九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)幫你理解二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系素材(新版

1、幫你理解二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系一元二次方程的解法及應(yīng)用是同學(xué)們較熟悉的知識(shí)點(diǎn)，但對(duì)于二次函數(shù)的問題就沒那么得心應(yīng)手了.這二者之間有沒有聯(lián)系， 學(xué)習(xí)中是否可以相互借鑒呢？這些問題需要我們認(rèn)真 搞清楚.一元二次方程是指含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的整式方程.所有的一元二次方程都可化為這樣的一般形式：ax2+bx+c=0 (x是未知數(shù)，a、b、c是常數(shù)，且a* 0),2而二次函數(shù)是指形如y=a x+bx+c(x是自變量，a、b、c是常數(shù)，且a* 0)的函數(shù).由此 可見，二者之間是有一定的聯(lián)系.當(dāng)二次函數(shù)中的函數(shù)值確定了， 也就是當(dāng)y取一個(gè)常數(shù)，此時(shí)函數(shù)就變成了一個(gè)一元二 次

2、方程.而當(dāng)一元二次方程右邊的常數(shù) 0 換成一個(gè)變量y之后，此時(shí)的一元二次方程就變成 了二次函數(shù)下面結(jié)合具體的例子講解它們的關(guān)系.例 1、要組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等 條件，賽程計(jì)劃每天安排 4 場(chǎng)比賽(不許有空?qǐng)?(1)若安排 7 天的比賽時(shí)間，比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽？(2)若安排 9 天的比賽時(shí)間，比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽？(3)能否安排 10 天的比賽時(shí)間？(4)若比賽組織者邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，安排y天的比賽時(shí)間，試寫出y與x之間的函 數(shù)關(guān)系式.分析：(1)、(2)、(3)題中由于比賽的天數(shù)都已確定，只有邀請(qǐng)參賽的隊(duì)數(shù)未知，所以 都可通過列一元

3、二次方程來解決；而(4)中只存在兩個(gè)變量， 所以屬二次函數(shù)的應(yīng)用問題.解：(1)設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意得，1x(x-1 ) =282化簡(jiǎn)得x2x 56=0解之得，X1=8,X2= 7 (不合題意，舍)答：比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng) 8 個(gè)隊(duì)參賽.(2)設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意得，1x(x-1 ) =362化簡(jiǎn)得x2x 72=0解之得，X1=9,X2= 8 (不合題意，舍)答：比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng) 9 個(gè)隊(duì)參賽.(3)假設(shè)能設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意得，1x(x-1 ) =4022化簡(jiǎn)得x2x 80=0解之得，Xi=l321,X2=l321(值為負(fù)，不合題意，舍)2

4、2因?yàn)閤i=321不是整數(shù)，因而不滿足題意，舍2所以不能按排 10 天的比賽時(shí)間.1(4) 根據(jù)題意得y=x(x 1)2121去括號(hào)得，y=xx2 2點(diǎn)評(píng)：由上例可以看出當(dāng)問題中只有一個(gè)未知數(shù)時(shí)，我們就用一元二次方程來解決， 當(dāng)問題中有兩個(gè)未知數(shù)時(shí)， 當(dāng)我們把其中一個(gè)看作自變量， 另一個(gè)看作是自變量的函數(shù)時(shí)， 就 可用函數(shù)來解決.我們?cè)儆孟旅孢@道例題來加深對(duì)一元二次方程和函數(shù)的理解.例 2、用一根長(zhǎng)為 100m 的繩子圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，(1)矩形的長(zhǎng)為多少 m 時(shí)，矩形場(chǎng)地的面積是 400卅？(2)能否圍成面積是 800卅的矩形場(chǎng)地？(3)能否圍成一個(gè)面積最大的矩形場(chǎng)地，若能，求出矩形的長(zhǎng)和寬

5、；若不能說明其 中的道理.分析：從題中可以看出，顯然(1 )、(2)兩問仍可用一元二次方程來解決.(3)所求的矩形面積要最大，是一種特殊情況，我們可以先求出一般情況，此時(shí)面積未定，可列出二次函數(shù)的解析式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)來解決.解：(1)設(shè)矩形的長(zhǎng)為xm 則寬為(50 x),根據(jù)題意得，x(50 x)= 400解之得，X1=40,x2=10當(dāng)X2=10 時(shí)，(50 x) =4010,不合題意，舍答：矩形的長(zhǎng)為 40m 時(shí)，矩形場(chǎng)地的面積是 400吊(2) 假設(shè)能，設(shè)矩形的長(zhǎng)為xm 則寬為(50 x)，根據(jù)題意得，x(50 x)= 800整理得x 50 x+ 800=0此方程無解答：不能圍成面積是 800吊的矩形場(chǎng)地.(3) 設(shè)矩形的長(zhǎng)為xm,面積為ym2,根據(jù)題意得，y=x（ 50-x）整理得，y=(x 25)2+ 625由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)x=25 時(shí)，y有最大值 625此時(shí)寬為 50 25= 25 ( m答：矩形的長(zhǎng)為