微波濾波器設(shè)計(jì)

1、引 言 濾波器是一種二端口網(wǎng)絡(luò)。 它具有選擇頻率的特性， 即可以讓某些頻率順利通過(guò)， 而對(duì)其它頻率則加以阻攔，目前由于在雷達(dá)、微波、通訊等部門(mén)，多頻率工作越 來(lái)越普遍，對(duì)分隔頻率的要求也相應(yīng)提高；所以需用大量的濾波器。再則，微波 固體器件的應(yīng)用對(duì)濾波器的發(fā)展也有推動(dòng)作用， 像參數(shù)放大器、 微波固體倍頻器、 微波固體混頻器等一類(lèi)器件都是多頻率工作的，都需用相應(yīng)的濾波器。更何況， 隨著集成電路的迅速發(fā)展，近幾年來(lái)，電子電路的構(gòu)成完全改變了，電子設(shè)備日 趨小型化。原來(lái)為處理模擬信號(hào)所不可缺少的 LC 型濾波器，在低頻部分，將逐 漸為有源濾波器和陶瓷濾波器所替代。在高頻部分也出現(xiàn)了許多新型的濾波器，

2、例如：螺旋振子濾波器、微帶濾波器、交指型濾波器等等。雖然它們的設(shè)計(jì)方法 各有自己的特殊之點(diǎn)， 但是這些設(shè)計(jì)方法仍是以低頻“綜合法濾波器設(shè)計(jì)”為基 礎(chǔ)，再?gòu)闹醒葑兌桑覀円v的波導(dǎo)濾波器就是一例。 通過(guò)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，希望大家對(duì)復(fù)變函數(shù)在濾波器綜合中的應(yīng)用有所了解。 同時(shí)也向大家說(shuō)明：即使初看起來(lái)一件簡(jiǎn)單事情或一個(gè)簡(jiǎn)單的器件，當(dāng)你深入地 去研究它時(shí)，就會(huì)有許多意想不到的問(wèn)題出現(xiàn)，解決這些問(wèn)題并把它用數(shù)學(xué)形式 來(lái)表示，這就是我們的任務(wù)。誰(shuí)對(duì)事物研究得越深，誰(shuí)能提出的問(wèn)題就越多，或 者也可以說(shuō)誰(shuí)能解決的問(wèn)題就越多，微波濾波器的實(shí)例就能很好的說(shuō)明這個(gè)情 況。我們把整個(gè)問(wèn)題不斷地“化整為零”，然后逐

3、個(gè)地加以解決，最后再把它們 合在一起，也就解決了大問(wèn)題。這講義還沒(méi)有對(duì)各個(gè)問(wèn)題都進(jìn)行詳細(xì)分析，由此 可知提出問(wèn)題的重要性。希望大家都來(lái)試試。 第一部分 濾波器設(shè)計(jì) §1-1 濾波器的基本概念 圖 1 圖 1 的虛線(xiàn)方框里面是一個(gè)由電抗元件 L 和 C 組成的兩端口。 它的輸入端 1-1' 與電源相接，其電動(dòng)勢(shì)為 Eg，內(nèi) 阻為 R1。二端口網(wǎng)絡(luò)的輸出端 22' 與負(fù)載 R2 相接，當(dāng)電源的頻率為零（直流） 或較低時(shí)，感抗 jL 很小，負(fù)載 R2 兩端 的電壓降 E2 比較大（當(dāng)然這也就是說(shuō)負(fù)載 R2 可以得到比較大的功率）。 但是，當(dāng)電流的頻率很高時(shí)，一方面感抗 jL

4、 變得很大，另一方面容抗j/C 卻很小，電感 L 上有一個(gè)很大的壓降，電容 C 又幾乎把 R2 短路，所以，縱然電 源的電動(dòng)勢(shì) Eg 保持不變，負(fù)載 R2 兩端的壓降 E2 也接近于零。換句話(huà)說(shuō)，R2 不能 從電源取得多少功率。 網(wǎng)絡(luò)會(huì)讓低頻信號(hào)順利通過(guò)， 到達(dá) R2， 但阻攔了高頻信號(hào)， 使 R2 不受它們的作用，那些被網(wǎng)絡(luò) A（或其他濾波器）順利通過(guò)的頻率構(gòu)成一 個(gè)“通帶”，而那些受網(wǎng)絡(luò) A 阻攔的頻率構(gòu)成一個(gè)“止帶”，通帶和止帶相接 頻率稱(chēng)為截止頻率。 什么機(jī)理使網(wǎng)絡(luò) A 具有阻止高頻功率通過(guò)的能力呢？網(wǎng)絡(luò) A 是由電抗元件組成 的，而電抗元件是不消耗功率的，所以，高頻功率并沒(méi)有被網(wǎng)絡(luò)

5、A 吸收，在圖 一所示的具體情況中，它有時(shí)貯存于電感 L 的周?chē)?，作為磁能；在另一些時(shí)間， 它又由電感 L 交還給電源。 如果 L 和 C 都是無(wú)損元件 （即它們的電阻等于零） ， 那么，高頻功率就是這樣在電感與電源之間來(lái)回交換，絲毫不受損耗，這就是電 抗濾波器阻止一些頻率通過(guò)的物理基礎(chǔ)。從這個(gè)意義來(lái)說(shuō)，我們可以認(rèn)為濾波器 將止帶頻率的功率發(fā)射回電源去，同時(shí)也是因?yàn)檫@個(gè)關(guān)系，在止帶內(nèi)濾波器的輸 入阻抗是純電抗性的。 圖一的網(wǎng)絡(luò) A 是一個(gè)很簡(jiǎn)單的濾波電路，它的濾波效能是比較低的，在許多場(chǎng) 合下，往往不能滿(mǎn)足技術(shù)上的要求，而不得不采取更復(fù)雜的電路結(jié)構(gòu)。然而，不 管電路結(jié)構(gòu)如何復(fù)雜，濾波作用的物理

6、根源還是和前面所說(shuō)的完全一樣。 濾波作用是濾波網(wǎng)絡(luò)所具有的內(nèi)在特性， 但濾波網(wǎng)絡(luò)所能起到的作用還受外界因 素（電源內(nèi)阻 R1 和負(fù)載電阻 R2）的影響。濾波效能首先決定于濾波器的內(nèi)在特 性（這是主要的），同時(shí)還決定于濾波器的外加阻抗（這也是不可忽略的）。那 么，濾波器效能是用什么來(lái)衡量的呢？圖二(a 表示一個(gè)電源，它的電動(dòng)勢(shì)為 Eg，內(nèi)阻為 R1。設(shè)負(fù)載為 R2，則當(dāng)負(fù)載直接與電源相接時(shí)，它所能吸收的功率 P02 為： 現(xiàn)在我們將濾波器 A 接于電源與負(fù)載之間， 如圖二(b 所示， 由于濾波器的特性， 當(dāng)電源頻率變化時(shí)，出現(xiàn)于 R2 兩端的壓降 E2 是不同的，即 R2 從電源所取得的功 率

7、插入損耗 Li： 在不同頻率上是不等的。用分貝來(lái)表示的 P02 與 P2 的比值稱(chēng)為 (1 (a 圖 2 (b 插入損耗 Li 是衡量濾波器效能的一個(gè)參數(shù)。根據(jù)上面的討論，顯然可見(jiàn)，一個(gè) 良好的濾波器的插入損耗在通帶內(nèi)應(yīng)該比較低，而在止帶內(nèi)應(yīng)該比較高。理想的 濾波器的插入損耗在通帶內(nèi)應(yīng)該等于零，而在止帶內(nèi)應(yīng)該是無(wú)窮大。 插入損耗是普通濾波器常用的參數(shù)。濾波網(wǎng)絡(luò)具有的阻抗變換特性不難使負(fù)載 R2 在整個(gè)通帶內(nèi)與電源達(dá)成匹配。這時(shí)，負(fù)荷所吸收的功率將超過(guò) P02，而使 Li 取得負(fù)值。根據(jù) R1 和 R2 的比值不同，Li 的這個(gè)負(fù)值也不一樣。因此，插入損耗 Li 并不是一個(gè)很方便的比較基準(zhǔn)。 為

8、了避免這種困難， 人們還提出另外一個(gè)參數(shù)， 它以電源所能供給的最大功率 P0 為基準(zhǔn)。從電工基礎(chǔ)我們知道： P1 與 P0 的比值，如以分貝來(lái)表示，稱(chēng)為變換器損耗 LA（Transducter Loss: 根據(jù)以上給出的種種關(guān)系，可以算出： (2 從上式顯然可見(jiàn)，當(dāng) R2R1 時(shí)，變換器損耗就是插入損耗。有些參考書(shū)上，這兩 者是混為一談的。 必須注意，在(2 式中，當(dāng)頻率變化時(shí)，P2 是跟著變化的。在理想的情況下， 濾波器的變換器損耗 LA 在通帶內(nèi)應(yīng)該是零，而在止帶內(nèi)則應(yīng)該具有比較大的數(shù) 值。根據(jù)濾波器的具體電路結(jié)構(gòu)，變換器損耗與頻率保持有各種不同的關(guān)系。圖 三給出四種典型關(guān)系，在這些圖中，

9、橫坐標(biāo)表示頻率 ，縱坐標(biāo)表示變換器損 耗 LA。(a表示有關(guān)器件順利通過(guò)低于 1 的頻率，而阻礙高于 1 的頻率通過(guò)； 這樣的器件稱(chēng)為低通濾波器（LPLow Pass）。(b的情況正好相反，稱(chēng)為高通 濾波器（HPHigh Pass）。(c 表示有關(guān)器件順利通過(guò) 1 至 2 之間的頻率， 對(duì)于低于 1 或高于 2 的頻率都阻礙它們通過(guò)；這樣的器件稱(chēng)為帶通濾波器 （BP-Band Pass）。(d是(c的對(duì)立面，它阻止 1 至 2 之間的頻率通過(guò)，稱(chēng) 為帶阻濾波器（BSBand Suppress）。這些不同的頻率特性取決于電路的具體 結(jié)構(gòu)，圖四給出以上四種濾波器的基本結(jié)構(gòu)形式，各個(gè)元件的數(shù)值是和變

10、換器衰 減的頻率特性以及所接負(fù)載密切聯(lián)系著的。 驟然看來(lái)，這四種電路結(jié)構(gòu)是很不相同的，似乎各自應(yīng)有各自的設(shè)計(jì)方法。其實(shí) 不然，通過(guò)一些數(shù)學(xué)方法，人們可以把這四種濾波器電路結(jié)構(gòu)完全統(tǒng)一起來(lái)，這 里用到的數(shù)學(xué)方法叫作“頻率變換”。應(yīng)用頻率變換法，其它三種濾波器都可以 看作低通濾波器； 在設(shè)計(jì)時(shí)， 先從它對(duì)應(yīng)的低通濾波器著手 （因?yàn)檫@樣簡(jiǎn)單得多） ， 在獲得低通濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)以后，再用頻率變換法，求得所要設(shè)計(jì)的濾波器的 數(shù)據(jù)。因?yàn)檫@個(gè)關(guān)系，滿(mǎn)足設(shè)計(jì)技術(shù)要求的低通濾波器稱(chēng)為“母型濾波器”或 “原型濾波器”（prototype。 圖 3 圖 4 上面提出了衡量濾波器效能的參數(shù)變換器損耗 LA， 但是，

11、 效能好壞的準(zhǔn)則又 是什么呢？在實(shí)際濾波器中，變換器損耗的頻率特性往往不像圖三那樣理想。首 先，從通帶過(guò)渡到止帶，LA 是慢慢增加的，所以，衡量濾波器效能好壞的有關(guān)標(biāo) 準(zhǔn)是：從通帶過(guò)渡到止帶時(shí)，LA 曲線(xiàn)的上升要陡峭。其次在通帶內(nèi)，變換器損耗 不是完全不存在的，一方面因?yàn)闃?gòu)成濾波器的元件多少總帶有一點(diǎn)損耗，如電感 中的電阻，電容中的漏阻等。另一方面，由于設(shè)計(jì)上的考慮，有時(shí)故意要 LA 在 通帶內(nèi)不能完全為零。故衡量濾波器效能的另一準(zhǔn)則是：在 LA 曲線(xiàn)從通帶過(guò)渡 到止帶的上升程度相同的情況下，LA 在通帶內(nèi)的大小究竟怎樣。 對(duì)以上兩點(diǎn)的要求越高，濾波器所需用的元件越多，這將帶來(lái)生產(chǎn)工作和造價(jià)的

12、 增加。所以，對(duì)于實(shí)際設(shè)計(jì)，應(yīng)根據(jù)具體情況進(jìn)行全面的考慮，只要濾波性能能 夠滿(mǎn)足所提出的要求，那便沒(méi)有追求 LA 曲線(xiàn)上升過(guò)分陡峭的必要。問(wèn)題在于能 夠完成任務(wù)，這也就是我國(guó)老話(huà)“殺雞用不著牛刀”的意思。 第一部分 濾波器設(shè)計(jì) §1-2 濾波器設(shè)計(jì)的兩種出發(fā)點(diǎn) 濾波器的設(shè)計(jì)當(dāng)前有兩種不同的出發(fā)點(diǎn)。 一種稱(chēng)為鏡象參數(shù)法。它以濾波網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)在特性為根據(jù)。是人們一向用來(lái)設(shè)計(jì)濾 波器的老辦法。 這種方法的特點(diǎn)是: 根據(jù)濾波網(wǎng)絡(luò)的具體電路, 用分析的方法推 算出變換器損耗的特性。然后再將這些具體電路拼湊起來(lái), 使總的 LA 特性滿(mǎn)足 所需要的技術(shù)要求。用這種方法設(shè)計(jì)出來(lái)的濾波器一般為 K 式濾波

13、器和 m 式濾 波器等。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是理論根據(jù)簡(jiǎn)單。它的缺點(diǎn)是在分析過(guò)程中沒(méi)有考慮外 接負(fù)載的影響, 故在具體的設(shè)計(jì)要求提出后, 需要反復(fù)試探, 才能得到設(shè)計(jì)結(jié) 果; 這對(duì)于缺乏經(jīng)驗(yàn)的工作人員來(lái)說(shuō), 是頗費(fèi)時(shí)間的。 另一種方法從插入損耗入手, 它是近年來(lái)應(yīng)用的很多的設(shè)計(jì)方法。 這種方法的特 點(diǎn)是: 根據(jù)所提出的技術(shù)要求, 決定插入損耗 Li(在 R2=R1 時(shí)也就是孌換器損耗 LA與頻率 的函數(shù)關(guān)系, 然后根據(jù)這個(gè)函數(shù)關(guān)系, 應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)理論綜合出具體的 電路結(jié)構(gòu)。 所以這種方法和前面的一種方法正好是相反的; 這種方法根據(jù)要求推 求電路, 而鏡象參數(shù)法則是應(yīng)用已知的特性電路拼湊出滿(mǎn)足要求的結(jié)構(gòu)。

14、 這種方 法的優(yōu)點(diǎn)是設(shè)計(jì)準(zhǔn)確, 而且設(shè)計(jì)是已經(jīng)考慮到外接負(fù)載的影響, 無(wú)需經(jīng)過(guò)多次 試探的手續(xù)。它的缺點(diǎn)是需要用到比較難深的網(wǎng)絡(luò)理論。但是, 這個(gè)缺點(diǎn)是可以 彌補(bǔ)的, 因?yàn)橹灰划?dāng)把滿(mǎn)足各種要求的母型濾波器設(shè)計(jì)出來(lái)以后, 后來(lái)的設(shè) 計(jì)手續(xù)變成了簡(jiǎn)單的查表讀圖和應(yīng)用淺近數(shù)學(xué)方法換算數(shù)據(jù), 從實(shí)用角度來(lái)說(shuō) 比鏡象參數(shù)法還要簡(jiǎn)單得多。 第一部分 濾波器設(shè)計(jì) §1-3 綜合法濾波器 引言-恩格斯說(shuō)過(guò):“沒(méi)有分析就沒(méi)有綜合”。 要討論綜合法濾波器就需要從 分 析濾波器入手。綜合法濾波器設(shè)計(jì)又名插入損耗法。這就是說(shuō)插入損耗是該設(shè)計(jì) 法的核心?，F(xiàn)在需要弄清楚什么是網(wǎng)絡(luò)分析和什么是網(wǎng)絡(luò)綜合? 網(wǎng)絡(luò)分

15、析-給出一個(gè)具體網(wǎng)絡(luò), 要我們求出這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。 網(wǎng)絡(luò)綜合-它是網(wǎng)絡(luò)分析的逆過(guò)程。 給出一個(gè)具體的傳遞函數(shù), 要我們 求出這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的電路形式和各種元件的數(shù)值。 網(wǎng)絡(luò)綜合的確比分析一個(gè)具體電路要復(fù)雜得多。而且涉及的數(shù)學(xué)公式又多又難。 但是它又是一個(gè)把數(shù)學(xué)用于工程問(wèn)題的一個(gè)極好例子。 所以我們還是決定詳細(xì)地 講一講。我們相信這會(huì)對(duì)同學(xué)們有好處的。 (一 二端對(duì)網(wǎng)絡(luò)的電壓傳遞函數(shù) 工程設(shè)計(jì)中遇到的實(shí)際電路, 大多可以用圖五所示的二端對(duì)網(wǎng)絡(luò)來(lái)表示。 圖五的 左方代表一個(gè)實(shí)際的電壓源, Eg 是它的電動(dòng)勢(shì), R1 是它的內(nèi)阻。右邊的 R2 代表 負(fù)載。根據(jù)問(wèn)題的不同 R1 和 R2 可以取得種種不

16、同的數(shù)值, 因?yàn)槿藗冃枰鉀Q的 實(shí)際問(wèn)題是多種多樣的。 圖 5 這樣的兩端對(duì)網(wǎng)絡(luò)主要是用作傳輸系統(tǒng)。 既然如此, 人們首先注意的問(wèn)題是: 它 在外力作用下, 輸出端會(huì)產(chǎn)生什么效果。譬如說(shuō), 當(dāng)輸入端 1-1'加上激勵(lì)電壓 Eg,或送進(jìn)激勵(lì)電流 I1 時(shí), 接于網(wǎng)絡(luò)輸出端 2-2'的端載 R2 上的電壓 E2 或流過(guò) R2 上的電流 I2 都是很重要的響應(yīng), 我們把 Eg/E2 之比稱(chēng)為傳遞函數(shù)。 學(xué)過(guò)兩端對(duì)網(wǎng)絡(luò)理論, 我們當(dāng)然就希望用網(wǎng)絡(luò)理論來(lái)推導(dǎo)這個(gè)電壓傳遞函數(shù)。 考 慮到網(wǎng)絡(luò)內(nèi)元件的復(fù)雜性, 我們就用通用矩陣a來(lái)推導(dǎo)這個(gè)傳遞函數(shù)。 圖五所示結(jié)構(gòu)用a矩陣的參數(shù)來(lái)表示: 根據(jù)a

17、矩陣的定義: 先求 2-2'端接上負(fù)載 R2 時(shí), 1-1'端的輸入阻抗 Zin: 這樣圖五所示的網(wǎng)絡(luò)就轉(zhuǎn)化為圖 6 那樣。 該電路的電壓和電流的關(guān)系式是很容易 求得的。 圖 6 當(dāng) R1R21 時(shí)， (3 因?yàn)? 對(duì)于純電抗網(wǎng)絡(luò), 當(dāng)頻率 j 時(shí), 只有 B 和 C 是純虛數(shù), 而 A 和 D 是實(shí)數(shù)。 所以, 為: 就是一個(gè)復(fù)數(shù)。于是又可以把它表示 這個(gè)公式(3是極其重要的一個(gè)關(guān)系式, 它所要滿(mǎn)足的條件在我們一般要討論 的問(wèn)題中, 很容易達(dá)到 R1 = R2 。這是因?yàn)? 作為一個(gè)傳輸系統(tǒng)總是希望把大部 分功 率傳到負(fù)載上去的, 所以總是想盡辦法使電流和負(fù)載匹配。 這里要提

18、的另一個(gè)問(wèn)題是: 為什么在公式的推導(dǎo)中, 用的是 R1 = R2 =1, 而 不是具體值。R1 = R2 = 300,25,75 呢? 回答是: 這樣可以簡(jiǎn)化我們的討 論。這也 是網(wǎng)絡(luò)分析的一個(gè)極重要的結(jié)論-阻抗歸一化。 (二 化 電壓傳遞函數(shù)的阻抗歸一 人們對(duì)大量的具體電壓傳遞函數(shù)進(jìn)行分析后, 總結(jié)出一個(gè)重要的特性。 如果網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)獨(dú)立的阻抗乘上一個(gè)常數(shù)因子 A 后, 那么, 這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的電壓 傳遞函數(shù)保持不變。 考慮到以后的實(shí)際情況, 我們用帶撇“'”的 R'、C'和 L' 來(lái)表示已歸一化的元 件值, 單位分別是歐姆、法拉和亨利, 而用不帶撇的 R、C 和

19、L 表示實(shí)際電路的 元件值。具體來(lái)說(shuō): 這個(gè)結(jié)論可以用實(shí)際例子來(lái)說(shuō)明: 給我們兩個(gè)如圖 7(a(b所示的網(wǎng)絡(luò), 要我們分別求出其各自的電壓傳遞函數(shù), 按照電工原理, 我們可以求出它們的電壓傳遞函 數(shù): 對(duì)于圖 7(a所示的網(wǎng)絡(luò), 我們先求出其回路電流 I1: 圖 7 對(duì)于圖 7(b所示的網(wǎng)絡(luò), 由于其 R1=R2=1, 數(shù)簡(jiǎn)單, 所以計(jì)算起來(lái)更加簡(jiǎn) 潔: 由此可見(jiàn)這兩個(gè)電路的電壓傳遞函數(shù)是一樣的。圖 7(b的電路的各元件值只 是 圖 7(a的電中各元件的阻抗值擴(kuò)大了 50 倍的反映。所以, 這兩個(gè)電路只有絕 對(duì) 阻抗大小的差別, 而對(duì)電壓分配比是一樣的。這樣, 我們就可以把阻抗之間 的相對(duì)比例

20、一樣的網(wǎng)絡(luò)歸為一類(lèi)。 僅僅研究它的歸一化后的電路的特性, 別的阻 抗值的電路, 都可以從它導(dǎo)出。 (三 電壓傳遞函數(shù)的頻率歸一化 受到上述的好處以后, 我們很自然地會(huì)想到不同的頻率工作的電路, 其電壓傳 遞函數(shù)是否也能歸類(lèi), 研究的結(jié)果是可行的。其結(jié)論如 下: 如果把工作頻率從 =1 弧度/秒升高到 =B 弧度/秒, 讓該網(wǎng)絡(luò)的所有電阻保持 不變, 而把網(wǎng)絡(luò)中的所有電感 L 和電容 C 都除以 B, 那么, 變換后的電路的電 壓傳遞函數(shù)沒(méi)有變化。 這是很自然的, 它好像物理量的單位換算, 其基本的道理仍然是使網(wǎng)絡(luò)各元件 的阻抗之比保持不變。 對(duì)于電阻，因?yàn)樗凸ぷ黝l率無(wú)關(guān), 所以工作頻率變化,

21、 不影響它的值。 對(duì)于電容的電感, 則有: 這個(gè)結(jié)論也可以用實(shí)際例子來(lái)說(shuō) 明: 讓我們?nèi)砸詧D 7(b為例: 設(shè) =1 弧度/秒 , 則有 接著我們來(lái)看看, 若把 =2 弧度/秒代入, 又要保持其電壓傳遞函數(shù)不變, 有改變電路中的電感值, 它該是多少呢? 圖 7(b的電壓傳遞函數(shù)為 只 于是, 滿(mǎn)足保持電路的電壓傳遞函數(shù)不變的 可能, 只是 , 這正好就是從原來(lái)電感 L 除以頻率提高的倍數(shù) 2, 其最后 的具體結(jié)構(gòu)如圖 8 所示。 圖 8 阻抗歸一化和頻率歸一化的概念在網(wǎng)絡(luò)理論中極為重要。 因?yàn)? 今后列表中的各 種元件值都是以阻抗歸一化和頻率歸一化后的元件值。 各種具體阻抗和工作頻率 時(shí)的具體

22、都由它們導(dǎo)出。 人們能把這兩個(gè)法則合在一起, 從而能一下子同時(shí)去掉這兩個(gè)歸一化。 因此, 對(duì) 于一個(gè)已歸一化的電路, 要讓它們阻抗提高 A 倍, 頻率提高 B 倍, 那么人們就 有: 每個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的電阻乘上 A 每個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的電感乘上 A/B 每個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的電容乘上 1/AB 如果一個(gè)設(shè)計(jì)有大量的元件, 這個(gè)最后式是有用的。 但是, 我們推薦大家研究這 兩個(gè)基本概念。 如果大家理解了這個(gè)原理, 從這兩個(gè)基本法則是很容易推論出像 上式那樣的公式。因?yàn)? 上列的特定的結(jié)構(gòu)是很容易忘記或記錯(cuò)的。 (四各種頻率特性的濾波器的歸一化 在引言中, 我們?cè)劦接懈鞣N不同衰減特性的濾波器: 低通、 高通、 帶通和帶

23、阻, 而且通過(guò)數(shù)學(xué)上的變量代換, 可以把它們歸并為一個(gè)低通歸一化原型濾波器。 若 從數(shù)學(xué)變換的角度看, 上述的電壓傳遞函數(shù)的頻率歸一化也屬頻率變換。 這里要 講的實(shí)際就是從母型濾波器的數(shù)據(jù)推求實(shí)際濾波器網(wǎng)絡(luò)的具體結(jié) 構(gòu)。 (1 頻率擴(kuò)展(頻率歸一化母型低通濾波器的截止頻率 'c=1。假如需要設(shè) 計(jì)的低通濾波器的截止頻率不等于 1, 而是 c, 則從數(shù)學(xué)角度說(shuō)相當(dāng)于將原來(lái) 的頻率軸 '倍乘了 c。 故 =c' 亦 即 '=/c 圖 9(a表示兩個(gè)頻率軸之間的關(guān)系, (b表示母型低通濾波器的 LA'關(guān)系, (c 表示換算后 LA 之間的關(guān)系。在(b和(c的圖

24、形上, 我們還把負(fù)頻率部 分畫(huà)上。 負(fù)頻率實(shí)際上當(dāng)然不是客觀存在的, 但從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)說(shuō), 它還是可以 和 LA 保持一定的函數(shù)關(guān)系。這兩個(gè)圖形表明 LA 和頻率保持有偶函數(shù)的關(guān)系, 這 是由上面所提到的可實(shí)現(xiàn)性決定的。 進(jìn)行這種頻率變換時(shí), 設(shè)計(jì)電路的元件也跟 著改變, 其變化規(guī)律前小節(jié)已經(jīng)說(shuō)過(guò)了。 圖 9 (2 低通轉(zhuǎn)高通-如需要設(shè)計(jì)一個(gè)高通濾波器(參看圖 10, 它的截止頻 率是 c, 人們使新的頻率變量 與原來(lái)的 '保持下列關(guān)系: 圖 10 在頻率軸上表明這種轉(zhuǎn)換關(guān)系。應(yīng)用數(shù)學(xué)上的手法人們?cè)O(shè)計(jì)高通濾波器 時(shí), 實(shí)是利用了母性低通濾波器的負(fù)頻率部分。 所以要用這一部分也可實(shí)現(xiàn)性決

25、 定的數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用必須切合實(shí)際, 絕不能脫離實(shí)際進(jìn)行數(shù)學(xué)游 戲。 由母型低通濾波器換算到高通濾波器時(shí), 電路元件當(dāng)然要改變: 母型濾波器電 感應(yīng)改為電容, 其數(shù)值 母型濾波器的電容應(yīng)改為電感, 其數(shù)值 以后可以知道, L'k 和 C'k+1 都是表上查得的母型低通濾波器的元件參數(shù)。 (3 低通轉(zhuǎn)帶通-如果要根據(jù)低通濾波器設(shè)計(jì)一個(gè)帶通濾波器(參看圖 11, 的截止頻率是 1 和 2, 人們需要進(jìn)行更復(fù)雜些的頻率變換, 使母型濾波 器的頻變量 '與帶通濾波器的頻率變量 保持以下關(guān)系: (4 式中 2 為帶通濾波器的高端截止頻率, 1 為低端截止頻率, 0 稱(chēng)為中央頻率;

26、通常令 2-1 為帶通濾波器的通頻帶, W: 稱(chēng)為濾波器的相對(duì)通頻帶 W 通常以百分比表示, 故(4式可以改寫(xiě)成 (5 由式(5求 , 經(jīng)過(guò)演算和分析, 軸的關(guān)系(見(jiàn)圖 11。 人們可以得到母型濾波器的頻率軸與新頻率 根據(jù)母型低通濾波器換算帶通濾波器, 電路元件變得更加復(fù)雜。 母型濾波器的電 感應(yīng)改為 LC 串聯(lián)電路, 它的電感 Lk 和電容 Ck 與母型的電感 L'k 保持以下關(guān) 系: 母型濾波器的電容應(yīng)改為 LC 并聯(lián)電路, 它的電容 Ck+1 和電感 Lk+1 與母型的電容 C'k+1 保持以下關(guān)系: L'k 和 C'k+1 都可以從母型低通濾波器的元件表

27、上查得。低通帶止的問(wèn)題, 這里 不再贅述了。 我們把以上各種轉(zhuǎn)換關(guān)系綜合在表 1 上, 表內(nèi)還列出了低通轉(zhuǎn)帶止 所用到 的關(guān)系。 第一部分 濾波器設(shè)計(jì) § 1-4 低通濾波器的定量分析 經(jīng)過(guò)上一節(jié)的學(xué)習(xí), 我們已經(jīng)了解到對(duì)于某些具體電路的分析。 可以通過(guò)它們 的歸一化低通濾波器來(lái)進(jìn)行。下面, 我們來(lái)分析一到三節(jié)歸一化低通濾波器。 (一 一節(jié)低通濾波器 圖 12 示出了它的結(jié)構(gòu), 用電路分析, 很快就可以求出:回路電流 I1 為: 圖 12 若用通用矩陣a來(lái)求, 此電路的通用矩陣為 和電路分析求出的結(jié)果完全一樣。 不過(guò), 從過(guò)程中可以看出: 后一種方法簡(jiǎn)潔很 多。而且, 當(dāng)元件數(shù)目越多

28、就越顯出矩陣法的優(yōu)越。我們?cè)谶@里還要定義一個(gè)歸 一化幅度函數(shù) A(: 這主要是因?yàn)閭鬟f到負(fù)載的功率, 不是指電源總的輸出功率, 而是指最大輸出 功率 , 而不是 A(： , 這樣就差了一個(gè)系數(shù)。 所以一節(jié)低通濾波器的幅度函數(shù) (二 二節(jié)低通濾波器 圖 13 圖 13 示出了它的結(jié)構(gòu), 用電路分析解, 就比較復(fù)雜了, 如何解, 留給同學(xué)們作 練習(xí), 我們下面用通用矩陣來(lái)解它: (三 三節(jié)低通濾波器 圖 14 示出了它的結(jié)構(gòu), 我們?nèi)杂糜镁仃嘺來(lái)求它的電壓傳遞函數(shù), 法求解留給同學(xué)來(lái)完成。 而把電路 圖 14 這時(shí)網(wǎng)絡(luò)可以看成三個(gè)小兩端對(duì)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)聯(lián), 則有 (4 對(duì)偶電路 上述一列三節(jié)低通濾波電路

29、都有其對(duì)偶電路。我們把它們都畫(huà)在圖 15 上。它們 各自的電壓傳遞函數(shù)、幅度平方函數(shù)也可以求出如下: 一節(jié)對(duì)偶低通濾波器： 二節(jié)對(duì)偶低通濾波器 ： 三節(jié)對(duì)偶低通濾波器 ： 從上面分析可以看出對(duì)偶電路各自電壓傳遞函數(shù)是不變的, 它們?cè)趥鬟f能量的 頻率特性上是一樣的。 圖 15 像這樣一節(jié)一節(jié)地推下去最終就能導(dǎo)出像圖 16 所示的梯形結(jié)構(gòu)的低能濾波器。 其幅度平方函數(shù) A2(的一般表示式為: 其中 n 是濾波器的元件個(gè)數(shù)。 圖 16 通過(guò)對(duì)低通濾波器進(jìn)行定量分析以后, 得出兩個(gè)極為重要的結(jié)論: (一 一個(gè) 特定的電壓傳遞函數(shù), 對(duì)應(yīng)著兩個(gè)具體電路, 這兩個(gè)電路就是電工中的對(duì)偶電 路。(二對(duì)于梯形結(jié)

30、構(gòu)的低通濾波器, 它的幅度平方函數(shù)可以表示為頻率 作 2 參量的一個(gè) 2n 階的多項(xiàng)式。 又因?yàn)?A (和插入損耗 Li 有直接關(guān)系, 濾波器的 綜合又和多項(xiàng)式直接聯(lián)系在一起, 所以也有人把綜合法濾波器叫做多項(xiàng)式濾波 器。 這兩個(gè)結(jié)論的第二個(gè)更為重要, 因?yàn)樗嬖V我們梯形結(jié)構(gòu)低通濾波器的電壓傳 遞函數(shù), 和幅度平方函數(shù)是有規(guī)律的, 解析的。 這就為我們提供了運(yùn)用數(shù)學(xué)來(lái)解 決問(wèn)題的可能性。網(wǎng)絡(luò)分析達(dá)到這一步就完成了它的使命。下一步就屬網(wǎng)絡(luò)綜合 的范疇。根據(jù)給出的衰減特性, 或衰減曲線(xiàn)來(lái)找具體的電路。 第一部分 濾波器設(shè)計(jì) § 1-5 低通濾波器的綜合 (一 引言 低通濾波器根據(jù)定義應(yīng)該

31、是: 在通帶內(nèi)濾波器的變換器損耗 LA 為零, 而在止帶 內(nèi) LA 應(yīng)該無(wú)窮大。這是不可能實(shí)現(xiàn)的。一般來(lái)說(shuō), 工程問(wèn)題多大只有一個(gè)折衷 解。照顧一方面, 另一方面就得犧牲點(diǎn), 沒(méi)有什么都好的。濾波器的綜合也是這 樣, 主要的指標(biāo)有插入損耗, 帶外衰減, 信號(hào)的時(shí)間遲延, 信號(hào)的群遲延等。 根 據(jù)不同要求, 給出不同的結(jié)果。這里就是一個(gè)近似問(wèn)題。即用什么方法去盡量地 近似理想的情況。同時(shí)也有一個(gè)是以哪種方式去近似。只有解決了這些問(wèn)題, 才 能繼續(xù)討論具體的綜合。加上近似理論對(duì)于以后的工作和學(xué)習(xí)都很有用。所以我 們打算比較詳細(xì)講一講這個(gè)問(wèn)題。 (二 近似問(wèn)題 在討論用一個(gè)函數(shù)近似地表達(dá)另一個(gè)給定函

32、數(shù)(圖形之前, 我們用自變量 X 代 替無(wú)線(xiàn)電技術(shù)中的頻率 。這樣做的目的是使討論更有普遍意義。而且, 近似 常常是在經(jīng)頻率變換后進(jìn)行的, 故變量常不再是 。 假定 g(x為 x 的函數(shù), 給定在 x 軸的(a,b范圍內(nèi), 并令 f(x為我們所需要求的近 似(實(shí)現(xiàn)函數(shù)。函數(shù) g(x作為一個(gè)期望的幅度函數(shù)或者相位函數(shù)。它可能是以解 析式給出, 不過(guò)經(jīng)常是以圖形給出。f(x則是可實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。假定 g(x和 f(x 在區(qū)間(a,b內(nèi)具有同樣的性質(zhì)。這樣, 它們?cè)谀骋稽c(diǎn) x0 均可用臺(tái)勞級(jí)數(shù)來(lái)展開(kāi)。 并設(shè)兩個(gè)級(jí)數(shù)在區(qū)間(a,b內(nèi)均為收斂, 則: 近似的誤差將為兩者之差, 即 如果兩個(gè)級(jí)數(shù)的前 K

33、次系數(shù)逐項(xiàng)彼此相等, 則 f(x與 g(x為 K 階臺(tái)勞型近似。在 此情況下, 誤差函數(shù)將由 x 的第(K+1冪次項(xiàng)開(kāi)始, 即 上式就是 x=x0 處展開(kāi)的臺(tái)勞級(jí)數(shù)的誤差函數(shù)。而且, 可以看出: 在 x=x0 處的誤 差函數(shù)的前 K 階導(dǎo)數(shù)為零。這是臺(tái)勞近似法的一個(gè)性質(zhì)。其實(shí)我們可以得出如下 定義: 如果 g(x-f(x的前 K 階導(dǎo)數(shù)在 x=x0 處為零, 則 f(x為 g(x在 x=x0 處的 K 階 臺(tái)勞近似式。 臺(tái)勞型近似法中, 在 x=x0 處誤差為零; 而隨著 x-x0 的增大, 誤差增加。 因而, 這 其實(shí)這個(gè)近似 一近似法有利于接近 x0 的所有 x 值, 而不利于接近區(qū)域兩端

34、的點(diǎn)。 僅在 x0 點(diǎn)十分好, 在這一點(diǎn)不僅兩個(gè)函數(shù)完全相同, 而且, 它們的若干導(dǎo)數(shù)也 完全相同。 如果, 近似函數(shù) f(X沿給定函數(shù) g(x來(lái)回?cái)[動(dòng), 則兩者的差將有峰值和谷 值, 某些峰值將是很大, 而某些峰值則很小。 f(x越復(fù)雜, 即 f(x的可調(diào)整參數(shù)越 多,得到的近似就越好。假設(shè), 我們規(guī)定 f(x有 n 個(gè)參數(shù)例 如: 為具有 n 個(gè)可調(diào)整系數(shù) 的多項(xiàng)式最佳近似的一種方法是這樣。它使得誤差函數(shù)的最大值降到最小。我 們稱(chēng)此近似法為“切比雪夫近似法”。 由上可知, 對(duì)一個(gè)函數(shù) g(x或圖形進(jìn)行近似, 方法是多種的, 上述的臺(tái)勞級(jí)數(shù) 近似法和切比雪夫近似法都是最常用的, 此外還有一些

35、近似法, 如橢園函數(shù)近 似法。不過(guò), 不同的近似法有它各自的特點(diǎn)。所以就有選擇的余地。 (三最大平滑近似 圖 17 示出了一個(gè)理想低通濾波器, 其幅度和截止角頻率 c 都標(biāo)稱(chēng)為 1。 這個(gè)理想低通濾波器傳遞函數(shù)為 圖 17這樣的理想特性是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的 , 因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)函數(shù)是一個(gè)有理函數(shù) , 其幅度必須是 的連續(xù)平滑函數(shù) , 而圖 17的特性則不然 , 它在 =1處要折轉(zhuǎn)一個(gè)直角。因 此 , 在綜合過(guò)程中 , 需用近似方法求出一個(gè)有理函數(shù)來(lái)近似圖 17的特性。 一種簡(jiǎn)單的近似稱(chēng)為最平幅度特性近似。 這一近似函數(shù)必須是有理函數(shù) , 在通帶內(nèi) , 即 的范圍內(nèi) , 幅度平方要近似于 1。而在通帶之外 ,即

36、 的范圍 , 幅度的平方逐漸趨于無(wú)窮大。首先 , 假定傳遞函數(shù)的無(wú)窮大點(diǎn)產(chǎn)生在頻率等于處 , 則有 :其中指數(shù) n 和系數(shù) b 是待定的常數(shù) , 它們的數(shù)值與所求的近似程度有關(guān)。 在上式 分母中的第一項(xiàng)的系數(shù)取為 1是為了保證近似函數(shù)與給定函數(shù)在 =0時(shí)重合 , 在通帶內(nèi)誤差函數(shù)為 : 用 代入上式得 (6系數(shù) B 的求法隨所采用的近似類(lèi)型而定。 如果采用臺(tái)勞型近似 , 則要求誤差函數(shù) 的前 n 階導(dǎo)數(shù)在 x=0時(shí)等于零。更確切地說(shuō) , K階臺(tái)勞型近似需要誤差函數(shù)的第 K 階導(dǎo)數(shù)之前的各階導(dǎo)數(shù)等于零。式 (6的第 K 階導(dǎo)數(shù)之前的各導(dǎo)數(shù)當(dāng) x=0時(shí)分別為 :這樣 , 我們可以推斷定 : R(x

37、的第 n 階導(dǎo)數(shù)在 x=0時(shí) , 可以表示成 Bn 乘以 n! 。 又因?yàn)槲覀儾捎门_(tái)勞型近似 , 則誤差函數(shù) R(x的第 K 階以前導(dǎo)數(shù)在 x=0時(shí)都必 須是零 , 才可以稱(chēng)為第 K 階臺(tái)勞近似。所以 , B1=0, B2=0, B3=0一直到 B n-1=0, 于 是 , 函數(shù) 就是對(duì)于幅度為 1的 K 階臺(tái)勞近似。對(duì)于給定 n 值的最高階臺(tái)勞近似函數(shù)為 :上式稱(chēng)為最平幅度特性近似函數(shù)。在截止頻率處 (=1, 上式化為 : 系數(shù) Bn 取決于截止頻率處 , 人們規(guī)定是什么樣的幅度 , 當(dāng) Bn=1時(shí) , G(12=2, 于是截止頻率 =1處對(duì)應(yīng)著輸出功率下降 3 db, 輸出幅度下降 0.7

38、07倍。這種 最平幅度近似還有一個(gè)名字叫做勃脫瓦茲 (Butterworth響應(yīng)。多項(xiàng)式也叫做 n 階勃脫瓦茲多項(xiàng)式。(四 切比雪夫 (Chebyshev近似現(xiàn)在我們?cè)儆懻摿硪环N近似方法。 這就是讓近似函數(shù)在給定函數(shù)附近擺動(dòng) , 使誤 差平均地分布在整個(gè)頻帶內(nèi)。 同時(shí)我們還把最大值的大小減到最小 , 這也就等于 偏離近似。 我們把這種近似叫做切比雪夫近似。 由于在工程中很有用 , 所以打算 詳細(xì)地來(lái)講。一般的問(wèn)題為在區(qū)間 (-1,+1范圍內(nèi)求出與某一常數(shù)為切比雪夫近似的 m 階多項(xiàng) 式的系數(shù) (將 軸歸一化成頻率帶邊緣等于±1 。 誤差函數(shù)本身為一 m 階多項(xiàng)式 , 設(shè)為 h(, 且

39、其階狀如圖 18所示 , 其中 h 峰值被歸一化于 1。 圖 18根據(jù)數(shù)學(xué)分析可知 , 一個(gè) m 階切比雪夫近似的誤差函數(shù)在近似區(qū)域內(nèi)應(yīng)達(dá)峰值 m+1次 ; m-1個(gè)出現(xiàn)于近似區(qū)內(nèi) , 2個(gè)出現(xiàn)于邊界上。在區(qū)內(nèi)的峰值點(diǎn)上 , h的導(dǎo) 數(shù)應(yīng)為零 , 且所有導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)應(yīng)為一階零點(diǎn)?，F(xiàn)在 , 設(shè)有多項(xiàng)式 1-h2; 它在所有 m+1個(gè) h 峰值點(diǎn)將等于零 , 因?yàn)樵谶@些點(diǎn)上 , h=±1。而且 , 它在區(qū)內(nèi)峰值點(diǎn)上將 有二階零點(diǎn)。這可由 1-h2的導(dǎo)數(shù) 2hh' 在這些點(diǎn)也零而得出。在兩端 =±1點(diǎn) , 1-h 2僅有一階零點(diǎn)。因此 , 1-h2除了含有 (h'2及

40、 (1-(1+ 外 , 無(wú)其他因子。 這樣我們有 : 其中 , K為常數(shù)。 h 的解可由上式積分得出。其結(jié)果為 :已知 , 當(dāng) 由 -1到 +1, h在±1間擺動(dòng) m 次 , 這就確定了 K=1/m , 所以 h=Cos(m Cos-1 1并可寫(xiě)為 :h=Cosmy=Cosy這些多項(xiàng)式可以表示為 Tm( 并稱(chēng)第一類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式 , m為多項(xiàng)式的階。 對(duì)于 >1的情況 , 就有 :圖 19示出了幾個(gè)低階切比雪夫多項(xiàng)式 圖形及其數(shù)學(xué)表達(dá)式 :圖 19(五 最大平滑濾波器的綜合在我們研究了近似條件和某些特定的近似函數(shù) , 加上網(wǎng)絡(luò)分析時(shí)推導(dǎo)的結(jié)論 : 圖 16所示的梯形結(jié)構(gòu)低能濾波

41、器 , 其幅度平方函數(shù) A 2( 的一般表示式 為 :(7其中 n 是濾波器的元件個(gè)數(shù) , 我們就有條件來(lái)綜合濾波器的元件。在近似理論中已經(jīng)指出 : 理想的低通濾波器特性可以采用臺(tái)勞近似。 它的最高階 近似就是勃脫瓦芘茲(最大平滑響應(yīng)。 它要求低通濾波器的幅度平方函數(shù)滿(mǎn)足下 列公式: (8 其中 n 為濾波器的元件個(gè)數(shù)。 比較(7式(8式就知道, 如果希望用上述梯形結(jié)構(gòu) 來(lái)綜合濾波器只要令這兩個(gè)公式中的各項(xiàng)系數(shù)相等, 則有: 利用這個(gè)條件, 我們就可以解出滿(mǎn)足最大平滑函數(shù)的濾波器。下面就來(lái)找找看: 一節(jié)最大平滑低通濾波器: 根據(jù)定量分析, 一節(jié)低通濾波器的幅度平方函數(shù)的數(shù)學(xué)式為: 要滿(mǎn)足最大平

42、滑的要求, 則有: L=-2 是物理上不能實(shí)現(xiàn)的。 二節(jié)最大平滑低通濾波器: 其幅度平方函數(shù)的通用式為: 其他解無(wú)物理意義。 三節(jié)最大平滑低通濾波器: 其幅度平方函數(shù)的通用式為: 要滿(mǎn)足最大平滑的要求, 則有: 求解并取有理解為: 當(dāng) c=1 弧度/秒時(shí), L1=L3=1(亨利 C2=2(法拉 從上述討論, 已經(jīng)可以看出, 當(dāng)濾波器節(jié)數(shù)超過(guò)四節(jié)以上, 直接求解法就 顯得得很困難了。 這里我們就要用到復(fù)變函數(shù)理論來(lái)求高階最大平滑濾波器。 我們還是從最大 2 2 平滑近似函數(shù)出發(fā): A (=1+ n 用 S=j 把 平面開(kāi)拓到復(fù)數(shù)平面 S 上, 則: 這就是最大平滑函數(shù)的復(fù)變函數(shù)表示法。 又因?yàn)閺?fù)

43、變函數(shù)中, 零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置 決定了這個(gè)函數(shù)的特性, 所以我們也來(lái)求出 則有: 時(shí), 各個(gè)零點(diǎn)的位置。 式中: K=1,2,3.2n。 這些零點(diǎn)都落在 S 平面的單位圓上, 并且既以實(shí)軸為對(duì)稱(chēng)又以虛軸為對(duì)稱(chēng)。 對(duì)下 列情況求零點(diǎn): 其零點(diǎn)的分布如圖 20 所示。 圖 20 現(xiàn)在需要把幅度平方函數(shù)的根和以前學(xué)過(guò)的反射系數(shù)、 插入損耗和兩端對(duì)網(wǎng)絡(luò)的 輸入阻抗聯(lián)系起來(lái)。根據(jù)定義, 兩端對(duì)網(wǎng)絡(luò)的插入阻抗和它的傳遞函數(shù)的幅度 平方有下列關(guān)系: 它只描述了負(fù)載吸收功率 P2 和電源最大輸出功率之間的關(guān)系。而沒(méi)有直接地和 網(wǎng)絡(luò)中的元件聯(lián)系起來(lái)。 不過(guò), 我們知道濾波器網(wǎng)絡(luò)是無(wú)源元件組成的, 它不吸 收功率。

44、 于是, 最大輸出功率一定是由這個(gè)兩端網(wǎng)絡(luò)反射回去一部分, 留下的才 成了負(fù)載 R 上的吸收功率。這樣, 我們可寫(xiě)成: Pi 輸入功率, Pr 反射功率, R2 負(fù)載 R 上的吸收功率, 在這里 Pi=Pmax,(參見(jiàn)圖 21。 (a 圖 21 (b 另一方面, 根據(jù)傳輸線(xiàn)理論, 反射功率 Pr 為: 式中 為反射系數(shù), *表示 的共軛復(fù)數(shù), 故得插入損耗: 注意 = (j, 它是因頻率 而變的。所以, 按照前面講的近似函數(shù)所提 出的具體, 實(shí)際就是找出反射系數(shù)的模平方2 與 的函數(shù)關(guān)系。即: 有了反射系數(shù) 和A(之間關(guān)系, 我們還可以推出兩端對(duì)網(wǎng)絡(luò)的輸入端 的輸入阻抗 Zin(1和 (j之間

45、的關(guān)系。 另外根據(jù) Zin(1求網(wǎng)絡(luò)元件又有下列關(guān)系 式中 A、B、C、D 是通用矩陣中的參數(shù)。到此, 我們已經(jīng)把近似函數(shù)的要求和網(wǎng) 絡(luò)元件聯(lián)系起來(lái), 下面就通過(guò)舉例來(lái)說(shuō)明這些過(guò)程。 求一節(jié)低通最大平滑式歸一化濾波器的元件值。 已知, 它的幅度平方函數(shù)有下列 關(guān)系: 對(duì)于一節(jié)濾波器, n=1, 則: 利用 S=j, 則有: 根據(jù)另極點(diǎn)分布的位置, (S是包括了 S 平面的左半平面上的點(diǎn), (-S 包括 了 S 平面右半平面上的點(diǎn)。所以: 這根據(jù)電阻分析 Zin(1=2S+1 表示著一個(gè) 2 亨利的電感和一個(gè) 1 歐姆的電阻串聯(lián), 去掉這 1 歐姆電阻(歸一化負(fù)載電阻, 該兩端對(duì)網(wǎng)絡(luò)中只剩下一個(gè)

46、 2 亨利的電感, 這和直接用類(lèi)比法求的結(jié)果是一樣的。見(jiàn)圖 22 所示。 下面我們來(lái)看一下二節(jié)濾波器的情況: 二節(jié)低通最大平滑式歸一化濾波器的元件值的求解過(guò)程: 對(duì)于二節(jié)濾波器 n=2 來(lái)說(shuō), 最大平滑函數(shù)應(yīng)該是 開(kāi)拓到 S 平面, 則有: 根據(jù)上式可知其左半 S 平面上的兩個(gè)根為: 取其左半 S 平面上的零, 極點(diǎn)構(gòu)成 (S, 則: 求其兩端對(duì)輸入端的輸入阻抗, 則有: 其中 Z1 是 亨利的電感 , Y2 是 法拉的電容, 其具體結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖 23 所示, 圖 22 圖 23 這個(gè)結(jié)果又和以前類(lèi)比法求出的相一致。但是求解的過(guò)程簡(jiǎn)單明了。 把這些 n=2,n=3.m 的結(jié)果算出來(lái), 列成表。 不

47、同的 n 值, 網(wǎng)絡(luò)有兩種形式。 一種是第一個(gè)元件為并聯(lián)電容, 如圖 24(a所示。 另一種是第一個(gè)元件為電感, 如圖 24(b所示。 不同 n 值網(wǎng)絡(luò)的元件值列于表 2。 表中所列的各元件值的單位, 電容為法拉, 電感為亨利。 現(xiàn)在應(yīng)用綜合方法設(shè)計(jì)出來(lái)的濾波器大都具有最大平滑特性或切比雪夫特性。 附 圖 1 給出母型濾波器的最大平滑特性, 它的特點(diǎn)是無(wú)論在通帶或止帶內(nèi), 插入 損耗 Li 都隨著 '的上升而單調(diào)增加。雖然在這兩個(gè)頻帶內(nèi)增加的速度是很不 相同的。附圖 2 表示切比雪夫?yàn)V波特性,它的特點(diǎn)是: 在通帶內(nèi), 插入損耗 Li 在 0 db 與 A db 之間來(lái)回變化; 在截止頻

48、率上, L=A db; 時(shí)入止帶后, Li 單調(diào) 上升。 從這兩個(gè)圖形可以看出, 當(dāng)元件數(shù)目 n 增大時(shí), Li 從通帶至止帶的過(guò)濾較前陡 峭。實(shí)際上, 元件數(shù)目愈多, Li 在過(guò)度區(qū)內(nèi)的上升愈快。所以, 在設(shè)計(jì)濾波器 時(shí), 首先是根據(jù)提出技術(shù)要求, 確定所需的元件數(shù)目 n。 附圖 3 是最大平滑濾波特性和切比雪夫?yàn)V波特性的比較。 它們所用的元件數(shù)目相 同(n=2。一種非常顯著的差別是在截止頻率 'c 以外, 切比雪夫特性的 Li 的 曲線(xiàn)上升得非常迅速, 超過(guò)最大平滑濾波器甚多。 這意味著切比雪夫?yàn)V波器能夠 提供一個(gè)極其明顯的截止區(qū)域, 把通帶和止帶分開(kāi)來(lái)。這是它的優(yōu)點(diǎn)。不過(guò), 也

49、有它的缺點(diǎn), 就是在通帶內(nèi)也有一定的插入損耗。 不但如此, 當(dāng)構(gòu)成濾波器的電 抗元件具有較大的損耗時(shí), 雖然任何一種濾波器的通帶響應(yīng)都會(huì)發(fā)生改變, 但 是這種影響對(duì)切比雪夫?yàn)V波器尤其厲害。 下面我們列出這兩種母型濾波器的各種計(jì)算公式和表格, 所用符號(hào)的含意在下 面敘述。 ( 最大平滑濾波器: 變換器損耗 LA 式中 n=元件數(shù), ， A=在截止頻率 'c 上的器件損耗, 當(dāng) A=3db 時(shí), =1。 止帶內(nèi)的 LA 與 '的關(guān)系見(jiàn)有關(guān)書(shū)籍。 元件參數(shù) 以下公式適用兩端加載, A=3db, g0=1, gn+1=1,'c=1 的情況。(單位:歐姆; 亨 利或法拉 應(yīng)用這些

50、公式計(jì)算出來(lái)的元件值見(jiàn)表 2。 表2 最大砰滑母型低通濾波器元件值 圖 24 更詳細(xì)的表格可參考有關(guān)書(shū)籍 (切比雪夫?yàn)V波器 切比雪夫?yàn)V波器的變換損耗的表示工, 在通帶和止帶內(nèi)是不一樣的。 變換器損耗 式中的符號(hào)如前。Ch 是雙曲余弦函數(shù), 可從有關(guān)函數(shù)表查得。LA 與 '的關(guān)系曲 線(xiàn)可以從有關(guān)書(shū)籍中查到, 我們的曲線(xiàn)只適用于通帶內(nèi)器件損耗 LA=0.1db 的情 況。 元件參數(shù)(g0=1, 'c=1 輔助參數(shù)計(jì)算公式: 元件計(jì)算公式 表 3 是計(jì)算出來(lái)的元件值表。它適用于 A=0.1db, g0=1, 'c=1 的情況, 其結(jié)構(gòu) 同最大平滑式濾波器。 表 3 切比雪夫

51、0.1 db 波紋的元件值 n 1 2 3 g1 0.3052 0.8430 1.0315 g2 1.0000 0.6220 1.1474 . g3 . g4 . . g5 . . . g6 . . . g7 1.3554 1.0315 . 1.0000 . 4 5 6 1.1088 1.1468 1.1681 1.3061 1.3712 1.4039 1.7703 1.9750 2.0562 0.8180 1.3712 1.5170 1.3554 1.1468 1.9029 . . 1.0000 0.8618 . 1.3554 更詳細(xì)的表格可參考有關(guān)書(shū)籍: 1?！拔⒉V波器阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)與耦合

52、結(jié)構(gòu)” 上?？萍记閳?bào)通訊編譯室, 1972 年 2?！盀V波器綜合法設(shè)計(jì)原理” 黃席椿、高鵬泉 編著, 人民郵電出版社, 1978 年 3?！拔⒉ňW(wǎng)絡(luò)” 林為干 著, 國(guó)防工業(yè)出版社出版, 1978 年 為了能更加自由地運(yùn)用這些圖表, 對(duì)這些圖表作一個(gè)詳細(xì)說(shuō)明。圖 24 的(a和 (b中, 1-1'和 2-2'之間的電路是母型濾波器的本體;左方代表電源的“內(nèi) 阻”(圖上把電源略去了;右方代表負(fù)載電阻。母型濾波器共有 n 個(gè)元件構(gòu)成, n 的數(shù)值取決于對(duì)插入損耗的具體要求。當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí), 電路的終端如圖 24(a左 方的電路所示。當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí), 電路的終端便接成圖 24(a

53、右方的局部電路所給 出的情況。 在網(wǎng)絡(luò)理論上, 圖 24(b的電路是(a的“對(duì)偶”電路。這兩個(gè)電路的特性是完 全相同的。所以母型濾波器可以采用(a的結(jié)構(gòu), 也可以采用(b的結(jié)構(gòu)。 為了擴(kuò)大母型濾波器的數(shù)據(jù)的適用范圍, 圖 24 的電路是歸一化了的, 圖上標(biāo)出 的符號(hào)也具有靈活的含義。下面是母型濾波器所用的符號(hào)。 'c 母型濾波器的截止頻率, 它是通帶和止帶的分界;通常令 'c=1 ' 母型濾波器的頻率變量。 0''c 這個(gè)范圍代表通 帶; 'c<'代表止帶; g K=1n 母型濾波器所用元件的參數(shù), 根據(jù)具體情況, 它有著不同 的含

54、義(參看圖 24; 在一些場(chǎng)合下, 它表示串接線(xiàn)圈的電感量, 而在另一些場(chǎng) 合下, 則表示跨接電容的電容量。 g 反映電源內(nèi)阻的參數(shù), 它也有靈活的含義: 當(dāng) g =G'1(即圖 24(a 的情況時(shí), g 就是電源內(nèi)阻 R'0。 但當(dāng) g =L'1(即圖 24(b的情況時(shí), g 切代 表電源的內(nèi)部電導(dǎo) G'0;在這種情況下, 電源用等效電流源來(lái)表示。 gn+1 反映負(fù)載的參數(shù), 亦有靈活含義: 當(dāng) g =Gn 時(shí), g 表示負(fù)載電阻 Rn+1; 但當(dāng) g =L'n 時(shí), g 切代表負(fù)載的電導(dǎo) Cn+1。 所以采用這樣靈活的含義, 是使算出的數(shù)據(jù)表既適用于

55、圖 24(a,也適用于(b 的電路。 通常表 2 所列的數(shù)據(jù)大都是在 'c=1 和 g0=1 的條件下計(jì)算出來(lái)的, 當(dāng)實(shí)際情 況不符合以上條件時(shí), 必須對(duì)表的數(shù)據(jù)進(jìn)行變換, 才能符合實(shí)際情況。 K 0 1 0 1 0 n n+1 n n+1 實(shí)際上就是把母型濾波器僅歸一化成別的阻抗電平和頻率標(biāo)度, 只要用下列變 換式就行。 這些方程中帶撇的量是歸一化母型中的量, 不帶撇的量對(duì)應(yīng)于有標(biāo)度電路的量。 如前面討論所指出的, 本章的原型有 g0=R'0=1 或 g0=g'1=1。這和以前討論的結(jié)論 是一致的。 A 對(duì)應(yīng) R0/R'0 以及 B=1/'1。 我舉一

56、個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明這個(gè)過(guò)程, 假定有一個(gè)低通母型最大平滑濾波器, 節(jié)數(shù) n=3, 則查出其低通母型的元件值為 R'0=1.000 歐姆, L'1=1.000 亨利, C'2=2.000 法拉, L'3=1.000 亨利?，F(xiàn)在希望在電源內(nèi)阻 R0=0 歐姆, 3db 下降點(diǎn)在 100MHZ 的情況下, 來(lái)實(shí)現(xiàn)這個(gè)濾波特性。于 。 利用上列 是: 各式就得: R0=50 歐姆； L2=L1=50×(0.159×10-2×1=0.795mh;C2=1/50×(0.159×10-2×2=63.6pf。畫(huà) 成最后的電路

57、圖如圖 25 所示。 圖 25 作為本小節(jié)的結(jié)束, 讓我們結(jié)合下列的濾波器進(jìn)行計(jì)算, 作為實(shí)例。 設(shè)要求一個(gè)通帶濾波器, 其性能為: (1 在中心頻率 f0=6680MHz 的駐波比<1.1; (2 在 f0 的變換器損耗<1.1db; (3 3db 帶寬大于 f0±19MHz, 同時(shí)小于 f0±24MHz; (4 在 f0±10MHz 內(nèi)平坦度在 0.3db 以?xún)?nèi); (5 止帶衰減: 在 f0±70MHz 上, LA50db。 第(1和第(2項(xiàng)指標(biāo)涉及到元件的損耗, 我們暫時(shí)將它撇開(kāi), 這里我們以最大 平滑濾波為例, 它的中心頻率 f0=6

58、680MHz。 (設(shè)計(jì)截止頻率 f1、f2 和相對(duì)帶寬 W 等: 根據(jù)要求, 設(shè)截止頻率等于 f 截波± f1 =6680+21.5=6701.5 MHz f2=6680-21.5=6658.5MHz , 得: 中心頻率 f0= =6680 MHz 相對(duì)帶寬為: 這是一個(gè)頻率比較窄的濾波器。 (選擇元件數(shù) n 元件數(shù) n 取決于要求的第(5項(xiàng)和第(4項(xiàng)。要求(5提出在 f0±70MHz 的頻率 上,LA50 db。這兩個(gè)頻率實(shí)際是 f4=6680+70=6750MHz f5=6680-70=6610MHz 首先我們得把這兩個(gè)頻率轉(zhuǎn)換為它們所對(duì)應(yīng)的母型濾波器頻率 '4

59、 和 '5。因 為換算后, '4 更靠近零, 我們只需要考慮 f4。 根據(jù)這個(gè)數(shù)據(jù),我們可以在附圖的曲線(xiàn)上查找。查到 n=5 的曲線(xiàn)給出 LA=51.4db, 已可以滿(mǎn)足需要。故母型濾波器應(yīng)由 5 個(gè)元件組成。這個(gè)步驟當(dāng)然也可以用公式 推算, 不過(guò)麻煩一些而已。 取 n=5 時(shí), 驗(yàn)算要求(3, 完全可以滿(mǎn)足而有余。 (母型低通濾波器 在決定取 n=5 以后,我們便可以應(yīng)用公式直接得到母型低通濾波器如圖 26 所示。 (換算成帶通濾波器 如果所要設(shè)計(jì)的濾波器系由集總參數(shù)的元件組成, 到了這里人們便可以根據(jù)上 一步所得的母型低通濾波器, 應(yīng)用式 4 和式 5, 把它換算成圖 27 所示的帶通濾 波器,這就是設(shè)計(jì)結(jié)果。 可是對(duì)于微波濾波器來(lái)說(shuō), 工作似乎只進(jìn)行了一半, 還有一個(gè)怎樣把圖 27 的電 路具體化的問(wèn)題, 即采用什么結(jié)構(gòu)才以獲得與圖 27 的電路大致等同的效果。這 個(gè)問(wèn)題就是第二部分的內(nèi)容。 圖 26 圖 27 第二部分 微波濾波器 引言: 微波濾波器, 由于微波的特殊性, 微波電路所采用的元件在結(jié)構(gòu)上和普通電路 所用的元件是截然不同的。元件結(jié)構(gòu)上的這種差異引起了微波濾波器的特殊性, 當(dāng)然作