（參考）《平面向量基本定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、平面向量基本定理教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：平面向量基本定理。內(nèi)容解析：向量不僅是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，還是解決許多實(shí)際問(wèn)題的重要工具。從問(wèn)題中抽象出向量模型，再通過(guò)向量的代數(shù)運(yùn)算獲得問(wèn)題的解決方案或結(jié)果，是利用向量解決問(wèn)題的基本特征。（平面向量的概念、向量的運(yùn)算、平面向量基本定理、平面向量的坐標(biāo)表示是平面向量的主要內(nèi)容。）平面向量基本定理是向量進(jìn)行坐標(biāo)表示，進(jìn)而將向量的運(yùn)算（向量的加、減法，向量的數(shù)乘、向量的數(shù)量積等）轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的數(shù)量運(yùn)算的重要基礎(chǔ)，同時(shí)，它還是用基本要素（基底、元）表達(dá)和研究事物（向量空間、具有某種性質(zhì)的對(duì)象的集合）的典型范例，對(duì)于人們掌握認(rèn)識(shí)事物的方法，提高研究事物的

2、水平，有著難以替代的重要作用。 二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1理解平面向量的基底的意義與作用，利用平面向量的幾何表示，正確地將平面上的向量用基底表示出來(lái)。2通過(guò)不同向量用同一基底表示的探究過(guò)程，得出并證明平面向量基本定理。3通過(guò)平面向量基本定理，認(rèn)識(shí)平面向量的“二維”性，并由此進(jìn)一步體會(huì)“某一方向上的向量的一維性”，培養(yǎng)“維數(shù)”的基本觀(guān)念。4平面向量基本定理建立了平面上的向量集合與二元有序數(shù)組的集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（這種對(duì)應(yīng)關(guān)系建立了非數(shù)對(duì)象與數(shù)（或數(shù)組）之間的一種映射），通過(guò)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們可以將向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算，由此達(dá)到簡(jiǎn)化向量的運(yùn)算，這是數(shù)學(xué)的一種基本方法。5體會(huì)用基本要素（元）表示事物，

3、或?qū)⑹挛锓纸獬苫疽兀ㄔ?，由此達(dá)到將對(duì)事物的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)基本要素（元）的研究，通過(guò)對(duì)基本要素的內(nèi)在了解的研究達(dá)到理解并把握事物的思想方法（例如全等）。 三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析1如何處理共線(xiàn)向量定理與平面向量定理之間的同異點(diǎn)及了解是教學(xué)平面向量基本定理時(shí)的關(guān)鍵問(wèn)題，也是理解不同維數(shù)的“向量空間”，體會(huì)高維空間向低維空間轉(zhuǎn)化的重要機(jī)會(huì)與途徑。因此，教學(xué)時(shí)應(yīng)該從共線(xiàn)向量定理的意義與作用入手，探求平面向量用相同向量（基底）統(tǒng)一表示的方法。2利用向量加法的平行四邊形法則，將平面上任一向量用兩個(gè)不平行的確定向量（即基底）表示出來(lái)是教學(xué)中應(yīng)該關(guān)注的另一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。教學(xué)時(shí)，讓學(xué)生聽(tīng)教師講解是一種處理方法，如

4、果能結(jié)合力的分解，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想到用平行四邊形的加法法則進(jìn)行向量分解，可能會(huì)有更大的收獲。當(dāng)然，在進(jìn)行這個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題的教學(xué)時(shí)，可能會(huì)涉及平行投影等知識(shí)與方法，可根據(jù)不同的學(xué)生對(duì)象進(jìn)行取舍。 四、學(xué)生學(xué)習(xí)行為分析1學(xué)生對(duì)向量加、減法及數(shù)乘等運(yùn)算的意義與作用認(rèn)識(shí)不夠，容易將向量的運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算混淆。2對(duì)于向量的加法、數(shù)乘等運(yùn)算停留在幾何直觀(guān)的理解上，缺乏從代數(shù)運(yùn)算的角度理解向量運(yùn)算特征的感受，容易將平面向量基本定理的作用僅僅理解為形式上的變換。3如果不加啟發(fā)與引導(dǎo)，學(xué)生是不會(huì)從“基底”、“元”、“維數(shù)”這些角度去理解平面向量基本定理的深刻內(nèi)涵，也難以認(rèn)識(shí)這個(gè)定理在今后用向量方法解決問(wèn)題中的重要作用。

5、五、教學(xué)支持條件分析1學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)：對(duì)平面向量與數(shù)量的“同異點(diǎn)及了解”有一個(gè)基本認(rèn)識(shí)，會(huì)用有向線(xiàn)段表示向量，掌握了向量的加法運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算。2教學(xué)設(shè)備：能反映向量加法與數(shù)乘運(yùn)算的計(jì)算機(jī)軟件或圖形計(jì)算器，盡可能準(zhǔn)備實(shí)物投影設(shè)備。 六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)問(wèn)題1：任意找一首用簡(jiǎn)譜譜寫(xiě)的歌曲，你能找到用阿拉伯?dāng)?shù)字“8”表示的音符嗎？為什么？意圖：關(guān)注依附于平面向量基本定理上的重要數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生明白任何一首曲子都可以用17這七個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字作為音符來(lái)譜寫(xiě)，為用基底表示向量作鋪墊，并由此感受用“元”表達(dá)事物的思想。提出這個(gè)與數(shù)學(xué)知識(shí)了解不緊密的問(wèn)題讓學(xué)生思考的另一個(gè)目的，是將將要學(xué)習(xí)的知識(shí)與思想寓于學(xué)生感興趣

6、的問(wèn)題中，從而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)欲望與熱情。師生活動(dòng)：教師給出一些用簡(jiǎn)譜譜寫(xiě)的歌曲，提出問(wèn)題讓學(xué)生思考，歸納總結(jié)出如下結(jié)論：任何一首用簡(jiǎn)譜譜寫(xiě)的曲子都找不出用阿拉伯?dāng)?shù)字“8”表示的音符，但都可以用17這七個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字作為音符譜寫(xiě)出來(lái)。 問(wèn)題2：兩個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形之間有什么關(guān)系？你是如何得出這個(gè)關(guān)系的？你能從這個(gè)問(wèn)題中得到一個(gè)怎樣的結(jié)論？意圖：由此，使學(xué)生形成三角形的三條邊是三角形這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的三個(gè)類(lèi)似于向量的“基底”的元認(rèn)知，明確有關(guān)三角形（忽略了位置）的問(wèn)題均可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于三角形的三條邊的問(wèn)題。希望能將問(wèn)題1中“事物元分解”的觀(guān)點(diǎn)遷移到數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)中來(lái)，并由此引出向量

7、的分解與基底表示的探討。師生活動(dòng)：讓學(xué)生思考討論，教師幫助學(xué)生總結(jié)出結(jié)論：“如果只考慮形狀大小，任何三角形都可由它的邊來(lái)確定，因此我們可以說(shuō)邊是構(gòu)成三角形的要素（元），而三角形是三元對(duì)象”。任何數(shù)學(xué)對(duì)象都有確定它的基本要素（元），可以通過(guò)探究如何用這些要素表示數(shù)學(xué)對(duì)象，達(dá)到理解并把握這些數(shù)學(xué)對(duì)象的目的。 問(wèn)題3：取一個(gè)與數(shù)軸方向相同的向量記為a，那么與數(shù)軸平行的所有向量與向量a有什么關(guān)系？意圖：回顧共線(xiàn)向量定理，體會(huì)共線(xiàn)向量的“基底”及用基底表示共線(xiàn)向量的方法，明確平行向量形成“一維空間”，形成對(duì)“一元數(shù)學(xué)對(duì)象”的認(rèn)識(shí)，并為探究平面向量基本定理作鋪墊。師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生回顧共線(xiàn)向量定理，教師重

8、新解析共線(xiàn)向量定理的意義與作用。 問(wèn)題4：取一個(gè)與數(shù)軸不平行的向量記為b，那么向量b可以表示怎樣的向量？意圖：明確任意一個(gè)方向上的全體向量均構(gòu)成“一維向量空間”，為探究選取兩個(gè)不同方向的向量作平面向量的基底作準(zhǔn)備。師生活動(dòng)：學(xué)生思考問(wèn)題4與問(wèn)題3的同異點(diǎn)與了解，教師解析這個(gè)問(wèn)題的意義與作用。問(wèn)題5：對(duì)平滑的斜坡上受重力下滑的物體，你能將引起下滑的重力分解成哪幾個(gè)力？意圖：由重力可以分解為下滑方向的力與垂直斜坡向里的力的和，體會(huì)向量的分解，向探究任意向量的分解（即基底表示）過(guò)渡。師生活動(dòng)：學(xué)生說(shuō)，教師引導(dǎo)并表述結(jié)論。 問(wèn)題6：取一個(gè)與向量a和b都不平行的向量c，那么向量c可以用向量a和b表示出來(lái)

9、嗎？意圖：得出平面向量基本定理的內(nèi)容。師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)，學(xué)生獨(dú)立探究，教師在學(xué)生的探究所獲得的結(jié)論的基礎(chǔ)上，總結(jié)出平面向量基本定理。 問(wèn)題7：利用平面向量基本定理，你能解決下面問(wèn)題嗎？如圖在中, , 與相交于, 求證: .解析：設(shè)，則，同時(shí)，由三個(gè)向量的終點(diǎn)共線(xiàn)，故有。所以，從而所以，。意圖：這個(gè)問(wèn)題是一個(gè)相當(dāng)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，用相似三角形之間的比例關(guān)系就可以解決。這里的目的，是以這個(gè)熟悉而且簡(jiǎn)單的問(wèn)題，讓學(xué)生感受平面向量基本定理的重要作用，體會(huì)向量的應(yīng)用，加深對(duì)平面向量基本定理的認(rèn)識(shí)。師生活動(dòng)：教師啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思考，給出解決這一問(wèn)題的嚴(yán)謹(jǐn)過(guò)程，給學(xué)生一個(gè)利用向量解決問(wèn)題的示范。教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)上

10、述解決問(wèn)題的方法的步驟，一方面使學(xué)生明確這一方法與平面幾何方法的差異：由于數(shù)量及其運(yùn)算的引進(jìn)，使得我們的算法更容易表達(dá)和操作了；另一方面為今后學(xué)習(xí)算法留下案例，引導(dǎo)學(xué)生從算法的角度思考并解決問(wèn)題。此處要再配一些題目，訓(xùn)練學(xué)生以學(xué)會(huì)用基底表示非基底向量。 問(wèn)題8：如果一個(gè)問(wèn)題中沒(méi)有向量（結(jié)合問(wèn)題7中的平面幾何問(wèn)題考慮），但可以考慮用向量來(lái)解決它，你會(huì)按怎樣的步驟來(lái)實(shí)現(xiàn)？意圖：加深對(duì)平面向量基本定理的理解，將向量方法總結(jié)為一個(gè)算法。師生活動(dòng)：學(xué)生先思考，讓學(xué)生發(fā)表意見(jiàn)，教師總結(jié)出向量方法的算法步驟。 問(wèn)題9：你能結(jié)合問(wèn)題1、問(wèn)題2與平面向量基本定理，談?wù)勀愕恼J(rèn)識(shí)嗎？意圖：進(jìn)行本節(jié)課的小結(jié)。師生活動(dòng)：學(xué)生先談，教師給出總結(jié)：世界上具有某種共同屬性的事物總有決定它的基本要素，如果我們能找出這些要素并用它來(lái)表示這一類(lèi)事物，那么我們就能通過(guò)研究這些基本要素來(lái)研究這一類(lèi)事物，這是一種基本方法。平面向量基本定理為我們建立了一個(gè)示范，它告訴我們，今后利用向量研究問(wèn)題，我們關(guān)注更多的是基底是什么，如何將有關(guān)向量用基底表示出來(lái)。當(dāng)向量用基底表示后，一個(gè)向量與其它向量的區(qū)別就在于基底前的系數(shù)的區(qū)別，這使問(wèn)題中的各種關(guān)系在轉(zhuǎn)化為向量間的關(guān)系后，又進(jìn)一步地轉(zhuǎn)化為有序數(shù)組之間的