線積分面積分習(xí)題課1ppt課件

1、),()(bxaxy則有則有Lsyxfd),(),()(: rrL那那么么syxfLd),()sin)(,cos)(rrf)()(, )(),(:ttztytx那那么么szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf( )(),xycyd 則有則有Lsyxfd),( )1dyy ( ( ),)dcfyy ( )xy ( )yx 一、對弧長的曲線積分的計(jì)算法一、對弧長的曲線積分的計(jì)算法小結(jié)小結(jié) 假如假如 L 的方程為的方程為,:),(baxxy那那么么xxxQxxPbad )(,)(,( ) xLyyxQxyxPd

2、),(d ),(對空間光滑曲線弧對空間光滑曲線弧 :類似有類似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx ( ),( ),( )Qttt ( ),( ),( )Rtttdt假如假如 L 的方程為的方程為( ),:,xyy cd則上式則上式 ( ), ( ), ddcPyyQyyy( )y( )yx ( )xy (coscoscos )PdydzQdzdxRdxdyPQRdS ddd(coscoscos )dP xQ yR zPQRs 兩類曲面積分之間的聯(lián)系兩類曲面積分之間的聯(lián)系T),(yxfz xyzo),

3、( coscoscos),( coscoscos三、對面積的曲面積分三、對面積的曲面積分221( , )( , )xyzx yzx y dxdy , , xyDf x y( , , )df x y zS),(:. 1yxzz 若若曲曲面面那么那么按照曲面的不同情況分為以下三種：按照曲面的不同情況分為以下三種：, 面面上上的的投投影影在在為為xoyDxy ijD ijS iP( , )Z x y;dd ),(),(1),(,22zxzxyzxyzzxyxfxzDzx Szyxfd),(那么那么.dd ),(),(1,),(22zyzyxzyxzyzyxfyzDzy Szyxfd),(),(. 3

4、zyxx ：若若曲曲面面那那么么2.:( , ),yy x z若曲面 RdxdyQdxdzPdydzdsnF、2 dxdyyxzyxRzyxzyxQzyxzyxPyDxxy),(,)(,(,)(,(, RdxdyQdxdzPdydz、1 dydzzyxP),( dzdxzyxQ),( dxdyzyxR),( dsRQP)coscoscos( RdxdyQdxdzPdydzdsnF、3:( , )zz x y情形情形四、對坐標(biāo)的曲面積分四、對坐標(biāo)的曲面積分注意注意: :對坐標(biāo)的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分, ,必須注意曲面所取的側(cè)必須注意曲面所取的側(cè). . , , ( , )d d ,( , , )

5、d d , , ( , )d d.xyxyDDR x y z x yx yR x y zx yR x y z x yx y取上側(cè)取下側(cè)xyD),(yxfz xyzodsn計(jì)算計(jì)算:( , )zz x y情形情形將三種類型的積分轉(zhuǎn)化為同一個坐標(biāo)面上的將三種類型的積分轉(zhuǎn)化為同一個坐標(biāo)面上的二重積分二重積分. .那那么么上上連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)的的方方程程為為如如果果,),(),(),(,),(),( yxRyxQyxPDyxyxzzxy yxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),(dd),(dd),( , , ( , )xP x y zzx y , , ( , ) , , yQ x y zzx

6、yR x y z dxdy則則如如果果證證,),(),(:)1(xyDyxyxzz )cos,cos,(cos n,11,1,1222222 yxyxyyxxzzzzzzzz,dcosdd,dcosdd,dcosddSyxSxzSzy 由由于于SSzydcoscoscosdcosdd ,dd)(ddcoscosyxzyxx yxRxzQzyPdddddd()d d .xyPzQzRx y SSxzdcoscoscosdcosdd .dd)(ddcoscosyxzyxy , , ( , )xP x y zyz x , , , , ( , )dxdzzQ x y zR x y zy z x yxR

7、xzQzyPdddddd).(,),(),(:)3( CRQPDzyzyxxyz , , , , ( , )yP x y zQ x y zxy z , , ( , )dzR x y zxy zydz yxRxzQzyPdddddd).(,),(),(:)2( CRQPDxzxzyyzxdSRQPdxdyRQdzdxPdydzI)coscoscos( 或由兩類曲面積分之間的聯(lián)系或由兩類曲面積分之間的聯(lián)系xyxyDPx,y,z(x,y)( z ) Qx,y,z(x,y)( z )Rx,y,z(x,y)dxdy( , ),zz x y 如如果果 由由給給出出 則則有有 dsRQPI)coscosco

8、scoscoscoscos( xynz , z ,1 yxzzcos,cos,cosnnn1 ()d d .xyPzQzRx y 合一投影法向量點(diǎn)積法）合一投影法向量點(diǎn)積法） ,1,),(:yxffyxfz 法法向向量量為為設(shè)設(shè) RdxdyQdzdxPdydzIdxdyffRQPyx1 , dSnA0, dxdydzdxdydzRQP.1,dxdyffRQPxoyyx 面投影面投影在在將將所所截截部部分分的的外外側(cè)側(cè)被被平平面面錐錐面面為為其其中中計(jì)計(jì)算算2, 1,222 zzyxzdxdyzxdzdxydydzI例例解解,2222yxyfyxxfyx D 利用向量點(diǎn)積法利用向量點(diǎn)積法 212

9、20rdrrd.215 dxdyz2 xyDdxdyyx)(22 dxdyyxyyxxzxyI 1 ,2222241:22 yxDxy解解 dydzxz)(2有有上上在曲面在曲面, dsxz cos)(2 dxdyxz coscos)(2.11cos,1cos2222yxyxx 11, , ,xynzzx y 22()()()zx dydzzdxdyzxxz dxdy 22()()()zx dydzzdxdyzxxz dxdy xyDdxdyyxxxyx)(21)()(412222 xyDdxdyyxx)(21222 2022220)21cos(rdrrrd.11cos,1cos2222yxy

10、xx .8 21 ( , , )( , , ) ( , , ),( , , ),If x y zx dydzf x y zy dzdxf x y zz dxdyf x y zxyz 計(jì)計(jì)算算其其中中為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)為為平平面面在在第第四四卦卦限限部部分分的的上上側(cè)側(cè)例例5 5xyoz111 解解利用兩類曲面積分之間的關(guān)系利用兩類曲面積分之間的關(guān)系111 , , n的法向量為的法向量為.31cos,31cos,31cos cos用用dxdydscosdydzdscosdxdzds代入得：1112333 ( , , )( , , ) ( , , )If x y zxf x y zyf x y

11、zz dS dSzyx)(31 xyDdxdy3131.21 二高斯二高斯 公式公式zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd 定向曲面邊界曲線的正方向定向曲面邊界曲線的正方向.ddddddddd zRyQxPRQPzyxyxxzzycoscoscosddd .dsP xQ yR zxyzPQR 三、斯托克斯公式三、斯托克斯公式 d ddd .QPx yP xQ yxy 一格林公式一格林公式 對對稱稱，面面關(guān)關(guān)于于直直線線所所謂謂輪輪換換對對稱稱性性是是指指曲曲zyx . ,323 仍仍與與原原曲曲面面重重合合弧弧度度后后或或旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)即即將將曲曲面面繞繞直直線線 zyx. , 1

12、2222Rzyxzyx 例例如如:0),( ,具具有有如如下下特特征征則則其其方方程程若若曲曲面面具具有有輪輪換換對對稱稱性性 zyxF. , , ),( 的表達(dá)式的表達(dá)式不會改變不會改變的位置任意互換的位置任意互換中變量中變量將將FzyxzyxF.)z ,x, y(F)x, z , y(F)y,x, z(F)z , y,x(F . , ,積分值不會改變積分值不會改變無論怎樣互換無論怎樣互換變量變量中的中的則被積函數(shù)則被積函數(shù)曲面具有輪換對稱性曲面具有輪換對稱性z , y,x)z , y,x(f輪換不變性輪換不變性 若曲面若曲面有輪換對稱性有輪換對稱性, , 那么那么上的第一類上的第一類曲面積

13、分有輪換不變性曲面積分有輪換不變性. . SxzyfSyxzfSzyxfd),(d),(d),(.)z ,x, y(F)x, z , y(F)y,x, z(F)z , y,x(F 0 )z , y,x(F: 曲曲面面( , , )d( , , )d( , , )df x y zSf z x ySf y z xS . , ),( ,積積分分值值不不會會改改變變無無論論怎怎樣樣互互換換變變量量中中的的則則被被積積函函數(shù)數(shù)若若曲曲面面具具有有輪輪換換對對稱稱性性zyxzyxf線線例例. 計(jì)算計(jì)算,d2sx其中其中為球面為球面 2222azyx被平面被平面 所截的圓周所截的圓周. 0zyx解解: 由輪

14、換對稱性可知由輪換對稱性可知sx d2sy d2sz d2x, y, z 地位相等地位相等szyxsxd)(31d2222aa2312332a例例解解.dd)( )0, 0, 0( 1 SxSyxzyxzyx與與求求設(shè)曲面設(shè)曲面 , 1 有輪換對稱性有輪換對稱性曲面曲面 zyx由積分的輪換不變性知由積分的輪換不變性知,SzSySx ddd Syxd, 0dd SySx SzyxSx)d(31d Sd31.612131 .)10(,dddd)2(22的上側(cè)的上側(cè)為有向曲面為有向曲面其中其中計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分 zyxzyxzzyzx4,.為為了了對對第第二二類類曲曲面面積積分分的的方方法法有

15、有一一個個全全面面的的了了解解 并并對對不不同同的的方方法法進(jìn)進(jìn)行行比比較較 下下面面用用 種種不不同同的的方方法法求求解解:方法一方法一. yxzIzy)zx(Idddd 212和和分別計(jì)算分別計(jì)算-1-0.500.51-1-0.500.5100.51-1-0.500.51-1-0.500.51例例1-1-0.500.51-1-0.500.5100.51-1-0.500.51-1-0.500.51.:,211 分分成成兩兩片片將將時時計(jì)計(jì)算算I)(),(2221取取前前側(cè)側(cè)為為取取后后側(cè)側(cè)為為yzxyzx .11, 1| ),(),(2 yzyzyDzyyz 21dd)2(dd)2(1zyz

16、xzyzxI2222()d d()d dyzyzDDzyzy zzyzy z . yxzIzy)zx(Idd , dd 212zyzyzyyzyDyzdd4dd4111222 yyd)1(3823112 204dcos316sinttty. -1-0.500.51-1-0.500.5100.51-1-0.500.51-1-0.500.51.1| ),(,dd)(22222面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域在在是是其其中中而而xoyyxyxDyxyxIxyDxy xyDI dd32,2dd1020 21II 故故原原式式.22 . yxzIzy)zx(Idd , dd 212:方法二方法二.,dd)2

17、(的的曲曲面面積積分分化化為為對對坐坐標(biāo)標(biāo)將將yxzyzx 故故由于由于,dd2dd)(ddyxxyxzzyx yxzxzxyxzzyzxdd)2( )2(dddd )2( yxyxyxxxxyDdd)()(2422222 , 0dd )(22 yxyxxxyD由由對對稱稱性性知知2()d dd dxzy zz x y -1-0.500.51-1-0.500.5100.51-1-0.500.51-1-0.500.51 xyxyDDyxyxyxxdd)(2dd4222且且.2dd)(22 xyDyxyx上式上式故故()由輪換對稱性由輪換對稱性:方方法法三三.算算化為第一類曲面積分計(jì)化為第一類曲面

18、積分計(jì)處處的的單單位位向向量量上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)由由于于),(zyx )1 ,(11zyyxzzzzn )1 ,2,2(441122yxyx 2()d dd dxzy zz x y -1-0.500.51-1-0.500.5100.51-1-0.500.51-1-0.500.51Syxzxzxyxzzyzxd4411)2)(2(dddd )2(22 故故222222(2) ( 2 )()1 44xyDxxyxxyxy .2dd)()(2422222 yxyxyxxxxyD221 44d dxy x y.,它們實(shí)質(zhì)上是一樣的它們實(shí)質(zhì)上是一樣的比較方法二和方法三比較方法二和方法三 :方法四方法四.利

19、利用用高高斯斯公公式式進(jìn)進(jìn)行行計(jì)計(jì)算算 ,1, 1| ),(22取下側(cè)取下側(cè)作輔助曲面作輔助曲面 yxzzyx-1-0.500.51-1-0.500.5100.51-1-0.500.51-1-0.500.51 則則由由高高斯斯公公式式知知所所圍圍之之立立體體與與為為由由記記, (2)d dd dxzy zz x y vd3 zyxyxz22ddd310,23d310 zz(2)xzzdvxz 因因此此其其面面積積為為零零面面上上的的投投影影為為一一線線段段在在由由于于,yoz (2)d dd dd dxzy zz x yz x y yxzzyzxdddd )2( 于于是是1d dxyDx y

20、.2)(23 .,以方法四最簡便以方法四最簡便可見就本題的計(jì)算而言可見就本題的計(jì)算而言.0, 2, 1,d22面面所圍成的空間立體的表所圍成的空間立體的表平面平面是圓柱面是圓柱面其中其中計(jì)算計(jì)算 zxzyxSx. 1:, 2:, 0:22321 yxxzz積分曲面積分曲面. 1:2221 yxDxOyxy均均為為面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域在在和和 xyDxSx d001d221例例2解解SxSxdd321 yd dxyDx x y )(軸軸對對稱稱積積分分區(qū)區(qū)域域關(guān)關(guān)于于y, 0 , d 1中中在在 Sx xyDyxxSxddd1,dddyxS , 0 )(軸軸對對稱稱積積分分區(qū)區(qū)域域關(guān)關(guān)于

21、于y, d 2中中在在 Sx,dd11dyxS xyDyxxSxdd2d2, 0 y,3向向其其它它坐坐標(biāo)標(biāo)面面投投影影面面上上的的投投影影不不是是區(qū)區(qū)域域在在xOy .,投影相同投影相同分成前后兩片分成前后兩片坐標(biāo)平面坐標(biāo)平面選擇選擇zOx.11222xyyx 可可得得由由,1:231xy 前前片片.1:232xy 后后片片. 20, 11: xzxDzx投影區(qū)域投影區(qū)域yxzyySxzdd1d22 xzxxdd01122 .d 相同相同前后兩片前后兩片 S.dd112xzx 32313dddSxSxSx zxDxzxzyyxdd1222 zxDxzxxdd122 11202dd12xzxx

22、x, .00dd 321 所所以以SxSxzoxy例例3.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI設(shè) 為曲面21,222zyxz取上側(cè), 求 解解: 作取下側(cè)的輔助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10drr221drz202dcos103drr4用柱坐標(biāo)用柱坐標(biāo)用極坐標(biāo)用極坐標(biāo)2111解解22101xzyyxyz 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為繞繞xyzo132 *xyzo132 * *I且有且有dvzRyQxP)(* dvyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 欲欲求求 dv xzDx

23、zdydxdz3122 3120202dydd 203)2(2d,2 *2)31(2dzdx,32 )32(2 I故故.34 )(31yDdxdzdydv221xzy 31)1(dyy ,2 或：或：xyzo132 *yzdxdydzdxyxdydzy4)1(2)18(2* 212222222598(),()() axdydzzadxdyIxyzzaxya 例例 ：計(jì)計(jì)算算其其中中為為下下半半球球面面的的上上側(cè)側(cè)， 為為大大于于零零的的常常數(shù)數(shù)。 dxdyazaxdydzaI2)(11）：）：解（解（ vSdvazaadxdyazaxdydza)22(1)(12323213azdvav 302

24、22222adxdyzdzazayxa 323a ssdxdyazadxdyazaxdydza22)(1)(1 Dsdxdyaadxdyaa22113a )(2333aaI 23a S)98(,)()(5222212222為大于零的常數(shù)。為大于零的常數(shù)。的上側(cè)，的上側(cè)，下半球面下半球面為為其中其中計(jì)算計(jì)算例例ayxazzyxdxdyazaxdydzI dxdyazaxdydzaI2)(1解解 dxdyazdxdyzaxax2)()(1 Ddxdyayxayxaxaxa)()(12222222.23a S222:ayxD coscoscos vvvvnxyz 證證明明： coscoscoszuy

25、uxunu coscoscoszvuyvuxvunvu coscoscoszuvyuvxuvnuv dsnuvnvu)( 即即dszuvzvuyuvyvuxuvxvucos)(cos)(cos)( dxdyzuvzvudxdzyuvyvudydzxuvxvu)()()( 2222)(xuvxuxvxvuxvxuxuvxvux 又又2222xuvxvu dvzuyuxuvzvyvxvuIV)()(222222222222 (1)(1)簡化曲線積分簡化曲線積分.)1 , 0(),0 , 1(),0 , 0(,dd4正向邊界正向邊界為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域的為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域的是以是以其中其中計(jì)算計(jì)算Ly

26、xyxxL xyO11D由格林公式由格林公式所圍區(qū)域?yàn)樗鶉鷧^(qū)域?yàn)橛浻?DL DLyxyxxxyyxyxxdd)()(dd44 Dyxydd.61dd1010 xyyx例例1解解xyABCO1 21.)0 , 1()1 , 0(1)1 , 0()0 , 2(22,d)e3(d)2(22接而成的定向曲線接而成的定向曲線的一段連的一段連到到上從點(diǎn)上從點(diǎn)圓弧圓弧的一段及的一段及到到上從點(diǎn)上從點(diǎn)由直線由直線是是其中其中計(jì)算計(jì)算 CByxBAyxLyyxxyxLy.CA添加定向線段添加定向線段.CALL 定定向向閉閉曲曲線線,22yxP ,e3yyxQ , 2 yP. 3 xQ根據(jù)格林公式得根據(jù)格林公式得

27、例例2解解 Dyxdd)2(3 Lyyyxxyxd)e3(d)2(2 CALyyyxxyxd)e3(d)2(2).14(5dd5 Dyx. 21:, 0: xyCA CAyyyxxyxd)e3(d)2(2. 3d212 xx Lyyyxxyxd)e3(d)2(23)14(5 . 245 xyABCO1 21xyOABr.)0 ,(), 0(,d的部分的部分到到的圓周在第一象限從的圓周在第一象限從是半徑為是半徑為計(jì)算計(jì)算rBrArLyxL ., BOOA添加定向直線段添加定向直線段.LOABO 定向閉曲線定向閉曲線,),(, 0),(xyxQyxP . 0, 1 yPxQ DyxyPxQyxdd

28、)(d Dyxdd.42r 例例3解解 BOyxd OAyxd .4dd 2ryxyxL 所所以以, 0d00 rxx, 0d00 ryOAxy.)0 , 0(2)0 ,2(,d)cose (d)(sine 2的的有有向向弧弧段段到到點(diǎn)點(diǎn)線線沿沿曲曲為為從從點(diǎn)點(diǎn)為為正正的的常常數(shù)數(shù)其其中中計(jì)計(jì)算算OxaxyaALbayaxyxyxbyIxLx 解解,cose,cosbyyPayexQxx ,abyPxQ ,構(gòu)構(gòu)成成閉閉曲曲線線添添加加輔輔助助線線LOAOA ,D所圍的區(qū)域記作所圍的區(qū)域記作D例例4yaxyxyxbyIxxLOAOAd)cose (d)(sine 由格林公式由格林公式21II y

29、xabDdd )( 2)(2aab , 0, 0, dyyxOA軸軸上上在在由由于于21III 于于是是 axbxI202d)(故故yxyPxQIDdd1 ,22ba .22232aba OABxy(2)(2)簡化二重積分簡化二重積分.)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(:,dde2為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域?yàn)轫旤c(diǎn)的三角形閉區(qū)域以以計(jì)算計(jì)算BAODyxDy 則則令令,e, 02yxQP .e2yyPxQ BOABOAyDyyxyxdedde22 OAyyxde2. 10:.: xxyOA).e1(211 10de2xxx例例5解解.2dd2dd的的面面積積DDLSyxyxxy (3)(3)

30、計(jì)算平面區(qū)域的面積計(jì)算平面區(qū)域的面積.d),(d),(d)( LDyyxQxyxPyPxQ 則則令令,xQyP 則則令令, 0 xQP .ddd的的面面積積DDLSyxyx 則則令令, 0, QyP.ddd的面積的面積DDLSyxxy .dd21dd LLLDyxxyxyyxS的面積的面積例例6 6所圍成圖形的面所圍成圖形的面求橢圓求橢圓 sin,cosbyax .A積積解解 LxyyxAdd21 20d21 ab 2022d)sincos(21 abab.ab Oxy.)0()(2成成的的圖圖形形的的面面積積軸軸所所圍圍與與計(jì)計(jì)算算拋拋物物線線xaaxyx .dd21 LDyxxyS的的面面

31、積積.AMOONAL .0:, 0:axyONA . 0:,: axxaxyAMOO)0 ,(aANM LDyxxySdd21的的面面積積 AMOONAyxxyyxxydd21dd21 0d)12()(210axaxaxaxx.612a 例例7 7解解(4)(4)計(jì)算曲線方程未知的曲線積分計(jì)算曲線方程未知的曲線積分.,dd22方方向向?yàn)闉槟婺鏁r時針針方方向向閉閉曲曲線線滑滑且且不不經(jīng)經(jīng)過過原原點(diǎn)點(diǎn)的的連連續(xù)續(xù)分分段段光光為為一一條條無無重重點(diǎn)點(diǎn)其其中中計(jì)計(jì)算算LyxxyyxL .),(,),(2222yxxyxQyxyyxP ,)0 , 0(),(時時當(dāng)當(dāng) yx,)(22222yxxyyPxQ

32、 . 0 yPxQ即即.,上上不不一一定定連連續(xù)續(xù)在在所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域?yàn)闉橛浻汥yPxQDL 例例8 8解解xyOLDxyOLD.,)0 , 0()1(上上連連續(xù)續(xù)在在時時當(dāng)當(dāng)DyPxQD DLyxyPxQyxxyyxdd)(dd22. 0 .,)0 , 0()2(上不連續(xù)上不連續(xù)在在時時當(dāng)當(dāng)DyPxQD .,:,1222DCLLDCryxCrrrr圍成的復(fù)連通區(qū)域?yàn)閲傻膹?fù)連通區(qū)域?yàn)楣餐餐c與記記不相交不相交內(nèi)且與內(nèi)且與位于位于使得使得為半徑作圓周為半徑作圓周以原點(diǎn)為圓心以原點(diǎn)為圓心 rC).(),(),(1)1(DCyxQyxP xyOL1DrC.,1格格林林公公式式上上應(yīng)應(yīng)

33、用用在在取取逆逆時時針針方方向向DCr LDyQxPyxyPxQdddd)(01 rCLyQxPyQxPdddd rrCCLyQxPyQxPyQxPdddddd所以所以)(2dd122所圍圖形的面積所圍圖形的面積rCCrxyyxrr .2222 rr( (積分值與積分路徑無關(guān)積分值與積分路徑無關(guān)) ).),1(,)0 , 1(,4dd22取取逆逆時時針針方方向向?yàn)闉榘氚霃綇降牡膱A圓周周為為中中心心是是以以點(diǎn)點(diǎn)其其中中計(jì)計(jì)算算曲曲線線積積分分 RRLyxxyyxIL則可簡化計(jì)算則可簡化計(jì)算為某個正數(shù)為某個正數(shù)為橢圓為橢圓改改若能將積分路徑若能將積分路徑由被積函數(shù)的分母可知由被積函數(shù)的分母可知),(4,222aayxL )0 , 0(),(,)4(42222 yxyPyxxyxQ由由于于式式可可知知所所圍圍的的區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)由由格格林林公公使使得得方方向向逆逆時時針針圓圓因因此此若若取取一一足足夠夠小小的的橢橢layxl),(4:222 例例9 9解解, 04dd22 lLyxxyyx lLyxxyyxyxxyyxI22224dd4dd于是于是 lxyyxadd12)(22所所圍圍的的橢橢圓圓區(qū)區(qū)域域的的面面積積la .