高等數(shù)學 第十二章 級數(shù)

1、第十二章 級數(shù)一、本章提要1基本概念正項級數(shù)，交錯級數(shù)，冪級數(shù)，泰勒級數(shù)，麥克勞林級數(shù)，傅里葉級數(shù)，收斂，發(fā)散，絕對收斂，條件收斂，部分和，級數(shù)和，和函數(shù)，收斂半徑，收斂區(qū)間，收斂域2基本公式在處的泰勒級數(shù)系數(shù)：，；(2)傅里葉系數(shù)： 3基本方法比較判別法，比值判別法，交錯級數(shù)判別定理，直接展開法，間接展開法4定理比較判別定理，比值判別定理，交錯級數(shù)判別定理，求收斂半徑定理，冪級數(shù)展開定理，傅里葉級數(shù)展開定理二、要點解析問題1 有限個數(shù)相加與無窮個數(shù)相加有什么區(qū)別和聯(lián)系？何謂無窮級數(shù)的和？解析 有限個數(shù)相加與無窮個數(shù)相加是有本質區(qū)別的為了敘述方便，稱前者為有限加法，后者為無限累加我們知道有限個

2、數(shù)相加之和是一個確定的數(shù)值，而無窮個數(shù)相加只是一種寫法，即沿用了有限加法的符號來表示無限累加我們不可能用有限加法的方法來完成無限累加，尤其是無限累加未必是一個確定的數(shù)值另外，有限加法中的結合律和交換律在無限累加中也不一定成立但是，無限累加與有限加法又是緊密聯(lián)系的我們在研究無限累加時，是以有限加法(部分和)為基礎的，即從部分和出發(fā)，討論其極限是否存在若極限存在，則無限累加有和，也就是無窮級數(shù)有和(收斂)，其和等于這個極限值；否則，無限累加無和，當然，無窮級數(shù)也無和(發(fā)散)由此看出，級數(shù)的收斂與發(fā)散，反映了無窮多個數(shù)累加的趨勢級數(shù)收斂就是無窮多個數(shù)累加可以得到一個確定的數(shù)值一般情況下，這個和的數(shù)值

3、不易求得，教科書上只就和是否存在，即級數(shù)是否收斂給出一些判別法則例1 我們考察著名的波爾查諾（Bolzano，B）級數(shù)的求和問題設，則有：解一 ；解二 ；解三 ，于是這些矛盾的結果，在歷史上曾使人懷疑過數(shù)學的精確性不可靠柯西指出：以上解法犯了墨守成規(guī)的錯誤，即把有限的結合律、交換律以及有限項總存在代數(shù)和的觀念照搬到無限項的運算之中柯西的研究，澄清了那個時代對無限運算的糊涂觀念，引起了思想解放，其實級數(shù)是發(fā)散的問題2 如何判別正項級數(shù)的收斂性?解析 判別一個正項級數(shù)是否收斂沒有固定的方法步驟，一般的作法有：(1)利用級數(shù)收斂的必要條件，若，則發(fā)散；否則改用其他方法判別；(2)若它是或可能轉化為等

4、比級數(shù)或級數(shù)，則由它們的收斂條件來判別；(3) 用比值判別法或用比較判別法來判別；(4) 除以上方法外，還可用正項級數(shù)收斂的充要條件來進行判別，但使用此法需要一定的技巧，比如拆項求和，借助一些不等式等對此讀者可參考有關書籍還有一些方法，因本書中沒有介紹，這里就不列舉了，有興趣的讀者可參看其他教材例2 判別的收斂性解一 因，且收斂，故由比較判別法可知，收斂解二 因，故由比值判別法可知， 收斂問題3 判別任意項級數(shù)的收斂性的一般步驟是什么?解析 (1)若，則級數(shù)發(fā)散，若，則需要進一步判別；(2)判別是否收斂，若收斂，則為絕對收斂，若發(fā)散，再看它是否條件發(fā)散(如果是采用比值法判別發(fā)散的，那么也發(fā)散，

5、因)；(3)若為交錯級數(shù)，可用萊布尼茨判別法；(4)直接用收斂定義或性質判別例3 判別的收斂性若收斂，是絕對收斂還是條件收斂解 這是交錯級數(shù)，因 ，而發(fā)散，故發(fā)散又因， 且，即該級數(shù)滿足萊布尼茨判別條件，故它收斂，而且為條件收斂例4 判別級數(shù)的收斂性解 級數(shù)由于調(diào)和級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散問題4 求冪級數(shù)的收斂區(qū)間或收斂域時應注意寫些什么?解析 如果是不缺項的冪級數(shù)，又存在，可以先按公式求出收斂半徑，并寫出收斂區(qū)間；再判定處的收斂性，以確定其收斂域如果不存在，或不是標準的冪級數(shù)(比如缺奇次冪或缺偶次冪，或含的冪等)，則要因題而異采取變量替換等方法化為標準的形式，求出新級數(shù)的收斂區(qū)間后，再回代求出

6、原級數(shù)的收斂區(qū)間或收斂域，也可以直接用比值法求前后項之比的極限(此時它不為常數(shù)而帶有參數(shù))，再進一步求出收斂區(qū)間或收斂域讀者可以通過下面的例題來體會并加以總結例5 求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域解 這是標準的冪級數(shù)因為，所以，由 ，得到所給級數(shù)的收斂半徑為，收斂區(qū)間為當時，級數(shù)為，發(fā)散；當時，級數(shù)為，收斂因此所給級數(shù)的收斂域為 例6 求冪級數(shù)的收斂域 解 因為，所以收斂半徑，收斂域為 例7 求冪級數(shù)的收斂域解 令，原級數(shù)變?yōu)?，因為，所以其收斂半徑為，收斂區(qū)間為 當時，發(fā)散；當時，收斂，故的收斂域為，顯然原級數(shù)的收斂域為 問題5 把函數(shù)展開為冪級數(shù)有哪些方法?求冪級數(shù)的和函數(shù)有哪些方法? 解析 一般

7、說來，將展開為冪級數(shù)有兩種方法一種是直接展開：就是先寫出泰勒級數(shù)，然后證明其余項的極限為，即參見教材上的幾個例子另一種為間接展開：作適當恒等變形，使之化為可利用的已知的幾個展開式；或利用級數(shù)的加、減、乘等運算；或發(fā)現(xiàn)其導函數(shù)(或積分)可用常見的幾個展開式表示，再通過逐項積分(或微分)得到原函數(shù)的冪級數(shù)展開式等等用此類方法既可避免求的各階導數(shù)，也無需研究其余項，并且討論收斂區(qū)間也比較方便 求和函數(shù)的方法基本上有五個：利用冪級數(shù)的和、差、積的運算性質；利用冪級數(shù)的逐項微分或逐項積分的性質；利用某些常見的冪級數(shù)展開式；利用初等數(shù)學公式及變量代換；化為微分方程求解參見下面例題 例8 將展開為的冪級數(shù)

8、解 因，而 ， ，故注：一個函數(shù)展開為個冪級數(shù)之和，其收斂區(qū)間為個冪級數(shù)收斂區(qū)間的交集 例9 將展開成含的冪級數(shù) 解 令，則 1， 故 于是得 例10 求的和函數(shù) 解 因且時級數(shù)收斂，故收斂區(qū)間為設，則 ，又，故積分得，因，故再積分得 ，又因，故得 此例通過微分方程亦可求得 例11 求的收斂區(qū)間及和函數(shù) 解 因，故收斂區(qū)間為設，而 ，故 ，即 ，注：對于給定的冪級數(shù)，如果一般項如例那樣：， 常用“先微后積”的辦法求和(系數(shù)分母中含有冪指數(shù)的因子)； 對于給定的冪級數(shù)，如果一般項如例那樣：，常用“先積后微”的辦法求和（系數(shù)分子中含有冪指數(shù)加的因子）； 冪級數(shù)在收斂區(qū)間逐項微分或逐項積分后，收斂半

9、徑不變，但端點處的斂散性可能改變，如例 問題6 傅里葉級數(shù)與冪級數(shù)有何不同?求函數(shù)的傅里葉級數(shù)與將函數(shù)展成傅里葉級數(shù)是否為一回事 ? 解析 傅里葉級數(shù)的結構與冪級數(shù)不同，它的各項均為正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，它們都是周期函數(shù)，因此，傅里葉級數(shù)能呈現(xiàn)出函數(shù)的周期性，而冪級數(shù)則不能正因為這樣，傅里葉級數(shù)對振動電子信號等周期性現(xiàn)象的研究具有非常重要的意義同時，一個函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開(簡稱傅里葉展開)的條件要比冪級數(shù)展開的條件低得多，它不僅不需要函數(shù)具有任意階導數(shù)，就連函數(shù)的連續(xù)性也不要求，只須滿足收斂定理條件即可這樣就可以使得一般的函數(shù)均能展成傅里葉級數(shù)，當然它的收斂域比較復雜，系數(shù)計算也比較復雜，逐項

10、求導和逐項積分則需附加很強的條件而冪級數(shù)的收斂域是區(qū)間，系數(shù)的計算也相對簡單，最重要的是冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以自由的運算，不僅可以把有限的四則運算帶到無窮級數(shù)中來，還可以把有限個函數(shù)的（逐項）微分和（逐項）積分等解析運算也帶進無窮級數(shù)中來 求的傅里葉級數(shù)與將展成傅里葉級數(shù)不是一回事，就像一個函數(shù)的泰勒級數(shù)與其泰勒展開式不是一回事一樣所謂求的傅里葉級數(shù)是指：若它在上可積，則由公式計算出以，為系數(shù)的三角級數(shù)，就是的傅里葉級數(shù)顯然，只要在上可積，總可以用公式計算出，從而可寫出它的傅里葉級數(shù) 問題是滿足什么條件這個傅里葉級數(shù)收斂于?只要滿足收斂定理條件，這個傅里葉級數(shù)一定收斂，在連續(xù)點處收斂于，在間斷

11、點處收斂于該點左、右極限的平均值我們說將展成傅里葉級數(shù)就是指：若滿足收斂定理條件，則在使的點處有 ， 一般說來，使上式成立的范圍就是的連續(xù)范圍 三、例題精解 例12 中的“”意味著什么？ 解 這三個點表明級數(shù)的項無窮多，沒有盡頭，去掉三個點就稱為多項式，不稱為級數(shù) 例13 驗證歐拉公式 ，因為，所以我們重新寫級數(shù)為 即 例14 (付款現(xiàn)值模型) 某企業(yè)家支持一個球隊，簽如下合同：今后年，每年向球隊支付萬元人民幣問企業(yè)家存入銀行多少錢才能保證付清所有的應付款呢?假設存儲是有利息的，企業(yè)家只需存入比萬元人民幣少得多的錢，這個少得多的存款額稱為萬元的現(xiàn)值解 現(xiàn)值的定義：將來應付款元的現(xiàn)值元，是一個必

12、須今天存在銀行賬戶上的值，它使得在將來的某個相關時間，賬戶上的值恰好等于元 若年利率為，對年，每年次以復利計算利息，則 或， 若利息以年利率為的連續(xù)復利計算，可得 或 求球隊合同的現(xiàn)值：設付款分次，球隊每次獲得萬元，第一次付款是在簽約當天，設整個合同執(zhí)行期間以的年復利計算利息 第1筆付款發(fā)生在簽約的當天： 第筆付款現(xiàn)值(百萬元)， 第2筆付款發(fā)生在一年后實現(xiàn)： 第筆付款現(xiàn)值(百萬元)，第3筆付款發(fā)生在兩年后實現(xiàn)： 第筆付款現(xiàn)值(百萬元)，同樣 第筆付款現(xiàn)值(百萬元)，總的現(xiàn)值（百萬元），即企業(yè)家只需存入萬元現(xiàn)值即可若合同永不停止地每年支付萬元，則該合同的現(xiàn)值是多少?即假設從簽約之日起，每年付一

13、次，且永不停止設利率為每年，以連續(xù)復利計算 第筆付款現(xiàn)值(百萬元)， 第筆付款現(xiàn)值(百萬元)， 第筆付款現(xiàn)值(百萬元)， 總的現(xiàn)值，這是一個的幾何級數(shù)，求和得總的現(xiàn)值(百萬元)四、練習題判斷正誤（）函數(shù)的冪級數(shù)展開式一定是此函數(shù)的泰勒級數(shù)； （ ）解析 由函數(shù)的冪級數(shù)展開式的唯一性可知，如果能展開成的冪級數(shù)，那么冪級數(shù)就是的泰勒級數(shù)（）函數(shù)的麥克勞林級數(shù)一定是此函數(shù)的冪級數(shù)展開式； （ ）解析 當?shù)柠溈藙诹旨墧?shù)不收斂或不收斂于時，不可展開成為冪級數(shù)，所以函數(shù)的麥克勞林級數(shù)不一定是此函數(shù)的冪級數(shù)展開式（）因為所以正項級數(shù)收斂； （ ）解析 是級數(shù)收斂的必要條件，而非充分條件此題的結論應為：正項級

14、數(shù)收斂，則例如級數(shù)，有，但級數(shù)發(fā)散（）交錯級數(shù)若則收斂（）解析 此結論應用的是判定交錯級數(shù)斂散性的“萊布尼茨判別法”，但缺少了一個條件“”判斷題（） 正項級數(shù)若滿足條件（ D ）必收斂；（）； （）；（）； （）解析 此題考察的是正項級數(shù)的比值判別法，定理中要求時收斂，故選D（） 若在處收斂，則它在處（ D ）； （A）發(fā)散； （B）條件收斂； （C）絕對收斂； （D）不能判斷解析 設，則原級數(shù)轉化為當時，由冪級數(shù)收斂域關于原點的對稱性，知在（，2）必收斂，而在不能確定其斂散性當時，所以不能確定級數(shù)的斂散性（） 關于冪函數(shù)，下列結論正確的是（C ）；（）當且僅當時收斂；（）當時收斂；（）當時收

15、斂；（）當時收斂解析 因為 ，所以收斂半徑為1，從而收斂區(qū)間為當時，發(fā)散，當時，收斂，所以收斂域為（）設級數(shù)，且，則（ C ）正確（）若收斂，則必收斂；（）若發(fā)散，則必發(fā)散；（）若，都收斂，則必收斂；（）若，都發(fā)散，則必發(fā)散解析 由級數(shù)性質的兩邊夾定理可知，若級數(shù)，都收斂，則級數(shù)必收斂填空題（） 函數(shù)的泰勒級數(shù)收斂于的必要條件是 ；解 因為泰勒級數(shù)收斂于，因此必定滿足級數(shù)收斂的必要條件，所以（）寫出麥克勞林展開式，并注明收斂域； ； ； ； ； ；（）設的收斂半徑為R，則的收斂半徑為 ；解 由于的收斂半徑為，則的收斂區(qū)間為于是，對于級數(shù)，所以，的收斂半徑為 （） 設以為周期，在的表達式為則的傅

16、里葉級數(shù)在處收斂于 解 因為 ，從而 ，即在處連續(xù)，所以，的傅里葉級數(shù)在處收斂于 = 解答題（） 求的收斂域與和函數(shù)；解 因為 =，設=，容易求得，此級數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為（-1，1）設 =，積分得 =，求導得 =，再求導得 =，所以 = (2) 分別求級數(shù)與的和函數(shù)；解 （a）設 =，積分得 =，求導得 =，所以 = （b ） = 設 =，求導得 =，積分得 =-=，所以 =(3) 將展開成的冪級數(shù)；解 因為 =，又因為 =，所以 = ， 即 (4) 將展開為的冪級數(shù)；解 因=，而=，=，所以 =(5) 設將在上展成傅里葉級數(shù)，傅葉級數(shù)在處收斂于什么？解 計算傅里葉系數(shù)=，=+=-=，所以，的傅里葉級數(shù)展開式為=+因為=，=0，所以，傅里葉級數(shù)在處收斂于(6) 判斷的斂散性；解 因為 <=，而級數(shù)=是的級數(shù)，收斂，根據(jù)正項級數(shù)收斂的比較判別法知，級