建立在笛卡爾公理上的一個(gè)懷疑邏輯系統(tǒng)

1、建立在“笛卡爾公理”上的一個(gè)懷疑邏輯系統(tǒng)作者簡(jiǎn)介：潘天群（1965），男，江蘇鹽城人，南京大學(xué)哲學(xué)系邏輯學(xué)教研室教授，哲學(xué)博士。主要研究方向：哲學(xué)、邏輯學(xué)、博弈論。潘天群（南京大學(xué) 哲學(xué)系，江蘇 南京210093）摘要：懷疑邏輯是關(guān)于人們合理懷疑的邏輯。如果說知道邏輯、信念邏輯等是“正”的邏輯的話，懷疑邏輯則是“負(fù)”的邏輯。將懷疑算子D加于命題之上就構(gòu)成懷疑命題。笛卡爾的“我思，故我在”可以作為懷疑邏輯的特征公理：某人懷疑p，蘊(yùn)涵著他對(duì)懷疑p是不可懷疑的我們可以將之命名為“笛卡爾公理”。從該公理可以推論得到定理：某人不懷疑p，蘊(yùn)涵著他對(duì)不懷疑p是不可懷疑的。該定理與笛卡爾公理一起作為當(dāng)下思維存

2、在的自明性公理。我們可以建立一個(gè)以“笛卡爾公理”作為一個(gè)特征公理的懷疑邏輯系統(tǒng)PD。笛卡爾公理與知道邏輯中的智慧公理（蘇格拉底公理）在邏輯上是同構(gòu)的,它們均對(duì)應(yīng)于模態(tài)邏輯中的E公理。懷疑邏輯作為一種認(rèn)知邏輯，有著廣泛的運(yùn)用,它可以運(yùn)用到政策反駁、科學(xué)批判、法律推理等領(lǐng)域。關(guān)鍵詞：懷疑邏輯；懷疑命題；懷疑模態(tài)算子；模態(tài)邏輯；笛卡爾公理中圖分類號(hào)：B812 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A1 導(dǎo)言“懷疑”思維是人類獨(dú)特的思維方式。在現(xiàn)實(shí)中的許多場(chǎng)合下人們是用“懷疑”來進(jìn)行推理的。笛卡爾正是從“懷疑”開始建立他的哲學(xué)。笛卡爾的做法昭示給我們：“懷疑”不是否定一切；正確的懷疑思維是“合理的懷疑”。我們能否建立懷疑的邏輯

3、呢？答案是能夠的。懷疑的邏輯是關(guān)于“合理”懷疑的。雖然是我們可以將懷疑定義成“不相信”，從而將懷疑的邏輯還原成信念邏輯，但這樣的做法抹殺了人們現(xiàn)實(shí)中的一系列思維方式，因?yàn)槿藗冴P(guān)于懷疑上的思維方式是獨(dú)特的，是信念邏輯所無法取代的。下面我們利用模態(tài)邏輯，同時(shí)以“我思，故我在”作為懷疑公理，建立合理懷疑的邏輯。我們建立懷疑的邏輯旨在：一方面研究懷疑命題之間的關(guān)系，另外一方面研究從懷疑如何得到不懷疑的東西。2 懷疑公理與含笛卡爾公理的懷疑邏輯系統(tǒng)PD21 懷疑模態(tài)詞的引入及懷疑命題。自模態(tài)邏輯建立以來，邏輯學(xué)家將模態(tài)算子“必然”（），解釋成現(xiàn)實(shí)中的各種“模態(tài)”，而建立了各種邏輯系統(tǒng)，如認(rèn)識(shí)論邏輯（知識(shí)

4、邏輯、斷定邏輯、信念邏輯）、時(shí)態(tài)邏輯、道義邏輯等等。這些非經(jīng)典邏輯將模態(tài)邏輯算子“必然”給予語義解釋，并將相應(yīng)的完善的模態(tài)邏輯系統(tǒng)照搬過來。然而，現(xiàn)實(shí)中有一類模態(tài)詞與“必然”差異很大。如果說與“必然”對(duì)應(yīng)的“知道”“相信”“應(yīng)當(dāng)”等模態(tài)詞是“正的”模態(tài)詞的話，那么存在一類“負(fù)的”模態(tài)詞?！皯岩伞本褪沁@樣的“負(fù)的”認(rèn)知模態(tài)詞。我們?nèi)绾芜\(yùn)用模態(tài)邏輯來達(dá)到我們的目的呢？首先，我們需要引入“懷疑”算子。我們用“D”表示“懷疑”模態(tài)算子，該模態(tài)算子作用于命題（原子命題和復(fù)合命題）之上，如同其他模態(tài)詞一樣，構(gòu)成懷疑命題。如：p為原子命題，“Dp”即為懷疑命題?！癉p”的語義解釋是：某人“懷疑”命題p的真，

5、或者：命題p真是“可疑的”。懷疑命題具有真值：或?yàn)檎婊驗(yàn)榧佟?2 懷疑公理根據(jù)模態(tài)邏輯，在懷疑算子之上建立的懷疑邏輯有如下公理(或定理因?yàn)槠渲杏行┦遣华?dú)立的)：D1：命題邏輯公理；D2：DqD(pq)DpD3：Dp DpD4：D(pq) Dp DqD5：D(pq) Dp DqD6：D（pp）D7：D(pp)D8：Dp DDpD9：DpDDp我們來看一看這些公理的意涵。公理D1：命題邏輯公理為該系統(tǒng)里的公理。公理D2為由模態(tài)邏輯K公理演變而來，其意思是，如果某人懷疑q，那么他或者懷疑p蘊(yùn)涵q，或者懷疑前提p。該公理還可以表示成如下公理或定理：D10：DqD(pq) DpD10表示的是，如果懷疑q

6、，但不懷疑前提p對(duì)蘊(yùn)涵q，那么懷疑前提p。這是容易理解的，q可以看成一個(gè)推理的結(jié)論，如果懷疑結(jié)論q，并且推理不懷疑推理，那么推理得q的前提便是值得懷疑的。公理D2或者為：D11：DqDpD（pq）D11意為：懷疑q，并且不懷疑p，那么懷疑p蘊(yùn)涵q。公理D3意為：如果不懷疑p（相信p），那么懷疑非p。但逆命題Dp Dp不成立：如果懷疑非p，得不到不懷疑p。即：人們能夠既懷疑p又懷疑p。從直觀上，這也是顯然的。公理D4：如果p、q的析取是可懷疑的，那么既懷疑p又懷疑q。公理D5：如果p、q的合取是可懷疑的，那么或者懷疑p，或者懷疑q。該命題的逆命題也成立。公理D6表明人們不懷疑排中律。公理D7表明

7、人們懷疑矛盾命題。公理D8：如果懷疑p，那么對(duì)懷疑p是不可懷疑的。我們將該公理命名為“笛卡爾公理”。因?yàn)榈芽栒f：“我思，故我在”。即：我懷疑，但我懷疑是不可懷疑的。公理D8為“我思，故我在”的形式化。公理D8為當(dāng)下懷疑活動(dòng)的不可懷疑性公理。D8對(duì)應(yīng)于模態(tài)邏輯的E公理。公理D9意即：如果某人不懷疑p，那么他不懷疑自己不會(huì)懷疑p。D9對(duì)應(yīng)于模態(tài)邏輯中的4公理（pp）。D8和D9表明，人們對(duì)當(dāng)下思維活動(dòng)（懷疑活動(dòng)和不懷疑的活動(dòng)）不可懷疑性的“認(rèn)定”。它們是當(dāng)下思維存在的自明性公理。D9可以從D8中推理得到。這是一件有趣的事情：人們從對(duì)自己懷疑的思維活動(dòng)的不可懷疑性可以得到，對(duì)自己不懷疑的思維活動(dòng)的

8、不可懷疑性。公理D1D9中有些不是獨(dú)立的。為了方便，我們可以將這些不獨(dú)立的定理作為系統(tǒng)的公理來使用。人們可以從中選擇所有公理或其中的一部分公理作為特征公理，以建立懷疑邏輯系統(tǒng)。對(duì)于懷疑命題有兩點(diǎn)需要注意：第一，Dp意即對(duì)p的真性表示懷疑，但并不是說，p就是假的。我們沒有這樣的公理“Dpp”（這樣的公理是不合理的），如同在信念邏輯中我們沒有公理“Bpp”一樣；第二，懷疑是相對(duì)于某個(gè)理性主體而言的，命題p在主體a看來是“可疑的”，即Dap，但在b那里，p不一定就是可疑的。我們這里只分析在一個(gè)主體那里懷疑命題之間的邏輯關(guān)系，而沒有分析多個(gè)理性主體在懷疑命題上的邏輯關(guān)系。2 3 建立在“笛卡爾公理”上

9、的一個(gè)懷疑邏輯系統(tǒng)PD在公理D2D9之中，有些是不獨(dú)立的，我們選擇D2、D3和D8作為特征公理構(gòu)成一個(gè)懷疑邏輯系統(tǒng)，我們將之命名為PD系統(tǒng)。PD：D2+D3+D8PD系統(tǒng)的公理與模態(tài)邏輯S5系統(tǒng)中的公理存在重疊，但不完全一致。PD中包含了笛卡爾“我思，故我在”的公理D8，它相當(dāng)于模態(tài)邏輯中的E公理；D2對(duì)應(yīng)于模態(tài)邏輯中的K公理；D3對(duì)應(yīng)于模態(tài)邏輯中的D公理。模態(tài)邏輯中的T公理為S5系統(tǒng)中的特征公理，在PD中則沒有相應(yīng)的特征公理。懷疑邏輯揭示懷疑命題之間的邏輯關(guān)系。上面已經(jīng)表明，一個(gè)命題是可懷疑的，并不是說它必定是假的，同樣一個(gè)命題是不可懷疑的（可信的），也并不表明它必定是真的。同時(shí)我們要表明的

10、是，一個(gè)邏輯永真式是不可懷疑的，即對(duì)之懷疑的命題是假的；而一個(gè)邏輯永假式是可疑的，即對(duì)之懷疑的命題是真命題。24懷疑邏輯的必然化規(guī)則我們這里的懷疑邏輯是以上述9個(gè)懷疑公理代入規(guī)則和分離規(guī)則和必然化規(guī)則而構(gòu)成的一個(gè)系統(tǒng)。我們首先來看一下懷疑邏輯的必然化規(guī)則。在懷疑邏輯中，模態(tài)邏輯的必然化規(guī)則對(duì)于懷疑算子D無效。然而，必然化規(guī)則對(duì)“D”是有效的。即：|-A DA即：在系統(tǒng)內(nèi)一個(gè)公式被斷定為真，它是不可懷疑的。即：任何永真式都是不可懷疑的。必然化法則也可表示成：|- -|- DD即：|- （）DD） 上式為懷疑邏輯的必然化法則。通過上式，我們可以得到許多定理。D6可以由必然化規(guī)則得到；而D7可以由D

11、6和D3得到。如：對(duì)命題邏輯中的公理p（qp），利用上面的必然化法則（并利用代入規(guī)則），我們有：D12：D（pq）DqD13意涵：如果對(duì)pq表示懷疑，那么懷疑q。這是容易理解的：只有q假時(shí)，p蘊(yùn)涵q才是假的。我們由p（pq），得到對(duì)蘊(yùn)涵懷疑的另外一條定理： D13：D（pq）Dp由D12、D13合并：D14：D（pq）DqDp25懷疑邏輯的三段論懷疑邏輯的三段論的公式為D10，推理形式為： D(pq)DqDp上式意即：人們不懷疑pq，但懷疑q，那么懷疑p。該三段論為人們?cè)诜瘩g時(shí)經(jīng)常用到的論證方式。卡爾·波普的批判理性主義或證偽主義即是建立在這樣的演繹結(jié)構(gòu)上的。3 懷疑邏輯的雙重懷疑算

12、子的處理當(dāng)出現(xiàn)雙重懷疑算子的消除，我們?nèi)绾蜗?？由命題邏輯定理（pq）（qp），和公理D8，并由代入規(guī)則（p/DP，q/DDp），我們有定理：D15：DDpDp上述定理意即：如果某人對(duì)自己懷疑p抱有懷疑，那么他不應(yīng)懷疑p。同樣，我們可以從公理D9推理得到：D16：DDpDpD16意即：如果某人懷疑自己不懷疑p，那么懷疑p。D15和D16可以用來作為取消雙重懷疑算子的法則。如果我們不選擇D8或D9作為特征公理，此時(shí)，系統(tǒng)中將包含有雙重的懷疑算子。我們?cè)賮砜磶讉€(gè)雙重懷疑算子的定理。由D15及D3，我們有：D17：DDpDp上式的意義為：如果某人懷疑自己懷疑p，那么他應(yīng)懷疑p。我們由D8及D3：D1

13、8：DpDDp上式的意義為：如果某人懷疑p，那么他應(yīng)懷疑自己不懷疑p。同樣地，由D9及D3：D19： DpDDp上式的意義為：如果某人不懷疑p，那么他應(yīng)對(duì)自己懷疑p表示懷疑。4 關(guān)于笛卡爾公理與智慧公理之間的邏輯同構(gòu)笛卡爾的理性主義哲學(xué)建立在“我思，故我在”這個(gè)阿基米德點(diǎn)之上。公理D8為笛卡爾公理的形式化，意即：我對(duì)某個(gè)命題的懷疑是不可懷疑的。該公理對(duì)應(yīng)于模態(tài)邏輯中的E公理。在知道邏輯中有一條公理，被稱為“智慧公理”，或“蘇格拉底公理”。蘇格拉底是最有智慧的人。蘇格拉底發(fā)現(xiàn)，之所以他具有智慧，是因?yàn)樗雷约菏菬o知?！爸腔酃怼睘椤癒pKKp”（“K”為“知道算子”）如果某人不知道p，那么他知

14、道自己不知道p。該智慧公理也是與模態(tài)邏輯E公理相對(duì)應(yīng)。由此可見，智慧公理與懷疑邏輯的笛卡爾公理均源于模態(tài)邏輯S5的特征公理E公理?；蛘哒f它們是E公理的不同“解釋”。因此，智慧公理和笛卡爾公理這兩條公理是邏輯上同構(gòu)的。E公理為pp（如果可能p，那么“可能p”就是必然的）。如果“知道”為這里的“必然”模態(tài)詞，那么它就是智慧公理；而如果“不懷疑”（即“相信”）為這里的“必然”模態(tài)，那么它就成了笛卡爾公理。這兩條公理是兩個(gè)系統(tǒng)里的公理，其意義是不同的。如果將知識(shí)、信念及懷疑納入一個(gè)系統(tǒng)，這兩條公理能否獨(dú)立存在？或者說，是否其中的一個(gè)不是獨(dú)立的公理，而是定理？我們看到，如果“不知道p=懷疑p”（KpDp

15、）這樣的關(guān)系成立，那么，我們只要保留其中的一個(gè)作為公理，另外一條公理就不是必須的，而可以成為推理得到的定理。KpDp是什么意思？它為：（a）KpDp：人們不知道命題p，意味著他懷疑p；并且，（b）DpKp：某人懷疑p，意味著他不知道p。（b）合理性是顯明的，它也可以從已知的公理中得到。該式的另外的形式為：某人知道p，意味著他相信p。即所有知識(shí)均是信念。而（a）則不是合理的：如果某人不知道p，那么他懷疑p，即不相信p。該式的另外一個(gè)說法是：如果某人相信p，那么他就知道p，即：BpKp。即信念均是知識(shí)。只有絕對(duì)有智慧的人才能夠做到這一點(diǎn)，而通常人們的信念不能夠構(gòu)成知識(shí)。KpDp為“所有的知識(shí)均是信

16、念”并且“所有的信念均是知識(shí)”。當(dāng)我們有這樣的公理時(shí)，從“智慧公理”中我們能夠推理出“笛卡爾公理”，同樣可以從“笛卡爾公理”中推理得到“智慧公理”。這是一個(gè)很有趣的現(xiàn)象。蘇格拉底和笛卡爾均是有智慧的人，在他們那里“知無知”和“我思，故我在”是一個(gè)東西，但是否笛卡爾的名言之得出源于蘇格拉底的“知無知”，我們不得而知。通常來說，人們的信念與人們的知識(shí)不等同，我們用邏輯來刻畫人們的推理時(shí)，可以將“智慧公理”與“笛卡爾公理”均當(dāng)作獨(dú)立的兩條公理來運(yùn)用。5 懷疑邏輯的現(xiàn)實(shí)運(yùn)用在許多領(lǐng)域里，人們要運(yùn)用懷疑邏輯。在論辯時(shí)如政策論辯，人們?yōu)榱笋g倒對(duì)手，往往要通過“懷疑”對(duì)手的某個(gè)論點(diǎn)來進(jìn)行；在科學(xué)活動(dòng)中，科學(xué)

17、家為了清除錯(cuò)誤的理論往往是通過懷疑“基礎(chǔ)命題”即證據(jù)開始，而上溯到對(duì)假說的懷疑的；在法官辦案中，法官更是要用到合理的懷疑?？茖W(xué)、論辯及法律推理等領(lǐng)域里的這些推理，存在一個(gè)共同特點(diǎn)，那就是：從某個(gè)可懷疑的證據(jù)、觀點(diǎn)等出發(fā)推理出其他可懷疑的觀點(diǎn)或證據(jù)等，這就夠了；而不必得出所謂“真”或“假”的觀點(diǎn)、證據(jù)。如：在法律推理中，法官通過“合理的”懷疑得出，犯罪嫌疑人的辯護(hù)律師提供的證據(jù)是“可疑的”（而實(shí)際上這些證據(jù)有可能是“真”的），那么他將不采用該證據(jù)。懷疑的邏輯就是提出來刻畫人們的這種特點(diǎn)的推理。如：在論辯中，某人反駁對(duì)手時(shí)，根據(jù)對(duì)手的觀點(diǎn)（p），構(gòu)造一個(gè)推理（pq），這個(gè)推理過程是有效的（D（pq

18、）“不可懷疑的”），但所得結(jié)論（q）是“可懷疑的”（Dq），這樣，根據(jù)公理D11或懷疑邏輯的三段論DqD(pq) Dp，得到：前提（p）是可懷疑的（Dp）。這里要說明的是，所謂一個(gè)觀點(diǎn)、證據(jù)等是可懷疑的，它不一定是假的，而是指反駁者與對(duì)手均不能相信的命題（當(dāng)然一個(gè)命題為有邏輯矛盾的命題，它是反駁者和對(duì)手對(duì)之均不能相信的）。反駁者反駁對(duì)手往往從一個(gè)雙方均認(rèn)為可疑的觀點(diǎn)開始反駁，很有可能的是，反駁者將一個(gè)觀點(diǎn)（p）視為可疑的（Dp），對(duì)手也認(rèn)為如此，但實(shí)際上，p是真命題這當(dāng)然只有在事后才知道。這樣，在懷疑邏輯基礎(chǔ)上的論辯邏輯更注重論辯者之間的主體間性，而不是像傳統(tǒng)邏輯中注重命題真或假的絕對(duì)性。在上

19、面我們已經(jīng)表明，人們不能同時(shí)相信兩個(gè)矛盾命題，即DpDp在上述系統(tǒng)中是永假式，人們相信一個(gè)命題，該命題的矛盾命題就不能相信。但是，人們可以同時(shí)懷疑兩個(gè)矛盾命題，即DpDp則不一定是永假式。這符合人們?cè)诳茖W(xué)推理、法庭辯論中的情況。6 結(jié)語最后，需要說明的是，“懷疑”只是一個(gè)“負(fù)的”算子，這里的懷疑邏輯系統(tǒng)也只是參照模態(tài)邏輯建立起來的一個(gè)“負(fù)的”邏輯系統(tǒng)。我們同樣可以建立“否定”（或“拒絕”）的邏輯。還有其他像這樣“負(fù)”的邏輯嗎？這需要我們作進(jìn)一步探索。（本文得益于與南京大學(xué)哲學(xué)系張建軍教授的探討，在此表示感謝！）參考文獻(xiàn)1張家龍.模態(tài)邏輯與哲學(xué)M.北京:中國(guó)社會(huì)出版社，2003.2周北海.模態(tài)邏

20、輯導(dǎo)論M.北京:北京大學(xué)出版社,1997.A doubting logic system contained Descartes AxiomPAN Tian-qun(Department of Philosophy, Nanjing University,Nanjing 210093)Abstract: Doubting logic is a logic that is to study how people doubt something rationally. Logic such as knowledge logic, belief logic, deontic logic and so

21、 on, can be regarded as positive logic, and doubting logic can be regarded as negative one. Doubting logic is a kind of epistemic logic. By loading doubting operator D on a proposition, we obtain a doubting proposition. The famous Descartes sentence cogito ergo sum can be employed as an axiom of doubting log