高等數(shù)學(xué)競賽試題參考解答

1、學(xué)院 班號 學(xué)號 姓名密封線以內(nèi)答題無效高等數(shù)學(xué)競賽試題參考解答一、選擇題（40分）1. 下列命題中正確的命題有幾個？ （ A ）（1）無界變量必為無窮大量； (2) 有限多個無窮大量之和仍為無窮大量；（3）無窮大量必為無界變量； (4) 無窮大量與有界變量之積仍為無窮大量.(A) 1個； (B) 2個； (C) 3個； (D) 4個. 11, x0xsin, x02. 設(shè) f(x)=，g(x)= 則x=0是間斷點的函數(shù)是 （ B ） x0, x=01 , x=0(A) f(x)+g(x)； (B) f(x)-g(x)； (C) maxf(x), g(x)； (D) minf(x), g(x)

2、 .3. 設(shè)為f(x)=arctanx在 0, b上應(yīng)用拉格朗日中值定理的“中值”，則 lim b02b2 = （ C ）(A) 1； (B) 111 ； (C) ； (D) . 234x04. 設(shè)f(x) , g(x)連續(xù)，當(dāng)x0時，f(x)與g(x)為等價無窮小，令F(x)=f(x-t)dt，G(x)=x g(xt) dt, 則當(dāng)x0時，F(xiàn)(x) 是 G(x)的 （ D ） 01(A) 高階無窮??； (B) 低階無窮??； (C) 同階無窮小但非等價無窮??；(D) 等價無窮小.x0y05. 設(shè)f(x,y)在點(0,0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足 lim f(x,y)-f(0,0)=-3 x2+1

3、-xsiny-cos2y則f(x,y)在點(0,0)處 （ A ）(A) 取極大值； (B) 取極小值； (C) 無極值； (D) 不能確定是否有極值.6. 設(shè)f(x)在(-,+)連續(xù)，且導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖形如圖所示，則f(x)有 （ D ）(A) 1個極小值點與2個極大值點，無拐點；(B) 2個極小值點與1個極大值點，1個拐點；(C) 2個極小值點與2個極大值點, 無拐點；(D) 2個極小值點與2個極大值點，1個拐點.7. 設(shè)f有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，則13(1,2)(0,0)f(x+y)dx+f(x+y)dy= （ B ） (A) 2f(x) dx； 0(B) 0f(x) dx；

4、(C) f(3)-f(0)； (D) 0 . 8. 設(shè)任意項級數(shù) an條件收斂，將其中的正項保留負(fù)項改為0所組成的級數(shù)記為bn, 將其中的負(fù)項保留正n=1n=1n=1n=1n=1項改為0所組成的級數(shù)記為cn，則bn與cn （ B ）(A) 兩者都收斂； (B) 兩者都發(fā)散； (C)一個收斂一個發(fā)散；1 (D) 以上三種情況都可能發(fā)生. 第 頁 共 4 頁學(xué)院 班號 學(xué)號 姓名密封線以內(nèi)答題無效9. 設(shè) n階矩陣A的伴隨矩陣 A*O，且非齊次線性方程組 A x= 有兩個不同的解向量1 , 2，則下列命題正確的是 （ D ）(A) 1+2也是A x=的解； (B) A x=的通鮮為x=k11+k2

5、2 （k1,k2R）； (C) 滿足A-E=0的數(shù)必不為零；(D) 1-2 是A x=0的基礎(chǔ)解系.a1b1c1d11:a1x+b1y+c1z=d110. 設(shè)1=a2 ,2=b2 ,3=c2 ,4=d2 ,則三個平面 2:a2x+b2y+c2z=d2a3b3c3d33:a3x+b3y+c3z=d3兩兩相交成三條平行直線的充要條件是 （ C (A) 秩r(1,2,3)=1, r(1,2,3,4)=2; (B) 秩r(1,2,3)=2, r(1,2,3,4)=3;(C) 1,2,3中任意兩個均線性無關(guān)，且4不能由1,2,3線性表出;(D) 1,2,3線性相關(guān)，且4不能由1,2,3線性表出. 二、(

6、10分）設(shè)f(x)在區(qū)間(-,+)連續(xù)，F(xiàn)(x)=1x+a2ax-af(t) dt (a>0), G(x)=x0f(t) dt, 試解答下列問題：（1）用G(x)表示F(x)；（2）求F'(x)；（3）求證：lim a0F(x)=f(x)；（4）設(shè)f(x)在x-a,x+a內(nèi)的最大值和最小值分別是M、m,求證：F(x)-f(x)M-m.解（1）F(x)=1x+a2ax-af(t)dt=12ax+a0f(t)dt-x-a0f(t)dt=12aG(x+a)-G(x-a) （2）F'(x)=12aG'(x+a)-G'(x-a)=12af(x+a)-f(x-a)（3

7、）limG(x+a)-G(x-a)G(x+a)-G(x)+G(x)-a0F(x)=limG(x-a)a02a=lima02a=1G'(x)+G'(x)=G'(x)=f(x) （4）|F(x)-f(x)|=|1x+a2ax-af(t)dt-f(x)|=|12a(x+a)-(x-a)f()-f(x)|=|f()-f(x)|M-m(x-ax+a)三、（10分）求曲線 lnx + lny =1 所圍成的平面圖形的面積.xy=e,x1且y1,y=1x,x1且0<y<解1去掉絕對值曲線為：e1y=ex,0<x<1且y1xy=1e,0<x<1且0&

8、lt;y<1A=11eex11(ex-)dx+eex1(x-e)dx=e-e解2令lnx=u,lny=v,則x=eu,y=ev,D':|u|+|v|1,J=xuxveu0uvyuy=ev=ee. v0dxdy=|J|dudv=Deuevdudv=eudu11-uvD'D'0-1u+1v-u-1edv+0euduu-1edv=e-1e. 2 第 頁 共 4 ） 頁學(xué)院 班號 學(xué)號 姓名密封線以內(nèi)答題無效z=ey四、（10分）設(shè)曲面S為曲線 (1y2) 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的下側(cè)，計算曲面積分x=0I=4zx dydz-2z dzdx+(1-z2) dxdyS解1S

9、的方程為z=(1x2+y24)補兩平面S1:z=e(x2+y21,下側(cè))S2:z=e2(x2+y24,上側(cè))e2e25422=2zdzd=2zdV=2zlnzdz=e-e eD e22(z)S+S1+S2V4zxdydz-2zdzdx+(1-z)dxdy=-(1-e)dxdy=-(1-e)=(eS1Dxy44=(1-e)dxdy=4(1-e);I=S2DxyS+S1+S22222-1)；-=S1S2542e-e-(e2-1)-4(1-e4) 2213432e-e-3 22解2I=(4zx,-2z,1-z2)(zx,zy,-1)dxdy =D=eD2+1dxdy-dxdyD=20de2r(4rc

10、os2-2sin+1)rdr-(4-1)1213432e-e-322(D:1x2+y24)五、（10分）設(shè)n階矩陣 A=(1,2, ,n-1,n)的前n-1 個列向量線性相關(guān), 后n-1 個列向量線性無關(guān),=1+2+ +n; （1）證明線性方程組A x=有無窮多解；（2）求方程組A x=的通解.解（1） 1,2, ,n-1相關(guān)，1,2, ,n-1,n相關(guān)； 2,3, ,n無關(guān)，1,2, ,n的秩為n-1，且1可以由2, ,n表出；又由已知可由1, ,n表出，故1, ,n,與1, ,n等價，從而1,2, ,n,的秩為n-1，對于方程組Ax=(1, ,n)X=，增廣矩陣的秩與A的秩相等，即R()=

11、R(A)=n-1<n，故Ax=有無窮多解.,k（2） 1, ,n-1相關(guān)，不全為0的數(shù)k1,k2,n-1，使k12+ +kn-1n-=10，即k11+ +kn-1n-k1 +(, ,n)=10n=012kn-1 00A(k1, ,kn-1,0)T=0，又R(A=)-n 1Ax=0的基礎(chǔ)解系只含一個解向量(k1, ,kn-1,0)T為Ax=0的基礎(chǔ)解系；1 又1+2+ +n=(1, ,n) =A(1, ,1)T=(1,1, ,1)T為Ax=的解，1故Ax=的通解為x = C(k1, ,kn-1,0)T+(1,1, ,1)T(C為任意常數(shù))3 第 頁 共 4 頁學(xué)院 班號 學(xué)號 姓名密封線以

12、內(nèi)答題無效六、（10分）設(shè) n (n>4)階矩陣的4個不同特征值為1, 2, 3, 4 , 其對應(yīng)的特征向量依次為1, 2, 3, 4，記=1+2+3+4, 求證：, A , A2, A3 線性無關(guān).解1=1+2+3+41A=11+22+33+44231,A,A,A=2123422221A=11+22+33+44A3=3+3+3+3111223344i互不相等,范德蒙行列式不等于0,范德蒙矩陣可逆，從而12341222324213233343rAA2A3=r1234.1,2,3,4無關(guān)，r(1,2,3,4)=4，rAA2A3=4，故AA2A3的秩為4，故線性無關(guān).解2設(shè)存在一組數(shù)k1,k

13、2,k3,k4使k1+k1A+k3A2+k4A3=0 （1）由題設(shè)=1+2+3+4，利用特征向量的性質(zhì)可得A=11+22+33+44,A2=121+222+333+424, （2）3A3=131+22+333+444.將（2）式一并代入（1）式可有k1(1+2+3+4)+k2(11+22+33+44)+k3(121+222+333+424)+k4(131+232+333+444)=0整理得(k1+1k2+12k3+13k4)1+(k1+2k2+22k3+23k4)2+(k1+3k2+32k3+33k4)3+(k1+4k2+42k3+43k4)4=0.因1,2,3,4分屬不同的特征值，故線性無關(guān)

14、，從而有k1+1k2+22k3+13k4=0,23k1+2k2+2k3+2k4=0,23k+k+k+k=0,1323334k+k+2k+3k=0.4243441視k1,k2,k3,k4為未知數(shù)，此為4個未知量，4個方程組成的齊次線性方程組，其系數(shù)行式為范德蒙德行列D(1,2,3,4)的轉(zhuǎn)置. 因1,2,3,4互異，所以D=D(1,2,3,4)0. 這表明只有零解，即k1=k2=k3=k4=0，從而,A,A2,A3線性無關(guān).七、（10分）設(shè)冪級數(shù)axnn=0n, 當(dāng)n>1時an-2=n (n-1) an，且a0=4, a1=1;（1）求冪級數(shù)anxn的和函數(shù)S(x)；（2）求和函數(shù)S(x)

15、的極值.n=0n-1解（1）令S(x)=anx,則S'(x)=nanxnn=0n=1S''(x)=n(n-1)anxn=2n-2=an-2xn=2n-2=anxn=S(x)，S''(x)-S(x)=0n=05353S(x)=c1ex+c2e-x由S(0)=a0=4,S'(0)=a1=1，求得c1=,c2=,S(x)=ex+e-x22224 第 頁 共 4 頁學(xué)院 班號 學(xué)號 姓名密封線以內(nèi)答題無效531313（2）由S'(x)=ex-e-x=0得x0=ln,又S''(x0)>0,S(x0)為極小值S(ln=. 222

16、5251f ( 0, y+ ) f=ecoty 求 f(x,y). 八、（10分）設(shè)函數(shù)f(x,y)可微，=-f(x,y), f 0,=1, 且滿足lim nf0,yx2 f(0,y+)-f(0,y)11nlimfy(0,y)f(0,y+)f(0,y+)-f(0,y)nf(0,y)n=ef(0,y) =lim1+=e解 limnnf(0,y)f(0,y)fy(0,y)dlnf(0,y)=coty，對y積分得lnf(0,y)=lnsiny+lncf(0,y)=csiny f(0,y)dyf代入f(0,)=1得c=1，f(0,y)=siny又已知=-ff(x,y)=c(y)e-x， 2xf(0,y

17、)=siny，c(y)=siny故f(x,y)=e-xsiny. nn1n九、（10分）如圖所示，設(shè)河寬為a，一條船從岸邊一點O出發(fā)駛向?qū)Π叮^總是指向?qū)Π杜c點O相對的一點B。假設(shè)在靜水中船速為常數(shù) V1，河流中水的流速為常數(shù) V2，試求船過河所走的路線(曲線方程)；并討論在什么條件下（1）船能到達(dá)對岸；（2）船能到達(dá)點B.解 如圖所示，設(shè)P(x,y)為船在要時刻的位置 dxdy=v2-v1sin=v1cos(0<<)， dtdt2v1cosvdycos1=(k=2) =消去t得 dxv2-v1sink-sinv1ksec-tan此時兩個分速度為x,則sec=，又tan=,代入得a-ydy路線滿足