第八章_季節(jié)性時間序列模型

1、第八章 季節(jié)性時間序列模型第一節(jié) 季節(jié)指數(shù)第二節(jié) 綜合分析第三節(jié) X11過程第四節(jié) 隨機(jī)季節(jié)差分【例】以北京市1995年2000年月平均氣溫序列為例，介紹季節(jié)性時間序列模型的基本思想和具體操作步驟。 時序圖一、季節(jié)指數(shù)n季節(jié)指數(shù)的概念n所謂季節(jié)指數(shù)就是用簡單平均法計算的周期內(nèi)各時期季節(jié)性影響的相對數(shù) n季節(jié)模型ijjijISxx返回本節(jié)首頁下一頁上一頁季節(jié)指數(shù)的計算n計算周期內(nèi)各期平均數(shù)n計算總平均數(shù)n計算季節(jié)指數(shù)mknxxniikk, 2 , 1,1nmxxnimkik11mkxxSkk, 2 , 1,季節(jié)指數(shù)的理解n季節(jié)指數(shù)反映了該季度與總平均值之間的一種比較穩(wěn)定的關(guān)系n如果這個比值大于1

2、，就說明該季度的值常常會高于總平均值n如果這個比值小于1，就說明該季度的值常常低于總平均值n如果序列的季節(jié)指數(shù)都近似等于1，那就說明該序列沒有明顯的季節(jié)效應(yīng) 例1 季節(jié)指數(shù)的計算季節(jié)指數(shù)圖二、綜合分析n常用綜合分析模型n加法模型n乘法模型n混合模型ttttISTxttttISTx)()ttttttttITSxbITSxa返回本節(jié)首頁下一頁上一頁例2 對1993年2000年中國社會消費品零售總額序列進(jìn)行確定性時序分析 月份199319941995199619971998199920001977.51192.21602.21909.12288.52549.52662.12774.72892.511

3、62.71491.51911.22213.52306.42538.428053942.31167.51533.31860.12130.92279.72403.126274941.31170.41548.71854.82100.52252.72356.825725962.21213.71585.41898.32108.22265.22364263761005.71281.11639.719662164.723262428.826457963.81251.51623.61888.72102.52286.12380.325978959.812861637.11916.42104.42314.6241

4、0.9263691023.31396.217562083.52239.62443.12604.32854101051.11444.118182148.3234825362743.930291111021553.81935.22290.12454.92652.22781.53108121415.51932.22389.52848.62881.73131.43405.73680(1)繪制時序圖(2)選擇擬合模型n長期遞增趨勢和以年為固定周期的季節(jié)波動同時作用于該序列，因而嘗試使用混合模型（b）擬合該序列的發(fā)展)(ttttITSx(3)計算季節(jié)指數(shù)月份季節(jié)指數(shù)月份季節(jié)指數(shù)10.98270.92920

5、.94380.94030.92091.00140.911101.05450.925111.10060.951121.335季節(jié)指數(shù)圖季節(jié)調(diào)整后的序列圖ttttITSx(4)擬合長期趨勢tTt93178.20522.1015(5)殘差檢驗ttttITSx(6)短期預(yù)測 ( )tt lt lx lST三、X-11過程n簡介nX-11過程是美國國情調(diào)查局編制的時間序列季節(jié)調(diào)整過程。它的基本原理就是時間序列的確定性因素分解方法 n因素分解n長期趨勢起伏n季節(jié)波動n不規(guī)則波動n交易日影響n模型n加法模型n乘法模型返回本節(jié)首頁下一頁上一頁方法特色n普遍采用移動平均的方法n用多次短期中心移動平均消除隨機(jī)波動

6、n用周期移動平均消除趨勢n用交易周期移動平均消除交易日影響 例2 續(xù)n對1993年2000年中國社會消費品零售總額序列使用X-11過程進(jìn)行季節(jié)調(diào)整 n選擇模型（無交易日影響）ttttISTx X11過程獲得的季節(jié)指數(shù)圖 季節(jié)調(diào)整后的序列圖趨勢擬合圖 隨機(jī)波動序列圖第四節(jié)第四節(jié) 季節(jié)時間序列模型季節(jié)時間序列模型n4.1季節(jié)時間序列的重要特征季節(jié)時間序列的重要特征n一、季節(jié)時間序列表示一、季節(jié)時間序列表示n許多商業(yè)和經(jīng)濟(jì)時間序列都包含季節(jié)現(xiàn)象，例如，冰淇淋的銷量的季度序列在夏季最高，序列在每年都會重復(fù)這一現(xiàn)象。相應(yīng)的周期為4。類似地，在美國汽車的月度銷售量和銷售額數(shù)據(jù)在每年的7月和8月也趨于下降，

7、因為每年這時汽車廠家將會推出新的產(chǎn)品；在西方，玩具的銷售量在每年12月份會增加，主要是因為圣誕節(jié)的緣故；在中國，每年農(nóng)歷5月份糯米的銷售量大大地增加，這是因為中國的端午節(jié)有吃粽子的習(xí)慣。以上三種情況的季節(jié)周期都是12個月。由上面的例子可以看到，很多的實際問題中，時間序列會顯示出周期變化的規(guī)律，這種周期性是由于季節(jié)變化或其他物理因素所致，我們稱這類序列為季節(jié)性序列。單變量的時間序列為了分析方便，可以編制成一個二維的表格，其中一維表示周期，另一維表示某個周期的一個觀測值，如表8.1所示。 n 表表4.1 單變量時間序列觀測數(shù)據(jù)表單變量時間序列觀測數(shù)據(jù)表n例如，19932000年各月中國社會消費品零

8、售總額序列，是一個月度資料，其周期S=12，起點為1993年1月，具體數(shù)據(jù)見附錄。n二、季節(jié)時間序列的重要特征二、季節(jié)時間序列的重要特征n季節(jié)性時間序列的重要特征表現(xiàn)為周期性。在一個序列中，如果經(jīng)過S個時間間隔后觀測點呈現(xiàn)出相似性，比如同處于波峰或波谷，我們就說該序列具有以S為周期的周期特性。具有周期特性的序列稱為季節(jié)時間序列，S為周期的長度，不同的季節(jié)時間序列會表現(xiàn)出不同的周期，季度資料的一個周期表現(xiàn)為一年的四個季度，月度資料的周期表現(xiàn)為一年的12各月，周資料表現(xiàn)為一周的7天或5天。n例如，圖4.16的數(shù)據(jù)是1993年1月到2000年12月的中國社會消費品月銷售總額。n 圖圖4.16 199

9、3年年1月月2000年年12月的中國社會消費品月銷售總月的中國社會消費品月銷售總額額n當(dāng)然影響一個季節(jié)性時間序列的因素除了季節(jié)因素外，還存在趨勢變動和不規(guī)則變動等。我們研究季節(jié)性時間序列的目的就是分解影響經(jīng)濟(jì)指標(biāo)變量的季節(jié)因素、趨勢因素和不規(guī)則因素，據(jù)以了解它們對經(jīng)濟(jì)的影響。50010001500200025003000350040001993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000SALES4.2 季節(jié)時間序列模型季節(jié)時間序列模型n一、隨機(jī)季節(jié)模型一、隨機(jī)季節(jié)模型n季節(jié)性隨機(jī)時間序列時間間隔為周期長度S的兩個時間點上的隨機(jī)變量有相對較強(qiáng)的相關(guān)性，或者說季節(jié)性時間

10、序列表現(xiàn)出周期相關(guān)，比如對于月度數(shù)據(jù)，S=12， 與 有相關(guān)關(guān)系，于是我們可以利用這種周期相關(guān)性在 與 之間進(jìn)行擬合。n設(shè)一個季節(jié)性時間序列 通過D階的季節(jié)差分 后為一平穩(wěn)時間序列 ，即 ，則一階自回歸季節(jié)模型為n 或 (8.5)n其中， 為白噪聲序列。將 代入式（8.5），得 (8.6)tXtX12tX12tXtX(1)SDBtW(1)SDttWBX1tt StWW1(1)SttBWt(1)SDttWBX1(1)(1)SSDttBBXn同樣的思路，一個一階移動平均季節(jié)模型為 或 (8.7)n推廣之，季節(jié)性的SARIMA為n (8.8)n其中，1ttt sW 1(1)(1)SDSttBXB()

11、(1)()SSDSttU BBXV B212()1SSSkSkU BBBB -212() 1SSSmSmV BHBHBB -Hn二、乘積季節(jié)模型二、乘積季節(jié)模型n式(8.8)的季節(jié)性SARIMA模型中，我們假定是 白噪聲序列，值得注意的是實際中 不一定是白噪聲序列。因為式(8.8)的模型中季節(jié)差分僅僅消除了時間序列的季節(jié)成分，自回歸或移動平均僅僅消除了不同周期相同周期點之間具有的相關(guān)部分，時間序列還可能存在長期趨勢，相同周期的不同周期點之間也有一定的相關(guān)性，所以，模型可能有一定的擬合不足，如果假設(shè) 是ARIMA（p,d,q）模型，則式(8.8)可以改為n n (8.9)tatata( )()(

12、 ) ()SdDSSttB U BXB V B n其中，n稱式(8.9)為乘積季節(jié)模型，記為 。如果將模型的AR因子和MA因子分別展開，可以得到類似的 模型，不同的是模型的系數(shù)在某些階為零，故 是疏系數(shù)模型或子集模型。212()1SSSkSkU BBBB -212() 1SSSmSmV BHBH BB -H1( ) 1ppBBB 1( ) 1qqBBB (1)ddB (1)DS DSB ARIMA(k,D,m) (p,d,q)ARIMA(kS+p,mS+q)ARIMA(k,D,m) (p,d,q)三、常見的隨機(jī)季節(jié)模型三、常見的隨機(jī)季節(jié)模型n為了讀者學(xué)習(xí)起來方便，這里列舉幾個常見的隨機(jī)季節(jié)模型

13、，并簡介其生成的過程。n在實際問題中，季節(jié)性時間序列所含有的成分不同，記憶性長度各異，因而模型形式也是多種多樣的。這里以季節(jié)周期S=12為例，介紹幾種常見的季節(jié)模型。n模型一模型一n (8.10)n模型(8.10)先對時間序列 做雙重差分，移動平均算子由 和 兩個因子構(gòu)成，該模型是交叉乘積模型 。實際上該模型是由兩個模型組合而成。由于序列存在季節(jié)趨勢，故先對序列進(jìn)行季節(jié)差分 ，差分后的序列是一階季節(jié)移動平均模型，則n n (8.11)1212112(1)(1)(1)(1)ttBBXBB1(1)B1212(1)BtXARIMA(0,1,1) (0,1,1)1212(1)B 121212(1)(1

14、)ttBXBun但式(8.11)僅僅擬合了間隔時間為周期長度點之間的相關(guān)關(guān)系，序列還存在非季節(jié)趨勢，相鄰時間點上的變量還存在相關(guān)關(guān)系，所以模型顯然擬合不足， 不僅是非白噪聲序列而且非平穩(wěn)， 如滿足以下的模型n (8.12)n式(8.12)擬合了序列滯后期為一期的時間點之間的相關(guān)， 為白噪聲序列，將式(8.12)代入式(8.11)，則得到模型一。tutu1(1)(1)ttB uBtan模型二模型二 n (8.13)n模型(8.13)也是由兩個模型組合而成，一個是n (8.14)n它刻畫了不同年份同月的資料之間的相關(guān)關(guān)系，但是又有欠擬合存在，因為 不是白噪聲序列。如果 滿足以下MA（1）的模型，則

15、 (8.15)n將式(8.15)代入式(8.14)，得到模型二。 1212112(1)(1)(1)ttBXBB121212(1)(1)ttBXBututu1(1)ttuB4.3 季節(jié)性檢驗和季節(jié)模型的建立季節(jié)性檢驗和季節(jié)模型的建立n檢驗一個時間序列是否具有季節(jié)性是十分必要的，如果一個時間序列季節(jié)性顯著，那么擬合適應(yīng)的季節(jié)時間序列模型是合理的，否則會有欠擬合之嫌。如果不是一個具有顯著季節(jié)性的時間序列，即使是一個月度數(shù)據(jù)資料，也不應(yīng)該擬合季節(jié)性時間序列模型。下面我們討論如何識別一個時間序列的季節(jié)性。n一、季節(jié)性時間序列自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的檢驗一、季節(jié)性時間序列自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的檢驗n

16、根據(jù)Box-Jenkins的建模方法，自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的特征是識別非季節(jié)性時間序列的工具。從第七章第二節(jié)的討論已經(jīng)看到季節(jié)性時間序列模型實際上是一種特殊的ARIMA模型，不同的是它的系數(shù)是稀疏的，即部分系數(shù)為零，所以對于乘積季節(jié)模型的階數(shù)識別，基本上可以采用Box-Jenkins的方法，考察序列樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)，從而對季節(jié)性進(jìn)行檢驗。n1. 季節(jié)性MA模型的自相關(guān)函數(shù)n假設(shè)某一季節(jié)性時間序列適應(yīng)的模型為n (8.16)n (8.17)n 是白噪聲序列。將式(8.17)代入(8.16)，可得n整理后，有n這實際上是一個疏系數(shù)的MA(S+1)模型，除滯后期為1，S和S+1時的滑

17、動平均參數(shù)不為零以外，其余的均為零。根據(jù)前面第三章的討論，不難求出其自相關(guān)函數(shù)。S(1)SttXBu1(1)ttuBtaS1(1)(1)SttXBB1111tttS t ss t sX n可見當(dāng)?shù)玫綐颖镜淖韵嚓P(guān)函數(shù)后，各滑動平均參數(shù)的矩法估計式也就不難得到了。n更一般的情形，如果一個時間序列服從模型n n (8.18)n其中， 。整理后可以看出該時間序列模型是疏系數(shù)MA(ms+q)，可以求出其自相關(guān)函數(shù)，從而了解時間序列的統(tǒng)計特征。2s2( )(1)ssmstsmstXBBBB212( )1qqBBBB n2. 季節(jié)性AR模型的偏自相關(guān)函數(shù)n假定 是一個季節(jié)時間序列，服從n如果我們將上式展開整

18、理后，可以得到n這是一個階段為S+1的疏系數(shù)AR模型，根據(jù)偏自相關(guān)函數(shù)的定義，該模型的滯后期1，S和S+1不為零，其他的偏自相關(guān)函數(shù)可能會顯著為零。n更一般的情形，如果一個時間序列服從模型n (8.19)n其中， ，整理后可以看到該時間序列模型是疏系數(shù)AR(kS+p)模型，求出其偏自相關(guān)函數(shù)，可以了解時間序列的統(tǒng)計特征。 1(1)(1)ssttBBX111(1)ssssttBBBX22( )(1)ssksssksttBBBBX212( )1ppBBBB tXn季節(jié)時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)既不拖尾也不截尾，也不呈現(xiàn)出線性衰減趨勢，如果在滯后期為周期S的整倍數(shù)時出現(xiàn)峰值，則建立乘積季

19、節(jié)模型是適應(yīng)的，同時SAR算子 和SMA算子 的階數(shù)也可以通過自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的表現(xiàn)得到。n關(guān)于差分階數(shù)和季節(jié)差分階數(shù)的選擇是試探性的，可以通過考察樣本的自相關(guān)函數(shù)來確定。一般情況下，如果自相關(guān)函數(shù)緩慢下降同時在滯后期為周期S的整倍數(shù)時出現(xiàn)峰值，通常說明序列同時有趨勢變動和季節(jié)變動，應(yīng)該做一階差分和季節(jié)差分。如果差分后的序列所呈現(xiàn)的自相關(guān)函數(shù)有較好的截尾和拖尾性，則差分階數(shù)是適宜的。 ()SU B()SV Bn例例4.3 繪制1993年1月至2000年12月中國社會消費品零售總額序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖（圖4.17）。n 圖圖4.17n圖4.17顯示中國社會消費品零售總額月度時間序列的

20、自相關(guān)函數(shù)緩慢下降，且在滯后期為周期倍數(shù)時出現(xiàn)峰值，滯后期為12的自相關(guān)函數(shù)為0.645，滯后期為24的自相關(guān)函數(shù)為0.318，說明該時間序列是一個典型的既有趨勢又有季節(jié)變動的序列，由于該序列不是一個平穩(wěn)的時間序列，所以我們不能由其偏自相關(guān)函數(shù)簡單建立一個自回歸模型，該序列建模必須將序列進(jìn)行差分變化，使其平穩(wěn)化。EVIEWS軟件介紹軟件介紹()n一、一、X-12季節(jié)調(diào)整方法簡介季節(jié)調(diào)整方法簡介nX-12-ARIMA方法最早由美國普查局Findley等人在20世紀(jì)90年代左右提出，現(xiàn)已成為對重要時間序列進(jìn)行深入處理和分析的工具，也是處理最常用經(jīng)濟(jì)類指標(biāo)的工具，在美國和加拿大被廣泛使用。其在歐洲統(tǒng)

21、計界也得到推薦，并在包括歐洲中央銀行在內(nèi)的歐洲內(nèi)外的許多中央銀行、統(tǒng)計部門和其他經(jīng)濟(jì)機(jī)構(gòu)被廣泛應(yīng)用。nX-12-ARIMA方法提供了四個方面的改進(jìn)和提高，（1）可選擇季節(jié)、交易日及假日進(jìn)行調(diào)整，包括調(diào)整用戶定義的回歸自變量估計結(jié)果，選擇輔助季節(jié)和趨勢過濾器，以及選擇季節(jié)、趨勢和不規(guī)則因素的分解形式；（2）對各種選項條件下調(diào)整的質(zhì)量和穩(wěn)定性做出新診斷；（3） 對具有ARIMA誤差及可選擇穩(wěn)健估計系數(shù)的線性回歸模型，進(jìn)行廣泛的時間序列建模和模型選擇能力分析；（4）提供一個新的易于分批處理大量時間序列能力的用戶界面。 X-12-ARIMA方法現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于世界各國的中央銀行、統(tǒng)計部門和其他經(jīng)濟(jì)機(jī)構(gòu)，

22、并且已成為對重要時間序列進(jìn)行深入處理和分析的工具。n二、案例：二、案例：1993-2000年中國社會消費品零售總額月度年中國社會消費品零售總額月度序列（單位：億元）序列（單位：億元）n通過1993-2000年中國社會消費品零售總額月度序列的時序圖（圖8.16），我們可以觀察到該序列有著很強(qiáng)的季節(jié)特征。通過該序列的自相關(guān)函數(shù)圖（圖8.17）及單位根檢驗結(jié)果（圖8.19）的進(jìn)一步判斷，認(rèn)為該序列非平穩(wěn)，并且有著很強(qiáng)的季節(jié)特征。圖圖8.19n首先顯示的是Seasonal Adjustment（季節(jié)調(diào)整）模塊（圖8.19），該模塊共有5個選項區(qū)。n在X11 Method（X11方法）選項區(qū)選Multiplicative（乘法模型）。n在Seasonal Filter（季節(jié)濾子）選項區(qū)選Aut