第2節(jié) 向量組的秩ppt課件

1、2 2 向量組的秩向量組的秩 定義定義4.2.1 4.2.1 設(shè)向量組設(shè)向量組A A中的一個部分組中的一個部分組 ，滿足滿足12,r 線性無關(guān)；線性無關(guān)；12,r 向量組向量組A A中任意中任意r+1r+1個向量如果有都線性相個向量如果有都線性相關(guān)關(guān). .則稱則稱 是向量組是向量組A A的一個最大線性無關(guān)向的一個最大線性無關(guān)向量組簡稱最大無關(guān)組）；最大無關(guān)組所含向量個量組簡稱最大無關(guān)組）；最大無關(guān)組所含向量個數(shù)數(shù)r r稱為向量組的秩，記作稱為向量組的秩，記作 . .()R A12,r 定義定義4.2.2 4.2.2 若向量組若向量組 中每一個向量可中每一個向量可由向量組由向量組 線性表示，則稱

2、向量組線性表示，則稱向量組A A可由可由向量組向量組B B線性表示，若兩個向量組可以互相線性表示，線性表示，若兩個向量組可以互相線性表示，則稱這兩個向量組是等價的則稱這兩個向量組是等價的. .12:,mA 12:,tB 定理定理4.2.1 4.2.1 若向量組若向量組 可由向量組可由向量組 線性表示，且線性表示，且 ，那么，那么 線線性相關(guān)性相關(guān). . 12:,sA ts 12,t12:,tB 推論推論 如果向量組如果向量組 可由向量組可由向量組 線性表示，且線性表示，且 線性無關(guān)，那么線性無關(guān)，那么 。12,t12,s 12,tts 若向量組若向量組 的秩為的秩為r，那么，那么 中任何中任何

3、r+1個向量都是線性相關(guān)的。個向量都是線性相關(guān)的。12,s 12,s 設(shè)向量組設(shè)向量組 的秩為的秩為p，向量組，向量組 的秩為的秩為r，如果向量組，如果向量組 可由向量組可由向量組 線性表示，那么線性表示，那么12,t12,s 12,trp 。12,s 定理定理4.2.2 4.2.2 設(shè)向量組設(shè)向量組 能由向量組能由向量組 線性表示的充分必要條件是矩陣線性表示的充分必要條件是矩陣 的秩等于矩的秩等于矩陣陣 的秩的秩. .12:,tB 12:,sA 12(,)sA 11( , )(,)stA B推論推論 向量組向量組 與向量組與向量組 等價的充等價的充分必要條件是分必要條件是 ()()(,)R

4、AR BR A B 12:,sA 12:,tB 例例1 1 設(shè)設(shè) ，證明向量證明向量b b能由向量組能由向量組 線性表示，并求出表示式線性表示，并求出表示式. .12311111210,21432301b 123, 解解 根據(jù)定理根據(jù)定理2 2，要證矩陣，要證矩陣 與與 的秩相等的秩相等. .為此，把為此，把B B化成行最簡形：化成行最簡形：123(,)A ( , )BA b 14122123111111111032121001210121214301210000230101210000rrrrrrB 可見，可見， ，因而，向量，因而，向量b b能由向量組能由向量組 線性表示線性表示. .()

5、()R AR B 123, 由上述行最簡形，可得方程組由上述行最簡形，可得方程組 的通解為：的通解為：從而得表示式從而得表示式其中其中c c可任意取值可任意取值. .123(,)xb 3232212110cxccc 123123(,)( 32)(21)bxccc 例例2 2 設(shè)設(shè) ，證明向量組證明向量組 與向量組與向量組 等價等價. .121231321311011,1110213120 12, 123, 證證 記記 。根據(jù)推論。根據(jù)推論4.2.4，只要證，只要證12123(,),(,)AB ()()( ,)R AR BR A B 為此把為此把(A,B)(A,B)化成行階梯形：化成行階梯形：1321311011( ,)1110213120A B 21314113213042220211106333rrrrrr 2324212123213213021110000000000rrrrr 可見可見( )2,( ,)2R AR A B容易看出矩陣容易看出矩陣B B中有不等于中有不等于0 0的的2 2階子式，故階子式，故( )2R B ()()(,)R AR BR A B