高等數(shù)學D44有理函數(shù)積分Bppt課件

1、第四節(jié) 基本積分法 : 直接積分法 ; 換元積分法 ;分部積分法 初等函數(shù)求導初等函數(shù)積分一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)的積分本節(jié)內容: 第四章 一、一、 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函數(shù):nm 時,)(xR為假分式;nm 時,)(xR為真分式有理函數(shù)相除多項式 + 真分 式分解其中部分分式的形式為kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和例例1. 將下列真分式分解為部分分式將下列真分式分解為部分分式 :;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx.)1)(21

2、 (1)3(2xx解解: (1) 用拼湊法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx(2) 用賦值法6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB原式)2(xA2x233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故25x原式36x(3) 混合法)1)(21 (12xx xA2121xCBx原式)21 (xA21x54代入等式兩端分別令1 ,0 xC541215461CB52B51C原式 =x214512112xx四種典型部分分式的積分四種典型部分分式的積分: CaxAln) 1( nCaxnAn1)(

3、1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2xqxpxNxMd. 32xqxpxNxMnd)(. 42) 1,04(2nqp變分子為 )2(2pxM2pMN 再分項積分 例例2. 求求.)1)(21 (d2xxx解解: 知知)1)(21 (12xx51x214212xx211xxx21)21 ( d52原式221)1 ( d51xx21d51xxx21ln52)1 (ln512xCxarctan51例例3. 求求.d3222xxxx解解: 原式原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxCx21arctan23考慮考慮: 如何

4、求如何求?d)32(222xxxx提示提示: 變形方法同例3, 再利用分部積分 . xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx例例4. 求求.d4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:說明說明: 將有理函數(shù)分解為部分分式進行積分雖可行將有理函數(shù)分解為部分分式進行積分雖可行,但不一定簡便 , 因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結構尋求簡便的方法. 例例5. 求求.d)22(222xxxx解解: 原式原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2

5、xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxC例例6. 求求解解: 原式原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx(見積分珍公式21)2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本題技巧注意本題技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法解:1d4xx第一步 令)(1224dxcxbxaxx比較系數(shù)定 a , b , c , d . 得) 12)(12(

6、1224xxxxx第二步 化為部分分式 . 即令) 12)(12(111224xxxxx121222xxDxCxxBxA比較系數(shù)定 A , B , C , D .第三步 分項積分 .此解法較繁 !二二 、可化為有理函數(shù)的積分舉例、可化為有理函數(shù)的積分舉例設)cos,(sinxxR表示三角函數(shù)有理式 ,xxxRd)cos,(sin令2tanxt 萬能代換t 的有理函數(shù)的積分1. 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分那么例例7. 求求.d)cos1 (sinsin1xxxx解解: 令令,2tanxt 那么222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt

7、22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd122xxxxd)cos1 (sinsin1 2121tt212tt)1 (2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21例例8. 求求.)0(cossind2222baxbxax解解: 原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC說明說明: 通常求含通常求含xxxxcossincos,sin22及的積分時,xttan往往更方便 .的有理式用代換例例9. 求求

8、. )0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 1 xttan令原式 dx2)tan(bxax2cos2)(dbtatCbtaa)(1Cxbxaax)cossin(cosxbxacossin例例9. 求求)0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 2 cos,sin2222babbaa令22baxbabxbaacossin2222sincos原式)(cosd1222xxbaCxba)tan(122Cbaxba)arctantan(122baarctan例例10. 求求.dsinsin1cos2cos423xxxxx解解: 因被積函數(shù)關于因被積函數(shù)關于 cos x 為奇函數(shù)為奇函

9、數(shù), 可可令令,sin xt 原式xx42sinsin1xxxdcos)2(cos2xxx422sinsin1 ) 1(sin4221d) 1(tttttttd1t1221213)()d(211ttttCtt3arctan311Cxxsin3cosarctan312xsind2. 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被積函數(shù)為簡單根式的有理式 , 可通過根式代換 化為有理函數(shù)的積分. 例如:,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令., 的最小公倍數(shù)為nmp例例11. 求求.21d3xx解解: 令令,23x

10、u那么,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC例例12. 求求.d3xxx解解: 為去掉被積函數(shù)分母中的根式為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根指數(shù)取根指數(shù) 2 , 3 的的最小公倍數(shù) 6 ,6tx 則有原式23ttttd65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令例例13. 求求.d11xxxx解解: 令令,1xxt那么,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln內容小結內容小結1. 可積函數(shù)的特殊類型可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)分解多項式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬能代換簡單無理函數(shù)三角代換根式代換2. 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定 要注意綜合使用基本積分法 , 簡便計算 .簡便 , 思考與練習思考與練習如何求下列積分更簡便 ?)0(d. 1662axxaxxxxcossind. 23解解: 1.23233)()(d31xax原式C