湘潭大學(xué)高等數(shù)學(xué)(加強(qiáng)版)第三章答案

1、習(xí)題3.2 二重積分的計(jì)算 A組1、 計(jì)算下列二重積分：（1），其中（2），其中（3），其中D是由直線y=1-x與x軸、y軸圍成的區(qū)域(4 ,其中D是由，x=2,y=x所圍成的區(qū)域解 （1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原式=2、畫出積分區(qū)域，并計(jì)算二重積分（1）,其中D是由直線y=2x,x=2y,x+y=3所圍成的區(qū)域（2），其中D是由圓周及y軸所圍成的右半?yún)^(qū)域（3），其中D由拋物線與圍成的區(qū)域解 （1）原式=S=(2原式=（3）原式=3、證明：（1）若D關(guān)于y軸（或x軸）對(duì)稱，f(x,y關(guān)于x（或y）是奇函數(shù)，則(2若f(x,y關(guān)于x（或y）是偶函數(shù)，且D=,與關(guān)于y軸或x軸對(duì)稱，則

2、證明 （1）這里只證明D關(guān)于y軸對(duì)稱的情況，記D在y軸左右兩側(cè)的區(qū)域分別為、，則（2）若f(x,y關(guān)于x是偶函數(shù)，4、交換下列二重積分的積分次序（1）， （2），（3） （4）解 （1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原式=5、在極坐標(biāo)系下計(jì)算下列二重積分（1），其中D是由圍成的區(qū)域（2），其中（3）,其中(4 ，其中D是由，及直線y=0,y=x所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域。解 （1）原式=（2）原式=（3）原式=2=（4）原式=B組1、 選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列二重積分：（1），其中（2），其中（3），其中（4），其中（5），其中（6），其中解 （1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原

3、式=（5）原式=（6）原式=2、設(shè)f(u為可微函數(shù)，且f(0=0,求。解 對(duì)分子上的積分利用極坐標(biāo)變換，原式=3、設(shè)，求二重積分，其中解 由題意，=4、證明=證明 積分區(qū)域由y=a,y=x和y軸圍成，由y型區(qū)域轉(zhuǎn)化為x型區(qū)域有，左端=右端。5、設(shè)閉區(qū)域，f(x,y為D上的連續(xù)函數(shù)，且，求f(x,y.解 對(duì)f(x,y在D上積分，有于是所以習(xí)題3.3 反常積分A組1、 計(jì)算下列反常積分：（1） （2） （3） （4）解 （1）原式=(這里，否則該積分不收斂（2）原式=（3）原式=（4）原式=2、計(jì)算下列反常積分：（1） （2） （3） （4）解 （1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原式=3、下列解答是否正確，說明理由：（1）=（2）因?yàn)槭牵ǎ┥系钠婧瘮?shù)，所以解 （1）錯(cuò)；這里x=0也是被積函數(shù)的奇點(diǎn)。（2）錯(cuò)；這里要求積分區(qū)域?yàn)閷?duì)稱的有限區(qū)域，如-a,aB組1、 若在（）上連續(xù)，且收斂，則對(duì)任何（）有，證明 這里只證明第一個(gè)等式，2、 設(shè)收斂，證明：（1） 若極限存在，則=0（2） (P276-8若在）上單調(diào)解：（1）反證法。3、 (P276-9證明：若收斂，且在）上一致連續(xù)，則必有=0證明：