每天給小陳的伙食開支是I，用來買食物(f)和飲料(d)，它們的價(jià)格分別用pf, pd表示。假設(shè)小陳的效用函數(shù)是u=(fd)1/2。試推導(dǎo)小陳的Marshallian需求。第23頁/共33頁第22頁/共33頁消費(fèi)者決策 簡例1（續(xù)）小陳的決策是個(gè)凸規(guī)劃；他的預(yù)算約束直線方程是pff+pdd=I，其法向量為(pf,pd)；他的無差別曲線方程為u=const，法向量為(uf,ud)。在最優(yōu)決策點(diǎn)上這兩個(gè)法向量共線，即有實(shí)數(shù) 使得(uf,ud)=

23、(pf,pd)；由此得到：uf/pf=ud/pd。（對所有商品而言邊際花費(fèi)所得的邊際效用都相等。）注意 就是Lagrange乘數(shù)。 簡例1（續(xù)）當(dāng)u=(fd)1/2時(shí)， (fd)1/2=const就是fd=const， 從而(uf,ud)=(d,f)；由此得到pff=pdd= =I/2；就是說，小陳的Marshallian 需求函數(shù)是：f=I/(2pf)，d=I/(2pd)。第24頁/共33頁第23頁/共33頁消費(fèi)者決策 間接效用函數(shù)：間接效用函數(shù)表示消費(fèi)者的最大效用U和他的收入I以及商品價(jià)格向量p之間的相依關(guān)系。在效用函數(shù)為嚴(yán)格擬凹時(shí)，將消費(fèi)者的Marshallian需求函數(shù)代入效用函數(shù)中，

24、得到U=v(p,I) u(x(p,I)，這里v就是間接效用函數(shù)。 可以證明，在一般情況下，間接效用函數(shù)是擬凸函數(shù)，分別對p（p0）和對I（I 0）連續(xù)。 簡例1（續(xù)）回到簡例1，小陳的間接效用函數(shù)就是v(p,I)=u(I/(2pf),I/(2pd)=I/2(pfpd)1/2。第25頁/共33頁第24頁/共33頁消費(fèi)者決策 支出函數(shù)：支出函數(shù)表示消費(fèi)者的最小支出E和商品的價(jià)格向量p以及消費(fèi)者想要達(dá)到的某一效用水平V之間的相依關(guān)系。支出最小化和效用最大化是一對對偶問題。從間接效用函數(shù)關(guān)系V=v(p,I)中解出I E=e(p,V)，e就是支出函數(shù)。 支出函數(shù)e分別對p（p0）和對V連續(xù)；又e對于p是

25、凹函數(shù)。 簡例1（續(xù)）回到簡例1，從V=I/2(pfpd)1/2解得I E=2(pfpd)1/2V，e(p,V)=2(pfpd)1/2V就是小陳的支出函數(shù)。第26頁/共33頁第25頁/共33頁消費(fèi)者決策 Hicks需求函數(shù)：Hicks需求函數(shù)表示出消費(fèi)者以最小支出在價(jià)格向量p下取得某個(gè)給定效用水平V而選擇的消費(fèi)向量。將最小支出函數(shù)代入Marshallian需求函數(shù)中的收入I，就得到Hicks需求函數(shù)h：h(p,V) x(p,e(p,V)。 必須注意，在價(jià)格向量p和收入I給定的情況下，如果V=x(p,I)，那么因?yàn)閑(p,V)=I，所以h(p,V)=x(p,I)。但是當(dāng)價(jià)格向量改變成p后，一般而

26、言，e(p,V)不再等于I，所以h(p,V)一般不再等于x(p,I)。特別的，如果p p并且pp，則有e(p,V)I；在所有商品都是正規(guī)商品時(shí)，h(p,V)=x(p,e(p,V)x(p,I)。第27頁/共33頁第26頁/共33頁消費(fèi)者決策 簡例1（續(xù)）小陳的Hicks需求函數(shù)是hf(p,V)= 2(pfpd)1/2V/(2pf)= (pd/pf)1/2V，hd(p,V)= 2(pfpd)1/2V/(2pd)= (pf/pd)1/2V。 簡例1（續(xù)）假設(shè)原來I=8，pf=pd=2；那么Marshallian需求為xf=xd=2，效用水平是V=2。同時(shí)容易驗(yàn)證他的Hicks需求是：hf=hd=(2

27、/2)1/2V=2。 簡例1（續(xù)）設(shè)想食物的價(jià)格上漲到pf=4而飲料的價(jià)格不變；小陳的Marshallian需求改變?yōu)閤f=1，xd=2。如果要保持原來的效用水平，他的Hicks需求是：hf=(2/4)1/2(2)=21/2 ，hd=(4/2)1/2(2)=2 21/2。第28頁/共33頁第27頁/共33頁消費(fèi)者決策 Roys 恒等式：注意到間接效用函數(shù)V=v(p,I)由求解優(yōu)化問題：max u(x), S.T. px=I 而得。根據(jù)包絡(luò)定理，V/pV/pm m=L/L/p pm m =- =- x xm m(p,I);(p,I);再注意到 = =V/V/I=I=L/L/I I，最后得出x x

28、m m(p,I)=-(p,I)=-(V/V/p pm m)/()/(V/V/I I) )。 Sheperds引理：注意到支出函數(shù)E=e(p,V)由求解優(yōu)化問題：min I=px, S.T. u(x)=V 而得。根據(jù)包絡(luò)定理， E/E/p pm m=L/L/p pm m= = =x xm m(p,e(p,V)=h(p,e(p,V)=hm m(p,V)(p,V)。第29頁/共33頁第28頁/共33頁消費(fèi)者決策 Slutsky方程：從x xm m(p,e(p,V)=h(p,e(p,V)=hm m(p,V)(p,V)中對p pn n求導(dǎo)得到 h hm m/ / p pn n= = x xm m/ /

29、p pn n+(+( x xm m/ / I)(I)( E E/ / p pn n) )= = x xm m/ / p pn n+ + x xn n(p,I)(p,I)( x xm m/ / I)I)；由此得到 x xm m/ / p pn n= = h hm m/ / p pn n- -x xn n(p,I)(p,I)( x xm m/ / I)I)。 在支出函數(shù)E=e(p,V)E=e(p,V)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí), ,根據(jù)ShepherdShepherd引理：s smnmnh hm m/ / p pn n= = 2 2E/E/ p pm m p pn n= =s snmnm。由于支出函數(shù)e e為凹函數(shù)，s smmmmh hm m/ / p pm m 0 0。這就是說，對任何商品，HickHick需求曲線的斜率小于