《三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用》的教學(xué)設(shè)計(jì)剖析

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)一、 教學(xué)分析三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測其未來等方面都發(fā)揮著十分重要的作用三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用的設(shè)置目的，在于加強(qiáng)用三角函數(shù)模型刻畫周期變化現(xiàn)象的學(xué)習(xí).本節(jié)教材通過 4 個例題，循序漸進(jìn)地從四個層次來介紹三角函數(shù)模型的應(yīng)用，在素材的選擇上注意了廣泛性、真實(shí)性和新穎性，同時又關(guān)注到三角函數(shù)性質(zhì)（特別是周期性）的應(yīng)用通過引導(dǎo)學(xué)生解決有一定綜合性和思考水平的問題，培養(yǎng)他們綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識解決問題的能力培養(yǎng)學(xué)生的建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力由于實(shí)際 問題常

2、常涉及一些復(fù)雜數(shù)據(jù)，因此要鼓勵學(xué)生利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器處理數(shù)據(jù)，包括建立有關(guān) 數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)擬合等二、 教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能：掌握三角函數(shù)模型應(yīng)用基本步驟:（1）根據(jù)圖象建立解析式；（2）根據(jù)解析式作出圖象；（3） 將實(shí)際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型2、過程與方法：選擇合理三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題，注意在復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，還要調(diào)動相 關(guān)學(xué)科知識來幫助理解問題。切身感受數(shù)學(xué)建模的全過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的價值 和作用及數(shù)學(xué)和日常生活和其它學(xué)科的聯(lián)系。3、情態(tài)與價值：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識；提高學(xué)生利用信息技術(shù)處理一些實(shí)際計(jì)算的能力。三、 教學(xué)重點(diǎn)與

3、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：分析、整理、利用信息，從實(shí)際問題中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系來建立三角函數(shù)模型，用三角函數(shù)模型解決一些具有周期變化規(guī)律的實(shí)際問題教學(xué)難點(diǎn)：將某些實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)的模型，并調(diào)動相關(guān)學(xué)科的知識來解決問題四、 教學(xué)過程：三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用一、導(dǎo)入新課思路 1.（問題導(dǎo)入）既然大到宇宙天體的運(yùn)動，小到質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動以及現(xiàn)實(shí)世界中具有周學(xué)習(xí)必備歡迎下載期性變化的現(xiàn)象無處不在，那么究竟怎樣用三角函數(shù)解決這些具有周期性變化的問題？它到 底能發(fā)揮哪些作用呢？由此展開新課.思路 2.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)，特別研究了三角函數(shù)的周期性 在現(xiàn)實(shí)生活中，如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性，那

4、么是否可以借助三角函數(shù)來描述呢？回憶必修 1 第三章第二節(jié)“函數(shù)模型及其應(yīng)用”，面臨一個實(shí)際問題，應(yīng)當(dāng)如何選擇恰當(dāng)?shù)暮?數(shù)模型來刻畫它呢？以下通過幾個具體例子，來研究這種三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用二、推進(jìn)新課、新知探究、提出問題1回憶從前所學(xué)，指數(shù)函數(shù)、 對數(shù)函數(shù)以及幕函數(shù)的模型都是常用來描述現(xiàn)實(shí)世界中的 哪些規(guī)律的？2數(shù)學(xué)模型是什么，建立數(shù)學(xué)模型的方法是什么？3上述的數(shù)學(xué)模型是怎樣建立的？4怎樣處理搜集到的數(shù)據(jù)？活動：師生互動，喚起回憶，充分復(fù)習(xí)前面學(xué)習(xí)過的建立數(shù)學(xué)模型的方法與過程對課前已經(jīng)做好復(fù)習(xí)的學(xué)生給予表揚(yáng)，并鼓勵他們類比以前所學(xué)知識方法，繼續(xù)探究新的數(shù)學(xué)模型 對還沒有進(jìn)入狀態(tài)的學(xué)生，教師

5、要幫助回憶并快速激起相應(yīng)的知識方法在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生能夠較好地回憶起解決實(shí)際問題的基本過程是：收集數(shù)據(jù)T畫散點(diǎn)圖T選擇函數(shù)模型T求解函數(shù)模型T檢驗(yàn)T用函數(shù)模型解釋實(shí)際問題這點(diǎn)很重要，學(xué)生只要有了這個認(rèn)知基礎(chǔ)，本節(jié)的簡單應(yīng)用便可迎刃而解 新課標(biāo)下的教 學(xué)要求，不是教師給學(xué)生解決問題或帶領(lǐng)學(xué)生解決問題，而是教師引領(lǐng)學(xué)生逐步登高，在合作 探究中自己解決問題，探求新知.討論結(jié)果：描述現(xiàn)實(shí)世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型2簡單地說，數(shù)學(xué)模型就是把實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語言抽象概括，再從數(shù)學(xué)角度來反映或近似地反映實(shí)際問題時，所得出的關(guān)于實(shí)際問題的數(shù)學(xué)描述 數(shù)學(xué)模型的方法，是把實(shí)際問題加 以抽象概括，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模

6、型，利用這些模型來研究實(shí)際問題的一般數(shù)學(xué)方法3解決問題的一般程序是：1審題：逐字逐句的閱讀題意，審清楚題目條件、要求、理解數(shù)學(xué)關(guān)系；2 建模：分析題目變化趨勢，選擇適當(dāng)函數(shù)模型；3求解：對所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析研究得到數(shù)學(xué)結(jié)論；4還原：把數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的解答4畫出散點(diǎn)圖，分析它的變化趨勢，確定合適的函數(shù)模型學(xué)習(xí)必備歡迎下載三、應(yīng)用示例例 1 如圖 1,某地一天從 614 時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=sin(wx+$ )+b.圖 1(1) 求這一天的最大溫差；(2) 寫出這段曲線的函數(shù)解析式 .活動：這道例題是 2002 年全國卷的一道高考題，探究時教師與學(xué)生一起討論 .本例是研究

7、溫度隨時間呈周期性變化的問題.教師可引導(dǎo)學(xué)生思考，本例給出模型了嗎？給出的模型函數(shù)是什么？要解決的問題是什么？怎樣解決？然后完全放給學(xué)生自己討論解決題目給出了某個時間段的溫度變化曲線這個模型.其中第(1)小題實(shí)際上就是求函數(shù)圖象的解析式，然后再求函數(shù)的最值差.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察思考：“求這一天的最大溫差”實(shí)際指的是“求 6 是到 14 時這段時間的最大溫差”，可根據(jù)前面所學(xué)的三角函數(shù)圖象直接寫出 而不必再求解析式.讓學(xué)生體會不同的函數(shù)模型在解決具體問題時的不同作用.第(2)小題只要用待定系數(shù)法求出解析式中的未知參數(shù)，即可確定其解析式 .其中求w是利用半周期 (14-6)，通過建立方程得解解：(

8、1)由圖可知，這段時間的最大溫差是20C.從圖中可以看出，從 614 時的圖象是函數(shù) y=Asin(wx+ $ )+b 的半個周期的圖象11 A= (30-10)=10，b=(30+10)=20.22.122二=14-6,CO - w兀3兀=?.將 x=6,y=10 代入上式，解得$ =.綜上，所求解析式為 y=10sin( x+込)+20,x 6,14.84點(diǎn)評:本例中所給出的一段圖象實(shí)際上只取6 14 即可,這恰好是半個周期，提醒學(xué)生注意抓關(guān)鍵.本例所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫這天某個時段的溫度變化情況，因此應(yīng)當(dāng)特別注意自變量的變化范圍，這點(diǎn)往往被學(xué)生忽略掉學(xué)習(xí)必備歡迎下載（互動探究）圖

9、5 表示的是電流 I 與時間 t 的函數(shù)關(guān)系l=Asin(3x+ $ )(30,| $ |)在一個周期內(nèi)的圖象.2(1) 根據(jù)圖象寫出 I=Asin(3x+ $ )的解析式；1(2) 為了使 I=Asin(3x+ $ )中的 t 在任意一段 - s 的時間內(nèi)電流 I 能同時取得最大值100和最小值，那么正整數(shù)3的最小值為多少？11解:由圖知 A=300,第一個零點(diǎn)為(一,0),第二個零點(diǎn)為(,0),30015011“兀n3 ( - )+ $ =0,3 -+$ =n.解得3=100n, $ =, l=300sin(100nt+ ).30015033*1Q IT*1(2)依題意有 TW ,即 20

10、0n.故3min=629.100 CO 100例 2 做出函數(shù) y=|sinx|的圖象并觀察其周期例 3 如圖 2,設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為0,S為此時太陽直射緯度，$為該地的緯度值，那么這三個量之間的關(guān)系是0=90 -| $ -3|.當(dāng)?shù)叵陌肽闟取正值，冬半年S取負(fù)值.如果在北京地區(qū)（緯度數(shù)約為北緯 40 ）的一幢高為 ho的樓房北面蓋一新樓，要使新樓 一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應(yīng)小于多少？活動：如圖 2 本例所用地理知識、物理知識較多，綜合性比較強(qiáng)，需調(diào)動相關(guān)學(xué)科的知識來幫助理解問題，這是本節(jié)的一個難點(diǎn)在探討時要讓學(xué)生充分熟悉實(shí)際背景，理解各個量的含義以及它們

11、之間的數(shù)量關(guān)系學(xué)習(xí)必備歡迎下載首先由題意要知道太陽高度角的定義：設(shè)地球表面某地緯度值為0,正午太陽高度角為0，此時太陽直射緯度為S,那么這三個量之間的關(guān)系是0=90 -I0-sI.當(dāng)?shù)叵陌肽闟取正值,冬半年s取負(fù)值根據(jù)地理知識，能夠被太陽直射到的地區(qū)為南、北回歸線之間的地帶，圖形如圖 3,由畫圖易知太陽高度角0、樓高 ho與此時樓房在地面的投影長h 之間有如下關(guān)系：ho=htan0.由地理知識知，在北京地區(qū)，太陽直射北回歸線時物體的影子最短，直射南回歸線時物體的影子最長因此，為了使新樓一層正午的太陽全年不被遮擋，應(yīng)當(dāng)考慮太陽直射南回歸線時的情況解：如圖 3，A、B、C 分別為太陽直射北回歸線、

12、赤道、南回歸線時樓頂在地面上的投影點(diǎn)要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，應(yīng)取太陽直射南回歸線的情況考慮此時的太陽直射緯度23 26.依題意兩樓的間距應(yīng)不小于MC.根據(jù)太陽高度角的定義，有/ C= 90 |40 ( 23 26 )| = 26 34，所以 MC=ho=ho. 2.000ho，tanC tan 26 34即在蓋樓時，為使后樓不被前樓遮擋，要留出相當(dāng)于樓高兩倍的間距點(diǎn)評:本例是研究樓高與樓在地面的投影長的關(guān)系問題，是將實(shí)際問題直接抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型，然后根據(jù)所得的函數(shù)模型解決問題 要直接根據(jù)圖 2 來建立函 數(shù)模型，學(xué)生會有一定困難，而解決這一困難的關(guān)鍵是聯(lián)

13、系相關(guān)知識，畫出圖 3,然后由圖形建立函數(shù)模型，問題得以求解這道題的結(jié)論有一定的實(shí)際應(yīng)用價值教學(xué)中，教師可以在這道題的基礎(chǔ)上再提出一些問題，如下例的變式訓(xùn)練，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究變式訓(xùn)練某市的緯度是北緯 23,小王想在某住宅小區(qū)買房,該小區(qū)的樓高 7 層,每層 3 米,樓與樓學(xué)習(xí)必備歡迎下載之間相距 15 米.要使所買樓層在一年四季正午太陽不被前面的樓房遮擋，他應(yīng)選擇哪幾層的房？解：如圖 4,由例 3 知,北樓被南樓遮擋的高度為h=15tan :90 -(23 +23 26門=15tan43 34 14.26,由于每層樓高為 3 米,根據(jù)以上數(shù)據(jù)，所以他應(yīng)選 3 層以上.例 4 貨船進(jìn)出港時間問

14、題：海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地,早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回 海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深關(guān)系表：時刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深/米5.07.55.02.55.07.55.02.55.0(1)選用一個函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系，給 出 整 點(diǎn) 時 的 水 深 的近似數(shù)值(精確到 0.001).(2) 一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為 4 米,安全條例規(guī)定至少要有1.5 米的安全間隙(船底與洋底的距離)，該船何時

15、能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？(3) 若某船的吃水深度為4 米，安全間隙為 1.5 米,該船在 2:00 開始卸貨，吃水深度以每小時 0.3 米的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？活動：引導(dǎo)學(xué)生觀察上述問題表格中的數(shù)據(jù)，會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？比如重復(fù)出現(xiàn)的幾個數(shù)據(jù)并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生作出散點(diǎn)圖.讓學(xué)生自己完成散點(diǎn)圖，提醒學(xué)生注意仔細(xì)準(zhǔn)確觀察散點(diǎn)圖 如圖 6.教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)散點(diǎn)的位置排列，思考可以用怎樣的函數(shù)模型來刻畫其中的規(guī)律根據(jù)散點(diǎn)圖中的最高點(diǎn)、 最低點(diǎn)和平衡點(diǎn)，學(xué)生很容易確定選擇三角函數(shù)模型 港口的水深與 時間的關(guān)系可以用形如 y=Asin(3x+ $ )+h 的函數(shù)來刻

16、畫.其中 x 是時間，y 是水深,我們可以 根據(jù)數(shù)據(jù)確定相應(yīng)的 A,3, $ ,h 的值即可.這時注意引導(dǎo)學(xué)生與“五點(diǎn)法”相聯(lián)系.要求學(xué)生 獨(dú)立操作完成，教師指導(dǎo)點(diǎn)撥，并糾學(xué)習(xí)必備歡迎下載正可能出現(xiàn)的錯誤，直至無誤地求出解析式，進(jìn)而根據(jù)所 得的函數(shù)模型，求出整點(diǎn)時的水深腫614V11屮1 -11-036 9 12 15 1 S2I 2 4 X圖 6根據(jù)學(xué)生所求得的函數(shù)模型，指導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算求解注意引導(dǎo)學(xué)生正確理解題意，一天中有兩個時間段可以進(jìn)港這時點(diǎn)撥學(xué)生思考：你所求出的進(jìn)港時間是否符合時間情況？如果不符合，應(yīng)怎樣修改？讓學(xué)生養(yǎng)成檢驗(yàn)的良好習(xí)慣在本例 中，應(yīng)保持港口的水深不小于船的安

17、全水深，那么如何刻畫船的安全水深呢？引導(dǎo)學(xué)生思考，怎樣把此問題翻譯成函數(shù)模型求貨船停止卸貨，將船駛向深水域的含義又是什么？教師引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題的意義轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)解釋，同時提醒學(xué)生注意貨船的安全水深、港口的水深同時在變，停止卸貨的時間應(yīng)當(dāng)在安全水深接近于港口水深的時候進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：根據(jù)問題的實(shí)際意義，貨船的安全水深正好等于港口的水深時停止卸貨行嗎？為什么？正確結(jié)論是什么？可讓學(xué)生思考、討論后再由教師組織學(xué)生進(jìn)行評價通過討論或爭論，最后得出一致結(jié)論：在貨船的安全水深正好等于港口的水深時停止卸貨將船駛向較深水域是不行的，因?yàn)檫@樣不能保證貨船有足夠的時間發(fā)動螺旋槳解：(1)以時間為橫坐標(biāo)，水深為

18、縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中畫出散點(diǎn)圖(圖 6).根據(jù)圖象，可以考慮用函數(shù) y=Asin(3x+$ )+h 刻畫水深與時間之間的對應(yīng)關(guān)系.從數(shù)據(jù)和圖象可以得出：A= 2.5,h = 5,T = 12, $ = 0,2兀兀由 T= 12,得3=.6學(xué)習(xí)必備歡迎下載所以這個港口的水深與時間的關(guān)系可用y = 2.5sin x+5 近似描述.6由上述關(guān)系式易得港口在整點(diǎn)時水深的近似值：時刻0:001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水5.006.257.167.57.166.255.003.752.832.502.833.75深00550045054時

19、刻12:013:014:015:016:017:018:019:020:021:022:023:0000000000000水深5.006.257.167.57.166.255.003.752.832.502.833.7500550045054貨船需要的安全水深為4+1.5 = 5.5（米）,所以當(dāng) y 5.5 時就可以進(jìn)港令 2.5sin x+5=5.5,sin x=0.2.6 6由計(jì)算器可得如圖 7,在區(qū)間0,12內(nèi)，函數(shù) y= 2.5sin x+5 的圖象與直線 y = 5.5 有兩個交點(diǎn) A、B,圖 70.201學(xué)習(xí)必備歡迎下載因此 x 0.201 4,或nx 0.201 4.6 6解得

20、XA0.384 8,xB 5.615 2.由函數(shù)的周期性易得 :xc12+0.384 8 = 12.384 8,X12+5.615 2 = 17.615 2.因此，貨船可以在 0 時 30 分左右進(jìn)港，早晨 5 時 30 分左右出港；或在中午 12 時 30 分左右進(jìn)港，下午 17 時 30 分左右出港.每次可以在港口停留5 小時左右.(3)設(shè)在時刻X貨船的安全水深為y,那么 y=5.5-0.3(x-2)(x2).在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個函數(shù)的圖象，可以看到在 67 時之間兩個函數(shù)圖象有一個交點(diǎn)(如圖 8).通過計(jì)算也可以得到這個結(jié)果.在 6 時的水深約為5 米，此時貨船的安全水深約為4.3米;6.5 時的水深約為 4.2 米,此時貨船的安全水深約為4.1 米;7 時的水深約為 3.8 米,而貨船的安全水深約為4 米.因此為了安全，貨船最好在 6.5 時之前停止卸貨，將船駛向較深的水域.點(diǎn)評:本例是研究港口海水深度隨時間呈周期性變化的問題，題目只給出了時間與水深的關(guān)系表，要想由此表直接得到函數(shù)模型是很困難的.對第問的解答,教師引導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算求解.同時需要強(qiáng)調(diào)，建立數(shù)學(xué)模型