似不相關(guān)回歸

1、第十二章 似不相關(guān)回歸一、單一方程估計(jì)與系統(tǒng)估計(jì)截至目前，我們僅考慮對(duì)單一方程的估計(jì)，但有時(shí)候會(huì)出現(xiàn)多個(gè)方程的情形。如果多個(gè)方程之間有某種聯(lián)系，那么將這些方程同時(shí)進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)有可能提高估計(jì)的效率，這被稱為系統(tǒng)估計(jì)。cross-equation restrictions有時(shí)多個(gè)方程是從同一個(gè)最大化問題推導(dǎo)而來（比如，從企業(yè)的利潤最大化問題導(dǎo)出對(duì)資本與勞動(dòng)力的需求），故在理論上存在跨方程的參數(shù)約束（ ）。多方程聯(lián)合估計(jì)為檢驗(yàn)這些跨方程約束提供了可能。也可以在加上這些約束條件后再進(jìn)行系統(tǒng)估計(jì)。contaminate對(duì)多方程系統(tǒng)進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)的缺點(diǎn)是，如果某個(gè)方程的誤差較大，則系統(tǒng)估計(jì)會(huì)將這一方程的誤差

2、帶入其他方程中，進(jìn)而污染（）整個(gè)方程系統(tǒng)。故選擇單一方程估計(jì)或系統(tǒng)估計(jì)，實(shí)際上是在有效性與穩(wěn)健性之間的權(quán)衡。simultaneous equations多方程系統(tǒng)主要分為兩類。一類為聯(lián)立方程組（），即不同方程之間的變量存在內(nèi)在的聯(lián)系，一個(gè)方程的解釋變量是另一方程的被解釋變量。SeeminglyUnrelated Regression EstimationSURSURE另一類為似不相關(guān)回歸（ ，或），即各方程的變量之間沒有內(nèi)在聯(lián)系，但各方程的擾動(dòng)項(xiàng)之間存在相關(guān)性。本章介紹似不相關(guān)回歸例：以研一學(xué)生的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)成績與英語成績作為兩個(gè)被解釋變量。這兩個(gè)方程所包含的解釋變量可以不同，比如，第一個(gè)方程可

3、以包括虛擬變量“是否學(xué)過本科計(jì)量學(xué)”，而第二個(gè)方程可以包括“考研英語成績”。這兩個(gè)方程的變量之間貌似沒有聯(lián)系，但由于同一學(xué)生的不可觀測因素同時(shí)對(duì)計(jì)量成績與英語成績?cè)斐捎绊?，故兩個(gè)方程的擾動(dòng)項(xiàng)應(yīng)該是相關(guān)的。如果將這兩個(gè)方程同時(shí)進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)，則可以提高估計(jì)效率。二、似不相關(guān)回歸的假定innTTniK似不相關(guān)回歸模型的假定如下：假設(shè)共有 個(gè)方程（ 個(gè)被解釋變量），每個(gè)方程共有 個(gè)觀測值，在第 個(gè)方程中，共有個(gè)解釋變量。iiiiiiT 1T K K1T 1iyXin第 個(gè)方程可以寫為 （ 1，2， ， ）nniii=1i=111112222nnnnnT 1nT 1K1nTKyX0yXyXy0X 將所有

4、方程疊放在一起可得112212nnn1 1121n2 1222nn1n2nnnT nTVarEE 可以想象，在電腦中，也把數(shù)據(jù)排成這個(gè)樣子（需要加上許多零）。考察大擾動(dòng)項(xiàng) 的協(xié)方差矩陣iiiiii TiiiEI 假設(shè)同一方程不同期的擾動(dòng)項(xiàng)不存在自相關(guān)，且方差也相同，記第 個(gè)方程的方差為。則協(xié)方差矩陣中主對(duì)角線上的第 ， 個(gè)矩陣為ijitjstsE0ts 假設(shè)不同方程的擾動(dòng)項(xiàng)之間存在同期相關(guān)（如果是橫截面數(shù)據(jù)，則指的是不同方程對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)項(xiàng)之間， 存在相關(guān)性），即，ijij Tijij EI 則協(xié)方差陣 中的第 ， 個(gè)矩陣為11 T12 T1n T21 T22 T2n Tn1 Tn2 Tnn TI

5、IIIIIIII綜合以上結(jié)果可知 TTIIKronecker product由于 中的每個(gè)小塊矩陣都有共同的因子 ，我們自然想把 從右邊提取出來。這可以通過矩陣的克羅奈克積（ ）來實(shí)現(xiàn)。111nm nm1mnp q111nm1mnmp nqaaAaaBABa Ba BABaBaB定義：對(duì)于任意兩個(gè)矩陣與（矩陣 ， 的維度可以完全不同），克羅奈克積為 111ABAB1ABCDACBD2ABAB 3ABAB容易看出，對(duì)于任意矩陣 ， ，其克羅奈克積總是有定義的。可以證明，克羅奈克積具有以下性質(zhì)：11121n21222nTTn1n2nnII使用克羅奈克積，可以將擾動(dòng)項(xiàng) 的協(xié)方差矩陣簡化為 11121

6、n21222nn1n2nn11TI 其中，為同期協(xié)方差矩陣。根據(jù)克羅奈克積的性質(zhì)， 的逆矩陣可以寫為 FGLS三、估計(jì)111GLS111TTOLSyXGLSXXXyXIXXIy由于 不是單位矩陣，故用估計(jì)這個(gè)多方程系統(tǒng) 不是最有效率的。假設(shè) 已知，則是最有效率的估計(jì)方法： GLSOLSGLSOLSGLS一般來說，這個(gè)估計(jì)量與單一方程估計(jì)量不同。但如果出現(xiàn)以下兩種情形之一，則與單一方程的結(jié)果完全相同，使用并不會(huì)提高效率。 1當(dāng)各方程的擾動(dòng)項(xiàng)互不相關(guān)時(shí)。在似不相關(guān)回歸模型中，各方程間唯一的聯(lián)系就是擾動(dòng)項(xiàng)之間的相關(guān)性。如果擾動(dòng)項(xiàng)互不相關(guān)，則 是單位矩陣，那么不難證明系統(tǒng)估計(jì)與單一方程估計(jì)并無區(qū)別。

7、2VAROLSVAR當(dāng)每個(gè)方程包含的解釋變量完全相同時(shí)。比如，向量自回歸模型中的每個(gè)方程包含完全相同的解釋變量，故使用單一方程估計(jì)就夠了12nGLSXXXGLSGLSOLS除了以上兩種特殊情形外，通常來說，各方程的擾動(dòng)項(xiàng)之間的相關(guān)性越大，則所能帶來的效率改進(jìn)就越大；各方程的數(shù)據(jù)矩陣， ，之間的相關(guān)性越小，則所能帶來的效率改進(jìn)也越大（如果各數(shù)據(jù)矩陣完全相同，則還原為單一方程）ijFGLSOLSOLS然而，在現(xiàn)實(shí)中 一般是未知的，故首先需要估計(jì)，然后進(jìn)行估計(jì)。由于對(duì)每個(gè)方程分別進(jìn)行回歸也是一致的，故可以使用單一方程的殘差來一致地估計(jì)。iijTijijitjtt=1iOLSe11e ee eTT假設(shè)

8、第 個(gè)方程的殘差向量為 ，則的一致估計(jì)量為 11121n21222nTn1n2nn111GLS111SURSURSURIXXXyXXXy FGLS因此， 將代入方程可得 這就是似不相關(guān)估計(jì)量，記為。使用后得到新的殘差，可以再一次計(jì)算，不斷迭代直至系數(shù)估計(jì)值收斂四、假設(shè)檢驗(yàn)00SURHRrHRrRrFGLS在對(duì)多方程系統(tǒng)進(jìn)行估計(jì)后，對(duì)線性假設(shè)“： ”的檢驗(yàn)可以照常進(jìn)行。由于 包含了所有方程的參數(shù)，故可以檢驗(yàn)方程的參數(shù)約束。如果接受“： ”，則可把“ ”作為約束條件，進(jìn)行有約束的估計(jì)。SUROLSSU需要指出的是，即使各方程的解釋變量完全相同（這種情況在經(jīng)濟(jì)學(xué)中常常出現(xiàn)。比如，對(duì)一組商品的需求取決

9、于這組商品的價(jià)格及收入；對(duì)一組資產(chǎn)的需求份額取決于這組資產(chǎn)的回報(bào)率及總財(cái)富。當(dāng)需求份額必須加總為1時(shí)，可以選擇將其中一個(gè)方程去掉，否則擾動(dòng)項(xiàng)的協(xié)方差矩陣將為不可逆的退化矩陣），有時(shí)也使用而不使用單一方程以便檢驗(yàn)跨方程的參數(shù)約束。如果存在跨方程的參數(shù)約束，則即使各方程的解釋變量完全相同，ROLS估計(jì)與單一方程也不再等價(jià)。00SURHH模型的基本假設(shè)是，各方程的擾動(dòng)項(xiàng)之間存在同期相關(guān)。為此，可以檢驗(yàn)原假設(shè)“：各方程的擾動(dòng)項(xiàng)無同期相關(guān)”，即“： 為對(duì)角矩陣”。ni-1d22LMiji=2 j1ijijijiijjBreusch and PaganLMTrn n-12r 建議使用以下統(tǒng)計(jì)量： 其中， 為根據(jù)殘差計(jì)算的擾動(dòng)項(xiàng) 與 之間的同期相關(guān)系數(shù)，ni-12iji=2 j111121n21222nn1n2nnrrrrrrrrrr而為同期相關(guān)