中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)微分習(xí)題及答案

1、第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(A)1在下列四個(gè)函數(shù)中,在上滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)是( ) A B C D 2函數(shù)滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件的區(qū)間是 ( ) A B C D3方程在內(nèi)根的個(gè)數(shù)是 ( ) A沒有實(shí)根 B有且僅有一個(gè)實(shí)根 C有兩個(gè)相異的實(shí)根 D有五個(gè)實(shí)根4若對(duì)任意，有，則 ( ) A對(duì)任意，有 B存在，使 C對(duì)任意，有(是某個(gè)常數(shù)) D對(duì)任意，有(是任意常數(shù))5函數(shù)在上有 ( ) A四個(gè)極值點(diǎn)； B三個(gè)極值點(diǎn) C二個(gè)極值點(diǎn) D 一個(gè)極值點(diǎn)6函數(shù)的極大值是 ( ) A17 B11 C10 D97設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，且，則必有 ( ) A B C D8若函數(shù)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，

2、則 ( ) A存在，有 B存在，有C存在，有D存在，有9若，則方程( ) A無實(shí)根 B有唯一的實(shí)根 C有三個(gè)實(shí)根 D有重實(shí)根10求極限時(shí)，下列各種解法正確的是 ( ) A用洛必塔法則后，求得極限為0 B因?yàn)椴淮嬖?，所以上述極限不存在 C原式 D因?yàn)椴荒苡寐灞厮▌t，故極限不存在11設(shè)函數(shù)，在 ( ) A單調(diào)增加 B單調(diào)減少C單調(diào)增加，其余區(qū)間單調(diào)減少D單調(diào)減少，其余區(qū)間單調(diào)增加12曲線 ( ) A有一個(gè)拐點(diǎn) B有二個(gè)拐點(diǎn) C有三個(gè)拐點(diǎn) D 無拐點(diǎn)13指出曲線的漸近線 ( ) A沒有水平漸近線，也沒有斜漸近線 B為其垂直漸近線，但無水平漸近線 C即有垂直漸近線，又有水平漸近線 D 只有水平漸近線

3、14函數(shù)在區(qū)間上最小值為 ( ) A B0 C1 D無最小值15求16求17求18求19求20求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。21求函數(shù)的極值。22若，證明/23設(shè)，證明。24求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。25當(dāng)為何值時(shí)，在處有極值？求此極值，并說明是極大值還是極小值。26求內(nèi)接于橢圓，而面積最大的矩形的邊長(zhǎng)。27函數(shù)的系數(shù)滿足什么關(guān)系時(shí)，這個(gè)函數(shù)沒有極值。28試證的拐點(diǎn)在曲線上。29試證明曲線有三個(gè)拐點(diǎn)位于同一直線上。30試決定中的的值，使曲線的拐點(diǎn)處的法線通過原點(diǎn)。 (B)1函數(shù)，則 ( ) A在任意閉區(qū)間上羅爾定理一定成立 B在上羅爾定理不成立 C在上羅爾定理成立 D 在任意閉區(qū)間上，羅爾定理都不成立2下列

4、函數(shù)中在上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件的是( ) A B C D3若為可導(dǎo)函數(shù)，為開區(qū)間內(nèi)一定點(diǎn)，而且有，則在閉區(qū)間上必有 ( ) A B C D 4若在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)內(nèi)任意兩點(diǎn)，恒有則必有( ) A B C D(常數(shù))5設(shè)為未定型，則存在是也存在的 ( ) A必要條件 B充分條件 C充分必要條件 D 既非充分也非必要條件6已知在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)時(shí)，有，又已知，則 ( ) A在上單調(diào)增加，且 B在上單調(diào)減少，且 C在上單調(diào)增加，且 D在上單調(diào)增加，但正負(fù)號(hào)無法確定7函數(shù)的圖形，在 ( ) A處處是凸的 B處處是凹的 C為凸的，在為凹的 D為凹的，在為凸的 8若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)

5、數(shù)，則函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)是( ) A單調(diào)減少，曲線上凹 B單調(diào)增加，曲線上凹 C單調(diào)減少，曲線下凹 D單調(diào)增加，曲線下凹9曲線 ( ) A有極值點(diǎn)，但無拐點(diǎn) B有拐點(diǎn)，但無極值點(diǎn) C有極值點(diǎn)且是拐點(diǎn) D 既無極值點(diǎn)，又無拐點(diǎn)10設(shè)函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且為其極大值，則存在，當(dāng)時(shí)，必有( ) A B C D11拋物線在頂點(diǎn)處的曲率及曲率半徑為多少？正確的答案是 ( ) A頂點(diǎn)處的曲率為，曲率半徑為2B頂點(diǎn)處的曲率為2，曲率半徑為C頂點(diǎn)處的曲率為1，曲率半徑為1D頂點(diǎn)處的曲率為，曲率半徑為212設(shè)函數(shù)在處有，在處不存在，則 ( ) A及一定都是極值點(diǎn) B只有是極值點(diǎn) C與都可能不是極值點(diǎn) D與至少有

6、一個(gè)點(diǎn)是極值點(diǎn)13求極限。14求15求16試證當(dāng)時(shí)，取得極值。17求由軸上的一個(gè)給定點(diǎn)到拋物線上的點(diǎn)的最短距離。18設(shè)在上可導(dǎo)，且，對(duì)于任何，都有，試證：在內(nèi)，有且僅有一個(gè)數(shù)，使。19設(shè)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，如果，證明至少存在一點(diǎn)，使。20設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)且，且存在點(diǎn)，使得，試證至少存在一點(diǎn)，使得。(C)1函數(shù)它在內(nèi) ( ) A不滿足拉格朗日中值定理的條件 B滿足拉格朗日中值定理的條件，且 C滿足中值定理?xiàng)l件，但無法求出的表達(dá)式 D不滿足中值定理?xiàng)l件，但有滿足中值定理結(jié)論2若在區(qū)間上二次可微，且，()，則方程在上 ( ) A沒有實(shí)根 B有重實(shí)根 C有無窮多個(gè)實(shí)根 D 有且僅有一個(gè)實(shí)根3

7、設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則 ( ) A是的極大值 B是的極小值 C是曲線的拐點(diǎn) D不是的極值，也不是曲線的拐點(diǎn)4求5求6設(shè)函數(shù)二次可微，有，證明函數(shù)，是單調(diào)增函數(shù)。7研究函數(shù)的極值。8若在上有二階導(dǎo)數(shù)，且，試證在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，滿足。9設(shè)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：存在一點(diǎn)使。10設(shè)是一向上凸的連續(xù)曲線，其上任意一點(diǎn)處的曲率為，且此曲線上點(diǎn)處的切線方程為，求該曲線方程，并求函數(shù)的極值。第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(A)1在下列四個(gè)函數(shù)中,在上滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)是( B ) A B C D 2函數(shù)滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件的區(qū)間是 ( C ) A B C D3方程在內(nèi)根的個(gè)數(shù)是 ( B ) A沒

8、有實(shí)根 B有且僅有一個(gè)實(shí)根 C有兩個(gè)相異的實(shí)根 D有五個(gè)實(shí)根4若對(duì)任意，有，則 ( D ) A對(duì)任意，有 B存在，使 C對(duì)任意，有(是某個(gè)常數(shù)) D對(duì)任意，有(是任意常數(shù))5函數(shù)在上有 ( C ) A四個(gè)極值點(diǎn)； B三個(gè)極值點(diǎn) C二個(gè)極值點(diǎn) D 一個(gè)極值點(diǎn)6函數(shù)的極大值是 ( A ) A17 B11 C10 D97設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，且，則必有 ( C ) A B C D8若函數(shù)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，則 ( B ) A存在，有 B存在，有C存在，有D存在，有9若，則方程( B ) A無實(shí)根 B有唯一的實(shí)根 C有三個(gè)實(shí)根 D有重實(shí)根10求極限時(shí)，下列各種解法正確的是 ( C ) A用洛

9、必塔法則后，求得極限為0 B因?yàn)椴淮嬖?，所以上述極限不存在 C原式 D因?yàn)椴荒苡寐灞厮▌t，故極限不存在11設(shè)函數(shù)，在 ( C ) A單調(diào)增加 B單調(diào)減少C單調(diào)增加，其余區(qū)間單調(diào)減少D單調(diào)減少，其余區(qū)間單調(diào)增加12曲線 ( D ) A有一個(gè)拐點(diǎn) B有二個(gè)拐點(diǎn) C有三個(gè)拐點(diǎn) D 無拐點(diǎn)13指出曲線的漸近線 ( C ) A沒有水平漸近線，也沒有斜漸近線 B為其垂直漸近線，但無水平漸近線 C即有垂直漸近線，又有水平漸近線 D 只有水平漸近線14函數(shù)在區(qū)間上最小值為 ( D ) A B0 C1 D無最小值15求解：原式16求解：原式17求解：原式18求解：令，則 原式19求解：令，則 故原式 令，則

10、原式20求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解： 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 故在及單增，在單減。21求函數(shù)的極值。解： 令得 當(dāng)時(shí)，從而單減 當(dāng)時(shí)，從而單增 故時(shí)，取極小值022若，證明證明：令，則 當(dāng)時(shí)，從而在單增 因?yàn)?，故，?3設(shè)，證明。證明：10：令，則 因，則，從而在單減。 故，即20：令，則 當(dāng)時(shí)，從而在單減 故，即由100、20知，24求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。解： 令，得或 故可疑極值點(diǎn)1，1-+-極小值0極大值25當(dāng)為何值時(shí)，在處有極值？求此極值，并說明是極大值還是極小值。解：由于在處有極值，則，從而 當(dāng)時(shí)，從而單增 當(dāng)時(shí)，從而單減 故在處取得極大值。26求內(nèi)接于橢圓，而面積最大的矩形的邊長(zhǎng)。解：

11、設(shè)矩形在第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則故矩形面積為 當(dāng)時(shí)，取最大值， 矩形邊長(zhǎng)分別為和。27函數(shù)的系數(shù)滿足什么關(guān)系時(shí)，這個(gè)函數(shù)沒有極值。解：，因，則是開口向上的拋物線 要使沒有極值，則必須使在是單增或單減 即必須滿足或 故只有時(shí)，才能使成立 即時(shí)，沒有極值。28試證的拐點(diǎn)在曲線上。證：， 設(shè)是的拐點(diǎn)，則 即 的拐點(diǎn)在曲線上。29試證明曲線有三個(gè)拐點(diǎn)位于同一直線上。證：， 令得：， ， 故三個(gè)拐點(diǎn)， 容易驗(yàn)證：、在同一直線上。30試決定中的的值，使曲線的拐點(diǎn)處的法線通過原點(diǎn)。解：， 令，得或-1 則拐點(diǎn)為及 10在拐點(diǎn)處切線斜率為 從而在拐點(diǎn)處法線斜率為，這樣法線方程為，因法線過原點(diǎn)，所以 20在拐點(diǎn)

12、處切線斜率為，這樣法線方程為，因法線過原點(diǎn)，所以。 故時(shí)，曲線的拐點(diǎn)處的法線通過原點(diǎn)。 (B)1函數(shù)，則 ( C ) A在任意閉區(qū)間上羅爾定理一定成立 B在上羅爾定理不成立 C在上羅爾定理成立 D 在任意閉區(qū)間上，羅爾定理都不成立2下列函數(shù)中在上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件的是( B ) A B C D3若為可導(dǎo)函數(shù)，為開區(qū)間內(nèi)一定點(diǎn)，而且有，則在閉區(qū)間上必有 ( D ) A B C D 4若在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)內(nèi)任意兩點(diǎn)，恒有則必有( D ) A B C D(常數(shù))5設(shè)為未定型，則存在是也存在的 ( B ) A必要條件 B充分條件 C充分必要條件 D 既非充分也非必要條件6已知在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且

13、當(dāng)時(shí)，有，又已知，則 ( D ) A在上單調(diào)增加，且 B在上單調(diào)減少，且 C在上單調(diào)增加，且 D在上單調(diào)增加，但正負(fù)號(hào)無法確定7函數(shù)的圖形，在 ( B ) A處處是凸的 B處處是凹的 C為凸的，在為凹的 D為凹的，在為凸的 8若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)是( D ) A單調(diào)減少，曲線上凹 B單調(diào)增加，曲線上凹 C單調(diào)減少，曲線下凹 D單調(diào)增加，曲線下凹9曲線 ( D ) A有極值點(diǎn)，但無拐點(diǎn) B有拐點(diǎn)，但無極值點(diǎn) C有極值點(diǎn)且是拐點(diǎn) D 既無極值點(diǎn)，又無拐點(diǎn)10設(shè)函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且為其極大值，則存在，當(dāng)時(shí)，必有( C ) A B C D11拋物線在頂點(diǎn)處的曲率

14、及曲率半徑為多少？正確的答案是 ( B ) A頂點(diǎn)處的曲率為，曲率半徑為2B頂點(diǎn)處的曲率為2，曲率半徑為C頂點(diǎn)處的曲率為1，曲率半徑為1D頂點(diǎn)處的曲率為，曲率半徑為212設(shè)函數(shù)在處有，在處不存在，則 ( C ) A及一定都是極值點(diǎn) B只有是極值點(diǎn) C與都可能不是極值點(diǎn) D與至少有一個(gè)點(diǎn)是極值點(diǎn)13求極限。解：令，則 原式14求解：原式15求解：令，則在上連續(xù)，在可導(dǎo)，故由拉格朗日定理知，存在一點(diǎn)，使 當(dāng)時(shí)，則 故原式16試證當(dāng)時(shí)，取得極值。證： 故時(shí)，有解 當(dāng)時(shí)，從而單增 當(dāng)時(shí)，則單減 當(dāng)時(shí)，則單增 故在處取得極大值 在處取得極小值17求由軸上的一個(gè)給定點(diǎn)到拋物線上的點(diǎn)的最短距離。解：設(shè)是拋物

15、線上任一點(diǎn)，則到的距離為 從而 令，得或 10當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)駐點(diǎn) 當(dāng)時(shí)，從而單減 當(dāng)時(shí)，從而單增 故是的極小值點(diǎn)，極小值為2當(dāng)時(shí)，有三個(gè)駐點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)，從而單減 當(dāng)時(shí)，從而單增 當(dāng)時(shí)，從而單減 當(dāng)時(shí)，從而單增 故是極小點(diǎn)，極小值為18設(shè)在上可導(dǎo)，且，對(duì)于任何，都有，試證：在內(nèi)，有且僅有一個(gè)數(shù)，使。證：令，因?yàn)樵谏线B續(xù)，且，則由零點(diǎn)存在定理在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使，即。 下證唯一性。設(shè)在內(nèi)存在兩個(gè)點(diǎn)與，且，使，在上運(yùn)用拉格朗日中值定理，則有，使得 這與題設(shè)矛盾，故只有一個(gè)使。19設(shè)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，如果，證明至少存在一點(diǎn)，使。證明：由題設(shè)知在上滿足洛爾定理?xiàng)l件，則至少存在一點(diǎn)，使得。因?yàn)?，則由題設(shè)

16、知在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，故在上滿足洛爾定理?xiàng)l件，則至少存在一點(diǎn)，使，20設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)且，且存在點(diǎn)，使得，試證至少存在一點(diǎn)，使得。證：在及上都滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，則存在，使得因?yàn)?，則，因在內(nèi)二階可導(dǎo)，則在上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，故至少存在一點(diǎn)，使。(C)1函數(shù)它在內(nèi) ( B ) A不滿足拉格朗日中值定理的條件 B滿足拉格朗日中值定理的條件，且 C滿足中值定理?xiàng)l件，但無法求出的表達(dá)式 D不滿足中值定理?xiàng)l件，但有滿足中值定理結(jié)論2若在區(qū)間上二次可微，且，()，則方程在上 ( D ) A沒有實(shí)根 B有重實(shí)根 C有無窮多個(gè)實(shí)根 D 有且僅有一個(gè)實(shí)根3設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則 ( C )

17、A是的極大值 B是的極小值 C是曲線的拐點(diǎn) D不是的極值，也不是曲線的拐點(diǎn)4求解：令，則，從而 故原式5求解：令，則 故原式6設(shè)函數(shù)二次可微，有，證明函數(shù)，是單調(diào)增函數(shù)。證：當(dāng)時(shí)，連續(xù) 由于 故 因?yàn)?所以在處連續(xù)，故在上連續(xù)。 令，則 當(dāng)時(shí)，單增，從而 當(dāng)時(shí)，單減，從而 故時(shí)，從而因?yàn)?，則，從而有， 故是單調(diào)增函數(shù)7研究函數(shù)的極值。解：10當(dāng)時(shí)， ，從而 令得 當(dāng)時(shí)，則單增 當(dāng)時(shí)，則單減 故是的極大值點(diǎn)，極大值為 20當(dāng)時(shí)，從而 說明單增，故是極小值點(diǎn)，極小值為0 30當(dāng)時(shí)，從而 說明單減，故是極大值點(diǎn)，極大值為18若在上有二階導(dǎo)數(shù)，且，試證在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，滿足。證：由泰勒展式，有， ， 令，得 于