高中數(shù)學 第二章 第五節(jié)函數(shù)的奇偶性和周期性同步檢測訓練 新人教版必修1

1、第二章 第五節(jié)函數(shù)的奇偶性和周期性 同步檢測訓練一、選擇題1f(x)，g(x)是定義在R上的函數(shù)，h(x)f(x)g(x)，則“f(x)，g(x)均為偶函數(shù)”是“h(x)為偶函數(shù)”的()A充要條件B充分而不必要條件C必要而不充分條件D既不充分也不必要條件答案：B解析：充分性易證：h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)對xR恒成立，h(x)是偶函數(shù)但h(x)為偶函數(shù)，推不出f(x)，g(x)均為偶函數(shù)，反例如f(x)x，g(x)x，h(x)0.雖然h(x)0為偶函數(shù)，但f(x)、g(x)卻都不是偶函數(shù)故選B.2(2009·北京市西城區(qū)4月)設a為常數(shù)，f(x)x24x3，若函

2、數(shù)f(xa)為偶函數(shù)，則a等于()A2B2C1 D1答案：B解析：依題意，由f(xa)(xa)24(xa)3x2(2a4)x(a24a3)是偶函數(shù)，因此2a40，a2，選B.3(2008·北京市西城區(qū)抽樣測試)設函數(shù)f(x).若f(x)是奇函數(shù)，則g(2)的值是()A B4C. D4答案：A解析：f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)；f(x)，當x>0時，x<0，f(x)f(x)2x，g(x)2x(x>0)，g(2)，故選A.4(2009·徐水模擬)已知f(x)是以2為周期的奇函數(shù)，當0<x<1時，f(x)lgx，設af()，bf()，cf()，

3、則()Aa<b<c Bb<a<cCc<b<a Dc<a<b答案：D解析：af()f()f(2)f()bf()f()f()，cf()f()由當0<x<1時，f(x)lgx得c<a<b.5(2008·湖北省八校聯(lián)考)定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關于點(，0)成中心對稱，對任意的實數(shù)x都有f(x)f(x)，且f(1)1，f(0)2，則f(1)f(2)f(3)f(2008)的值為()A2 B1C0 D1答案：D解析：函數(shù)f(x)的圖象關于點(，0)成中心對稱，得f(x)f(x)0，又f(x)f(x)，于是f(x)是偶函

4、數(shù)，且f(x)f(x)f(x3)，即3是函數(shù)f(x)的周期，f(1)1f(2)f(1)f(4)，f(0)2f(3)，f(1)f(2)f(3)f(4)f(2006)f(2007)f(2008) f(1)1.故選D.6(2009·成都市一測)已知a>0，且a1，若函數(shù)f(x)loga(x)在(，)上既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，則函數(shù)g(x)loga|xk|的圖象是()7(2009·西安地區(qū)八校聯(lián)考)設函數(shù)f(x)、g(x)的定義域分別為F、G，且FG.若對任意的xF，都有g(x)f(x)，則稱g(x)為f(x)在G上的一個“延拓函數(shù)”已知函數(shù)f(x)2x(x0)，若g(x)為

5、f(x)在R上的一個延拓函數(shù)，且g(x)是偶函數(shù)，則函數(shù)g(x)的解析式是()A2|x| Blog2|x|C()|x| Dlog|x|答案：C解析：由題意得，當x0時，g(x)f(x)2x2|x|.又g(x)是偶函數(shù)，因此有g(x)g(x)恒成立當x>0時，x<0，g(x)g(x)2x()|x|.綜上所述，g(x)()|x|，選C.8(2009·江西省重點中學一次聯(lián)考)已知定義域為R的函數(shù)yf(x)在(，a)(a>0)上是增函數(shù)，且函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，當x1<a，x2>a，|x1a|<|x2a|時有()Af(2ax1)>f(2ax2)B

6、f(2ax1)f(2ax2)Cf(2ax1)<f(2ax2)Df(2ax1)與f(2ax2)的大小關系不確定答案：A解析：由yf(xa)是偶函數(shù)得f(xa)f(xa)，即f(x)f(2ax)，于是f(x1)f(2ax1)，f(x2)f(2ax2)由x1<a，x2>a，|x1a|<|x2a|得2ax2<a，ax1<x2a,2ax2<x1<a.又函數(shù)f(x)在(，a)上是增函數(shù)，因此有f(2ax2)<f(x1)，f(2ax2)<f(2ax1)，選A.二、填空題9已知f(x)ax2bx3ab是偶函數(shù)，定義域為a1,2a，則a_，b_.答案：

7、0解析：yf(x)是偶函數(shù)，故填0.10設f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)當x<0時，f(x)g(x)f(x)g(x)>0，且g(3)0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是_答案：(，3)(0,3)解析：設F(x)=f(x)·g(x)，F(xiàn)(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x)，F(xiàn)(x)為奇函數(shù)又x<0時，F(xiàn)(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)>0.x<0時，F(xiàn)(x)為增函數(shù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相同，x>0時，F(xiàn)(x)為增函數(shù)F(-3)=f(-3)·g(-3)=0，F(xiàn)(3)=-F(

8、-3)=0.如上圖所示為一個符合題意的圖象，觀察知f(x)g(x)F(x)<0的解集為x(，3)(0,3)11(2008·南通一中)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，定義在R上的奇函數(shù)g(x)過點(1,1)，且g(x)f(x1)，則f(7)f(8)的值為_答案：1解析：由題意得g(0)0，g(1)1，g(1)1.又g(x)g(x)，則f(x1)f(x1)，而f(x)f(x)，則f(x1)f(x1)，也得f(x1)f(x3)，于是f(x1)f(x3),4為函數(shù)f(x)的周期，則f(1)g(0)0，f(0)g(1)1，f(7)f(8)f(1)f(0)1，故填1.三、解答題12已

9、知f(x)是實數(shù)集R上的函數(shù)，且對任意xR，f(x)f(x1)f(x1)恒成立(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)已知f(3)2，求f(2004)(1)證明：f(x)f(x1)f(x1)f(x1)f(x)f(x1)，則f(x2)f(x1)1f(x1)f(x)f(x)f(x1)f(x)f(x1)f(x3)f(x1)2f(x1)1f(x)f(x6)f(x3)3f(x3)f(x)f(x)是周期函數(shù)且6是它的一個周期(2)解：f(2004)f(334×6)f(0)f(3)2.13已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當x(，0)時，f(x)xlg(2x)，求f(x)的解析式解：f(x)是奇函數(shù)，可

10、得f(0)f(0)，f(0)0.當x>0時，x<0，由已知f(x)xlg(2x)，f(x)xlg(2x)，即f(x)xlg(2x) (x>0)，f(x)即f(x)xlg(2|x|)(xR)14已知函數(shù)f(x)x2|xa|1，aR.(1)試判斷f(x)的奇偶性；(2)若a，求f(x)的最小值解：(1)當a0時，函數(shù)f(x)(x)2|x|1f(x)，此時，f(x)為偶函數(shù)當a0時，f(a)a21，f(a)a22|a|1，f(a)f(a)，f(a)f(a)，此時，f(x)為非奇非偶函數(shù)(2)當xa時，f(x)x2xa1(x)2a，a，故函數(shù)f(x)在(，a上單調遞減，從而函數(shù)f(x

11、)在(，a上的最小值為f(a)a21.當xa時，函數(shù)f(x)x2xa1(x)2a，a，故函數(shù)f(x)在a，)上單調遞增，從而函數(shù)f(x)在a，)上的最小值為f(a)a21.綜上得，當a時，函數(shù)f(x)的最小值為a21.15(2008·北京四中)已知：定義在(1,1)上的函數(shù)f(x)滿足：對任意x，y(1,1)都有f(x)f(y)f.(1)求證：函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；(2)如果當x(1,0)時，有f(x)>0，求證：f(x)在(1,1)上是單調遞減函數(shù)；(3)在(2)的條件下解不等式：ff>0.(1)證明：令xy0，則f(0)f(0)f(0)，故f(0)0.令yx，則f(x)f(x)ff(0)0，f(x)f(x)，即函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(2)證明：設x1<x2(1,1)，則f(x1)