九年級數(shù)學(xué)下冊26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)幫你理解二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系素材(新版

1、幫你理解二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系一元二次方程的解法及應(yīng)用是同學(xué)們較熟悉的知識點，但對于二次函數(shù)的問題就沒那么得心應(yīng)手了.這二者之間有沒有聯(lián)系， 學(xué)習(xí)中是否可以相互借鑒呢？這些問題需要我們認(rèn)真 搞清楚.一元二次方程是指含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的整式方程.所有的一元二次方程都可化為這樣的一般形式：ax2+bx+c=0 (x是未知數(shù)，a、b、c是常數(shù)，且a* 0),2而二次函數(shù)是指形如y=a x+bx+c(x是自變量，a、b、c是常數(shù)，且a* 0)的函數(shù).由此 可見，二者之間是有一定的聯(lián)系.當(dāng)二次函數(shù)中的函數(shù)值確定了， 也就是當(dāng)y取一個常數(shù)，此時函數(shù)就變成了一個一元二 次

2、方程.而當(dāng)一元二次方程右邊的常數(shù) 0 換成一個變量y之后，此時的一元二次方程就變成 了二次函數(shù)下面結(jié)合具體的例子講解它們的關(guān)系.例 1、要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場根據(jù)場地和時間等 條件，賽程計劃每天安排 4 場比賽(不許有空場)(1)若安排 7 天的比賽時間，比賽組織者應(yīng)邀請多少個隊參賽？(2)若安排 9 天的比賽時間，比賽組織者應(yīng)邀請多少個隊參賽？(3)能否安排 10 天的比賽時間？(4)若比賽組織者邀請x個隊參賽，安排y天的比賽時間，試寫出y與x之間的函 數(shù)關(guān)系式.分析：(1)、(2)、(3)題中由于比賽的天數(shù)都已確定，只有邀請參賽的隊數(shù)未知，所以 都可通過列一元

3、二次方程來解決；而(4)中只存在兩個變量， 所以屬二次函數(shù)的應(yīng)用問題.解：(1)設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請x個隊參賽，根據(jù)題意得，1x(x-1 ) =282化簡得x2x 56=0解之得，X1=8,X2= 7 (不合題意，舍)答：比賽組織者應(yīng)邀請 8 個隊參賽.(2)設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請x個隊參賽，根據(jù)題意得，1x(x-1 ) =362化簡得x2x 72=0解之得，X1=9,X2= 8 (不合題意，舍)答：比賽組織者應(yīng)邀請 9 個隊參賽.(3)假設(shè)能設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請x個隊參賽，根據(jù)題意得，1x(x-1 ) =4022化簡得x2x 80=0解之得，Xi=l321,X2=l321(值為負(fù)，不合題意，舍)2

4、2因為xi=321不是整數(shù)，因而不滿足題意，舍2所以不能按排 10 天的比賽時間.1(4) 根據(jù)題意得y=x(x 1)2121去括號得，y=xx2 2點評：由上例可以看出當(dāng)問題中只有一個未知數(shù)時，我們就用一元二次方程來解決， 當(dāng)問題中有兩個未知數(shù)時， 當(dāng)我們把其中一個看作自變量， 另一個看作是自變量的函數(shù)時， 就 可用函數(shù)來解決.我們再用下面這道例題來加深對一元二次方程和函數(shù)的理解.例 2、用一根長為 100m 的繩子圍成一個矩形場地，(1)矩形的長為多少 m 時，矩形場地的面積是 400卅？(2)能否圍成面積是 800卅的矩形場地？(3)能否圍成一個面積最大的矩形場地，若能，求出矩形的長和寬

5、；若不能說明其 中的道理.分析：從題中可以看出，顯然(1 )、(2)兩問仍可用一元二次方程來解決.(3)所求的矩形面積要最大，是一種特殊情況，我們可以先求出一般情況，此時面積未定，可列出二次函數(shù)的解析式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)來解決.解：(1)設(shè)矩形的長為xm 則寬為(50 x),根據(jù)題意得，x(50 x)= 400解之得，X1=40,x2=10當(dāng)X2=10 時，(50 x) =4010,不合題意，舍答：矩形的長為 40m 時，矩形場地的面積是 400吊(2) 假設(shè)能，設(shè)矩形的長為xm 則寬為(50 x)，根據(jù)題意得，x(50 x)= 800整理得x 50 x+ 800=0此方程無解答：不能圍成面積是 800吊的矩形場地.(3) 設(shè)矩形的長為xm,面積為ym2,根據(jù)題意得，y=x（ 50-x）整理得，y=(x 25)2+ 625由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)x=25 時，y有最大值 625此時寬為 50 25= 25 ( m答：矩形的長為