傳熱學(4)-數(shù)值解法

1、第四章第四章導熱問題數(shù)值解基礎導熱問題數(shù)值解基礎1 、重點內容：、重點內容： 掌握導熱問題數(shù)值解法的基本思路；掌握導熱問題數(shù)值解法的基本思路； 利用熱平衡法和泰勒級數(shù)展開法建立利用熱平衡法和泰勒級數(shù)展開法建立節(jié)點的離散方程。節(jié)點的離散方程。2 、掌握內容：、掌握內容：數(shù)值解法的實質。數(shù)值解法的實質。 3 、了解內容：、了解內容：了解非穩(wěn)態(tài)導熱問題的兩了解非穩(wěn)態(tài)導熱問題的兩種差分格式及其穩(wěn)定性。種差分格式及其穩(wěn)定性。 求解導熱問題實際上就是對導熱微分方程在求解導熱問題實際上就是對導熱微分方程在定解條件下的積分求解，從而獲得分析解。隨著定解條件下的積分求解，從而獲得分析解。隨著計算機技術的迅速發(fā)展

2、，對物理問題進行離散求計算機技術的迅速發(fā)展，對物理問題進行離散求解的數(shù)值方法發(fā)展得十分迅速，這些數(shù)值解法主解的數(shù)值方法發(fā)展得十分迅速，這些數(shù)值解法主要有以下幾種：要有以下幾種： （1 1）有限差分法）有限差分法 （2 2）有限元方法）有限元方法 （3 3）邊界元方法）邊界元方法 （1）有限差分法）有限差分法（2）有限元法）有限元法（3）邊界元法）邊界元法分析解法與數(shù)值解法的異同點：分析解法與數(shù)值解法的異同點： 相同點：相同點：根本目的是相同的，即確定根本目的是相同的，即確定 t=f(x,y,z) ； 。 不同點：不同點：數(shù)值解法求解的是區(qū)域或時間、空數(shù)值解法求解的是區(qū)域或時間、空間坐標系中離散

3、點的溫度分布代替連續(xù)的溫度間坐標系中離散點的溫度分布代替連續(xù)的溫度場；分析解法求解的是連續(xù)的溫度場的分布特場；分析解法求解的是連續(xù)的溫度場的分布特征，而不是分散點的數(shù)值。征，而不是分散點的數(shù)值。 ),(zyxgQ 數(shù)值解法的實質數(shù)值解法的實質 對物理問題進行數(shù)值解法的基本思路可以概括對物理問題進行數(shù)值解法的基本思路可以概括為：把原來在時間、空間坐標系中連續(xù)的物理量的為：把原來在時間、空間坐標系中連續(xù)的物理量的場，如導熱物體的溫度場等，用有限個離散點上的場，如導熱物體的溫度場等，用有限個離散點上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關于這些值的

4、代數(shù)方程，來獲得離散點上被求物理關于這些值的代數(shù)方程，來獲得離散點上被求物理量的值。該方法稱為數(shù)值解法。量的值。該方法稱為數(shù)值解法。 這些離散點上被求物理量值的集合稱為該物理這些離散點上被求物理量值的集合稱為該物理量的數(shù)值解。量的數(shù)值解。 4-1 導熱問題數(shù)值求解的基本思想及內部節(jié)點離散方程的建立導熱問題數(shù)值求解的基本思想及內部節(jié)點離散方程的建立建立控制方程及定解條件建立控制方程及定解條件確定節(jié)點（區(qū)域離散化）確定節(jié)點（區(qū)域離散化）建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程設立溫度場的迭代初值設立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程求解代數(shù)方程是否收斂是否收斂解的分析解的分析改進初場改進初場是是

5、否否一、物理問題的數(shù)值求解過程一、物理問題的數(shù)值求解過程0tyf3thf2thf1thx二維矩形域內穩(wěn)態(tài)無內熱二維矩形域內穩(wěn)態(tài)無內熱源，常物性的導熱問題源，常物性的導熱問題二、二、 例題條件例題條件（a）（b）xyxynm(m,n)MN三、三、 基本概念：控制容積、網格線、節(jié)點、界基本概念：控制容積、網格線、節(jié)點、界面線、步長面線、步長二維矩二維矩形域內形域內穩(wěn)態(tài)無穩(wěn)態(tài)無內熱源，內熱源，常物性常物性的導熱的導熱問題問題 如圖（如圖（a a）所示二維矩形域內無內熱源、穩(wěn)態(tài)、）所示二維矩形域內無內熱源、穩(wěn)態(tài)、常物性的導熱問題采用數(shù)值解法的常物性的導熱問題采用數(shù)值解法的步驟如下：步驟如下： （1 1

6、）建立控制方程及定解條件）建立控制方程及定解條件 針對圖示的導熱問題，它的控制方程（即針對圖示的導熱問題，它的控制方程（即導熱微分方程導熱微分方程）為：）為： 22220ttxy（2 2）區(qū)域離散化（確立節(jié)點）區(qū)域離散化（確立節(jié)點） 用一系列與坐標軸平行的網格線把求用一系列與坐標軸平行的網格線把求解區(qū)域劃分成若干個子區(qū)域，用網格線的解區(qū)域劃分成若干個子區(qū)域，用網格線的交點作為需要確定溫度值的空間位置，稱交點作為需要確定溫度值的空間位置，稱為為節(jié)點節(jié)點 ( ( 結點結點 ) ) ，節(jié)點的位置用該節(jié)點，節(jié)點的位置用該節(jié)點在兩個方向上的標號在兩個方向上的標號 m m ， n n 表示。表示。 相鄰兩

7、節(jié)點間的距離稱相鄰兩節(jié)點間的距離稱步長步長。 如圖如圖 (b) (b) 所示。所示。 （3 3）建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程（離散方程）建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程（離散方程） 節(jié)點上物理量的代數(shù)方程稱離散方程。其節(jié)點上物理量的代數(shù)方程稱離散方程。其過程如下：過程如下： 首先劃分各節(jié)點的類型；首先劃分各節(jié)點的類型； 其次，建立節(jié)點離散方程；其次，建立節(jié)點離散方程； 最后，代數(shù)方程組的形成。最后，代數(shù)方程組的形成。 對節(jié)點對節(jié)點 (m,n) 的代數(shù)方程，當?shù)拇鷶?shù)方程，當 x=y 時，時，有：有： ,1,1,1,11()4m nmnmnm nm nttttt（4 4） 設立迭代初場設立迭代初場 代數(shù)方程組

8、的求解方法有直接解法與迭代數(shù)方程組的求解方法有直接解法與迭代解法，傳熱問題的有限差分法中主要采用代解法，傳熱問題的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解時，需對被求的溫迭代法。采用迭代法求解時，需對被求的溫度場預先設定一個解，這個解稱為初場，并度場預先設定一個解，這個解稱為初場，并在求解過程中不斷改進。在求解過程中不斷改進。 （5 5） 求解代數(shù)方程組求解代數(shù)方程組 求解時遇到的問題：求解時遇到的問題： 線性；線性； 非線性；非線性； 收斂性收斂性等。等。 如圖如圖 （ b ），除），除 m=1 的左邊界上各節(jié)點的的左邊界上各節(jié)點的溫度已知外，其余溫度已知外，其余 (M-1)N 個節(jié)點均需

9、建立個節(jié)點均需建立離散方程，共有離散方程，共有 (M-1)N 個方程，則構成一個方程，則構成一個封閉的代數(shù)方程組。個封閉的代數(shù)方程組。 1 ）線性代數(shù)方程組：）線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經建立，代數(shù)方程一經建立，其中各項系數(shù)在整個求解過程中不再變化；其中各項系數(shù)在整個求解過程中不再變化； 2 2 ）非線性代數(shù)方程組：）非線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經建立，代數(shù)方程一經建立，其中各項系數(shù)在整個求解過程中不斷更新。其中各項系數(shù)在整個求解過程中不斷更新。 3 3 ）是否收斂判斷：）是否收斂判斷：是指用迭代法求解代數(shù)方是指用迭代法求解代數(shù)方程是否收斂，即本次迭代計算所得之解與上一程是否收斂，即本次迭代計

10、算所得之解與上一次迭代計算所得之解的偏差是否小于允許值。次迭代計算所得之解的偏差是否小于允許值。 （6） 解的分析解的分析 通過求解代數(shù)方程，獲得物體中的溫度通過求解代數(shù)方程，獲得物體中的溫度分布，根據(jù)溫度場應進一步計算通過的熱流分布，根據(jù)溫度場應進一步計算通過的熱流量，熱應力及熱變形等。因此，對于數(shù)值分量，熱應力及熱變形等。因此，對于數(shù)值分析計算所得的溫度場及其它物理量應作詳細析計算所得的溫度場及其它物理量應作詳細分析，以獲得定性或定量上的結論。分析，以獲得定性或定量上的結論。 四、四、 建立離散方程的常用方法：建立離散方程的常用方法：(1) (1) Taylor（泰勒）級數(shù)展開法；泰勒）級

11、數(shù)展開法；(2) (2) 多項式擬合法；多項式擬合法；(3) (3) 控制容積積分法；控制容積積分法；(4) (4) 控制容積平衡法控制容積平衡法( (也稱為熱平衡法也稱為熱平衡法) )(1) 泰勒級數(shù)展開法泰勒級數(shù)展開法根據(jù)泰勒級數(shù)展開式，用節(jié)點根據(jù)泰勒級數(shù)展開式，用節(jié)點(m,n)的溫度的溫度tm,n來表示節(jié)點來表示節(jié)點(m+1,n)，而溫度，而溫度tm+1,n用節(jié)點用節(jié)點(m,n)的溫度的溫度tm,n來表示節(jié)點來表示節(jié)點(m-1,n)的的溫度溫度tm-1,n2233441,234,2624mnm nm nm nm ntxtxtxtttxxxxx2233441,234,2624mnm nm

12、nm nm ntxtxtxtttxxxxx將上兩式相加可得將上兩式相加可得24421,1,24,212mnmnm nm ntxttttxxx22,mntx將上式改寫成將上式改寫成 的表達式，有的表達式，有)(222, 1, 1,22xoxtttxtnmnmnmnm)(2221,1,22yoytttytnmnmnmnm同樣可得：同樣可得：表示未明確寫出的表示未明確寫出的級數(shù)余項中的級數(shù)余項中的XX的最低階數(shù)為的最低階數(shù)為2 2 根據(jù)導熱問題的控制方程根據(jù)導熱問題的控制方程 ( ( 導熱微分方程導熱微分方程 ) )1,1,1,122220mnmnmnmnmnmnttttttxy若若 x=y 則有則

13、有 ,1,1,1,11()4m nmnmnm nm nttttt22220ttxy得得(2) 控制容積平衡法控制容積平衡法(熱平衡法熱平衡法)基本思想：基本思想：是傅立葉導熱定律和能量守恒定律的體是傅立葉導熱定律和能量守恒定律的體現(xiàn)。對每個單元體，可用傅立葉導熱定律寫出其能現(xiàn)。對每個單元體，可用傅立葉導熱定律寫出其能量守恒的表達式。如圖所示，量守恒的表達式。如圖所示， 從節(jié)點從節(jié)點 (m-1,n) 通過通過界面界面 w 傳導到節(jié)點傳導到節(jié)點 (m,n) 的熱流量：的熱流量： 1,mnm nwttyx 同理：通過界面同理：通過界面 e,n,s 傳導給節(jié)點傳導給節(jié)點（ m,n ）的熱流量也可求得）

14、的熱流量也可求得對單元體對單元體 ( (m,n). ). 根據(jù)能量守恒定律可知：根據(jù)能量守恒定律可知： 0ewns 其中，其中，規(guī)定：規(guī)定：導入元體（導入元體（ m,n ）的熱流量為）的熱流量為正；導出元體（正；導出元體（ m,n ）的熱流量為負。）的熱流量為負。 xttynmnme, 1yttxnmnmn,1,yttxnmnms,1,說明：說明： 上述分析與推導是在笛卡兒坐標系中進上述分析與推導是在笛卡兒坐標系中進行的；行的； 熱平衡法概念清晰，過程簡捷；熱平衡法概念清晰，過程簡捷； 熱平衡法與建立微分方程的思路與過程熱平衡法與建立微分方程的思路與過程一致，但不同的是前者是有限大小的單元體，

15、一致，但不同的是前者是有限大小的單元體，后者是微元體。后者是微元體。 4-2 4-2 邊界節(jié)點離散方程的建立邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)方程的求解及代數(shù)方程的求解 對于第一類邊界條件的熱傳導問題，處理比較簡單，對于第一類邊界條件的熱傳導問題，處理比較簡單，因為已知邊界的溫度，可將其以數(shù)值的形式加入到內節(jié)點因為已知邊界的溫度，可將其以數(shù)值的形式加入到內節(jié)點的離散方程中，組成封閉的代數(shù)方程組，直接求解。的離散方程中，組成封閉的代數(shù)方程組，直接求解。 而對于第二類或第三類邊界條件的導熱問題，所有內而對于第二類或第三類邊界條件的導熱問題，所有內節(jié)點的離散方程組成的代數(shù)方程組是不封閉的，因未知邊節(jié)點的離

16、散方程組成的代數(shù)方程組是不封閉的，因未知邊界溫度，因而應對位于該邊界上的節(jié)點補充相應的代數(shù)方界溫度，因而應對位于該邊界上的節(jié)點補充相應的代數(shù)方程，才能使方程組封閉，以便求解。程，才能使方程組封閉，以便求解。 為了求解方便，這里我們將第二類邊界條件及第三類為了求解方便，這里我們將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，用邊界條件合并起來考慮，用q qw w表示邊界上的熱流密度或熱表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達式。為使結果更具一般性，假設物體具有內熱流密度表達式。為使結果更具一般性，假設物體具有內熱源源 ( ( 不必均勻分布不必均勻分布 ) ) 。1.1.邊界節(jié)點離散方程的建立：邊界節(jié)點離

17、散方程的建立：(1) (1) 平直邊界上的節(jié)點平直邊界上的節(jié)點1,1,1,2022mnm nm nm nm nm nm nwttttxyxyttxxyyqy yx2,1,1,12124m nwm nmnm nm nx xqttttxyqw如圖所示如圖所示 邊界節(jié)點邊界節(jié)點 (m,n) 只能代表半個單元體，若只能代表半個單元體，若邊界上有向該元體傳遞的熱流密度為邊界上有向該元體傳遞的熱流密度為qw ，據(jù)能量守，據(jù)能量守恒定律對該元體有：恒定律對該元體有： xyqw(2) (2) 外部角點外部角點2,1,12122m nwm nmnm nx xqttt1,1,22042mnm nm nm nm n

18、wttttyxxyx yxyq yx如圖所示，二維墻角計算區(qū)域中，該節(jié)點外角點僅如圖所示，二維墻角計算區(qū)域中，該節(jié)點外角點僅代表代表 1/4 1/4 個以個以 為邊長的元體。假設邊為邊長的元體。假設邊界上有向該元體傳遞的熱流密度為界上有向該元體傳遞的熱流密度為 ，則據(jù)能量，則據(jù)能量守恒定律得其熱平衡式為：守恒定律得其熱平衡式為： xy、wqxyqw(3) (3) 內部角點內部角點22,1,1,11,213(22)62wm nmnm nm nmnx qxttttt1,1,1,1,230242mnm nm nm nm nm nmnm nm nwttttttxyxxyyttyx yxyqx yx如圖

19、所示內部角點代表了如圖所示內部角點代表了 3/4 3/4 個元體，在同樣的個元體，在同樣的假設條件下有假設條件下有xyqw討論關于邊界熱流密度的三種情況：討論關于邊界熱流密度的三種情況： （1 1）絕熱邊界）絕熱邊界即令上式即令上式 即可。即可。 0wq （2 2） 值不為零值不為零wq流入元體，流入元體， 取正，流出元體，取正，流出元體， 取負使取負使用上述公式用上述公式 wqwq（3 3）對流邊界）對流邊界此時此時 ，將此表達式代入上述方程，將此表達式代入上述方程，并將此項中的并將此項中的 與等號前的與等號前的 合并。合并。對于對于 的情形有的情形有)(,nmfwtthq,m nt,m n

20、txy （a a）平直邊界）平直邊界（b b）外部角點）外部角點（c c）內部角點）內部角點2,1,1,12222m nm nmnm nm nfh xxh xttttt2,1,12212m nm nmnm nfh xxh xtttt2,1,11,1322322m nm nmnm nmnm nfh xxh xtttttt2 代數(shù)方程的求解方法代數(shù)方程的求解方法 2 2） 迭代法：迭代法：先對要計算的場作出假設（設先對要計算的場作出假設（設定初場），在迭代計算中不斷予以改進，直定初場），在迭代計算中不斷予以改進，直到計算前的假定值與計算結果相差小于允許到計算前的假定值與計算結果相差小于允許值為止的

21、方法，稱迭代計算收斂。值為止的方法，稱迭代計算收斂。1 1） 直接解法：直接解法：通過有限次運算獲得精確通過有限次運算獲得精確解的方法，如：矩陣求解，高斯消元法。解的方法，如：矩陣求解，高斯消元法。 迭代法目前應用較多的是：迭代法目前應用較多的是： 1 1）高斯）高斯賽德爾迭代法：賽德爾迭代法：每次迭代計算，每次迭代計算，均是使用節(jié)點溫度的最新值。均是使用節(jié)點溫度的最新值。 2 2）用雅可比迭代法：）用雅可比迭代法：每次迭代計算，均用每次迭代計算，均用上一次迭代計算出的值。上一次迭代計算出的值。 設有一三元方程組設有一三元方程組： 11 112 213 3121 122 223 3231 13

22、2 233 33a ta ta tba ta ta tba ta ta tb其中其中 （ i=1,2,3 i=1,2,3 ； j=1,2,3 j=1,2,3 ）及）及 是已知的系數(shù)（均不為零）及常數(shù)。是已知的系數(shù)（均不為零）及常數(shù)。, i jaib采用高斯采用高斯賽德爾迭代法的步驟：賽德爾迭代法的步驟： （1 1）將三元方程變形為迭式方程：）將三元方程變形為迭式方程： 1112 213 3112221 123 3223331 132 2331()1()1()tba ta tatba ta tatba ta ta（2 2）假設一組解（迭代初場），記為）假設一組解（迭代初場），記為： 并代入迭代方

23、程求得第一并代入迭代方程求得第一 次解次解 每次計算均用最新值每次計算均用最新值代入。代入。 (0)(0)(0)123ttt、(1)(1)(1)123ttt、 、（3 3）以新的初場重復計算，直到相鄰兩）以新的初場重復計算，直到相鄰兩次迭代值之差小于允許值，則稱迭代收斂，次迭代值之差小于允許值，則稱迭代收斂，計算終止。計算終止。 )(1)0(313)0(212111) 1 (1tatabat)(1)0(323) 1 (121222) 1 (2tatabat(1)(1)(1)3331 132 2331()tba ta ta判斷迭代是否收斂的準則：判斷迭代是否收斂的準則：)(max)() 1()(

24、)() 1()() 1(maxmaxmaxkkikikikikikikittttttttk k及及k+1k+1表示迭代次數(shù)；表示迭代次數(shù)；第第k k次迭代得到的最大值；次迭代得到的最大值；(k)maxt當計算區(qū)域中有接近于零的當計算區(qū)域中有接近于零的t t時，第三個較好。時，第三個較好。36 1010E 允許的偏差；相對偏差 值一般取E說明：說明： 1 1 ）對于一個代數(shù)方程組，若選用的迭代方）對于一個代數(shù)方程組，若選用的迭代方式不合適，有可能導致發(fā)散，即稱式不合適，有可能導致發(fā)散，即稱迭代過程迭代過程發(fā)散發(fā)散； 2 2 ）對于常物性導熱問題，組成的差分方程）對于常物性導熱問題，組成的差分方程組，迭代公式的選擇應使一個迭代變量的系組，迭代公式的選擇應使一個迭代變量的系數(shù)總是大于或等于該式中其他變量系數(shù)絕對數(shù)總是大于或等于該式中其他變量系數(shù)絕對值的代數(shù)和，此時，結果一定收斂。值的代數(shù)和，此時，結果一定收斂。 3 3 ）采用熱平衡法導出差分方程時，若每）采用熱平衡法導出差分方程時，若每一個方程都選用導出該方程中心節(jié)點的溫一個方程都選用導出該方程中心節(jié)點的溫度作為迭代變量，則上述條件必滿足，迭度作為迭代變量，則上述條件必滿足，迭代