電磁場(chǎng)于電磁波指導(dǎo)書(shū)-5

1、第五章 恒定磁場(chǎng)重點(diǎn)和難點(diǎn)該章重點(diǎn)及處理方法與靜電場(chǎng)類(lèi)似。但是磁感應(yīng)強(qiáng)度的定義需要詳細(xì)介紹，尤其要強(qiáng)調(diào)磁場(chǎng)與運(yùn)動(dòng)電荷之間沒(méi)有能量交換，電流元受到的磁場(chǎng)力垂直于電流的流動(dòng)方向。說(shuō)明磁導(dǎo)率與介電常數(shù)不同，磁導(dǎo)率可以小于1，而且大多數(shù)媒質(zhì)的磁導(dǎo)率接近1。講解恒定磁場(chǎng)時(shí)，應(yīng)與靜電場(chǎng)進(jìn)行對(duì)比。例如，靜電場(chǎng)是無(wú)散場(chǎng)，而恒定磁場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)。在任何邊界上電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的，而磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量是連續(xù)的。重要公式磁感應(yīng)強(qiáng)度定義：根據(jù)運(yùn)動(dòng)電荷受力：根據(jù)電流元受力：根據(jù)電流環(huán)受力：真空中恒定磁場(chǎng)方程：積分形式：微分形式：已知電流分布求解電場(chǎng)強(qiáng)度：1，2，畢奧薩伐定律。3，安培環(huán)路定律。面電流產(chǎn)生的矢量磁位及

2、磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為線電流產(chǎn)生的矢量磁位及磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為矢量磁位滿足的微分方程：無(wú)源區(qū)中標(biāo)量磁位滿足的微分方程：媒質(zhì)中恒定磁場(chǎng)方程：積分形式：微分形式：磁性能均勻線性各向同性的媒質(zhì)：場(chǎng)方程積分形式：場(chǎng)方程微分形式：矢量磁位微分方程：矢量磁位微分方程的解：恒定磁場(chǎng)邊界條件：1，。對(duì)于各向同性的線性媒質(zhì)，2，。對(duì)于各向同性的線性媒質(zhì)，題 解5-1 在均勻線性各向同性的非磁性導(dǎo)電媒質(zhì)（即）中，當(dāng)存在恒定電流時(shí)，試證磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足拉普拉斯方程，即。證 在均勻線性各向同性的非磁性導(dǎo)電媒質(zhì)中，由及，得對(duì)等式兩邊同時(shí)取旋度，得但是，考慮到恒等式，得又知，由上式求得。5-2 設(shè)兩個(gè)半徑相等的同軸電流環(huán)沿x軸放

3、置，如習(xí)題圖5-2所示。試證在中點(diǎn)P處，磁感應(yīng)強(qiáng)度沿x軸的變化率等于零，即Paaaz習(xí)題圖5-2xyo解 設(shè)電流環(huán)的半徑為a，為了求解方便，將原題中坐標(biāo)軸x換為坐標(biāo)軸z，如圖示。那么，中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（z，0，0），電流環(huán)位于處，電流環(huán)位于處。根據(jù)畢奧沙伐定律，求得電流環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為取圓柱坐標(biāo)系，則，因此 同理可得，電流環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為那么，P點(diǎn)合成磁感應(yīng)強(qiáng)度為 由于和均與坐標(biāo)變量z無(wú)關(guān)，因此P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿z軸的變化率為零，即ao aaPxyACB習(xí)題圖5-35-3 已知邊長(zhǎng)為a的等邊三角形回路電流為I，周?chē)劫|(zhì)為真空，如習(xí)題圖5-3所示。試求回路中心點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解

4、 取直角坐標(biāo)系，令三角形的AB邊沿x 軸，中心點(diǎn)P位于y軸上，電流方向如圖示。由畢奧沙伐定律，求得AB段線電流在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為式中，即由于軸對(duì)稱關(guān)系，可知BC段及AC段電流在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度與AB段產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度相等。因此，P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為5-4 已知無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱半徑為a，通過(guò)的電流為I，且電流均勻分布，試求柱內(nèi)外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 建立圓柱坐標(biāo)系，令圓柱的軸線為Z軸。那么，由安培環(huán)路定律得知，在圓柱內(nèi)線積分僅包圍的部分電流為，又，則即在圓柱外，線積分包圍全部電流，那么即習(xí)題圖5-5(b)YXrYXcabJY習(xí)題圖5-5(a)5-5 已知無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱的半徑為a，其內(nèi)部存在的圓

5、柱空腔半徑為b，導(dǎo)體圓柱的軸線與空腔圓柱的軸線之間的間距為c，如習(xí)題圖5-5（a）所示。若導(dǎo)體中均勻分布的電流密度為，試求空腔中的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 柱內(nèi)空腔可以認(rèn)為存在一個(gè)均勻分布的等值反向電流，抵消了原有的電流而形成的。那么，利用疊加原理和安培環(huán)路定律即可求解。已知半徑為，電流密度為的載流圓柱在柱內(nèi)半徑r處產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度H1為求得，或?qū)憺槭噶啃问綄?duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為同理可得半徑為，電流密度為的載流圓柱在柱內(nèi)產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度為對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為上式中的方向及位置如習(xí)題圖5-5（b）示。因此，空腔內(nèi)總的磁感應(yīng)強(qiáng)度為5-6 兩條半無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線與一個(gè)半圓環(huán)導(dǎo)線形成一個(gè)電流回路，如習(xí)題圖5-6所示。若圓環(huán)半

6、徑r =10cm，電流I = 5A，試求半圓環(huán)圓心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。rI0X習(xí)題圖5-6Y解 根據(jù)畢奧沙伐定律，載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度為 設(shè)半圓環(huán)圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直導(dǎo)線平行于X軸，如圖所示。那么，對(duì)于半無(wú)限長(zhǎng)線段，因此，在圓心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度為同理線段在圓心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度為對(duì)于半圓形線段, , 因此，它在半圓心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度為 那么，半圓中心處總的磁感應(yīng)強(qiáng)度為5-7 若在處放置一根無(wú)限長(zhǎng)線電流，在y = a處放置另一根無(wú)限長(zhǎng)線電流，如習(xí)題圖5-7所示。試YZ-aaI0IX習(xí)題圖5-7求坐標(biāo)原點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 根據(jù)無(wú)限長(zhǎng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度公式，求得位于處的無(wú)限長(zhǎng)線電流在原點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)為位

7、于處的無(wú)限長(zhǎng)線電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)為因此，坐標(biāo)原點(diǎn)處總磁感應(yīng)強(qiáng)度為yz-w/2w/2IodxJxP5-8 已知寬度為W的帶形電流的面密度，位于z = 0平面內(nèi)，如習(xí)題圖5-8所示。試求處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。dyyzyo習(xí)題圖5-8(a)習(xí)題圖5-8(b)解 寬度為，面密度為的面電流可看作為線電流，其在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 由對(duì)稱性可知，z方向的分量相互抵消，如習(xí)題圖5-8（b）所示，則 YZPah0IX習(xí)題圖5-9因此，在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為5-9 已知電流環(huán)半徑為a，電流為I，電流環(huán)位于z = 0平面，如習(xí)題圖5-9所示。試求處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 由畢奧沙伐定律得因?yàn)樘幪幣c正交，則即由對(duì)稱性可知，P點(diǎn)磁場(chǎng)強(qiáng)度只有

8、分量，所以因此，處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為zzdr05-10 當(dāng)半徑為a的均勻帶電圓盤(pán)的電荷面密度為，若圓盤(pán)繞其軸線以角速度旋轉(zhuǎn)，試求軸線上任一點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 如習(xí)題圖 5-10所示，將圓盤(pán)分割成很多寬度為的載流圓環(huán)dI，它在處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，根據(jù)題5-9結(jié)果,得知因?yàn)榱?xí)題圖5-10因此5-11 已知位于y = 0平面內(nèi)的表面電流，試證磁感應(yīng)強(qiáng)度B為0XYZ習(xí)題圖5-11解 有兩種求解方法。解法一：將平面分割成很多寬度為的無(wú)限長(zhǎng)線電流，那么由題5-8結(jié)果獲知，當(dāng)時(shí)因此，積分求得同理，當(dāng)時(shí)，那么，積分求得解法二：由題5-8知，即 令y 0的區(qū)域中磁場(chǎng)強(qiáng)度為H2，那么，在的邊界上，。由此求得 ，因此5-

9、12 已知N邊正多邊形的外接圓半徑為a，當(dāng)通過(guò)的電流為I時(shí)，試證多邊形中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度為IIIO習(xí)題圖5-12式中為正多邊形平面的法線方向上單位矢量。若時(shí)，中心B值多大？解 如習(xí)題圖5-12所示，載流線圈每邊在中心O處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為所以，N條邊在中心O處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 當(dāng)時(shí)，此結(jié)果即是半徑為的電流環(huán)在中心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。5-13 若表面電流位于平面內(nèi)，試證式中為在處取極值的一維函數(shù)。解 由安培環(huán)路定理得知，因，再利用斯托克斯定理得由函數(shù)的定義可知，一維函數(shù)的量綱為長(zhǎng)度的倒數(shù)。因此，為體電流密度,即上式對(duì)于任何表面都成立，因此被積函數(shù)為零，即5-14 若位于圓柱坐標(biāo)系中處的無(wú)限長(zhǎng)線電流的電

10、流為I，方向與正Z軸一致，試證磁感應(yīng)強(qiáng)度為解 由函數(shù)的定義可知，為二維函數(shù)在圓柱坐標(biāo)系中的表示，其量綱為面積的倒數(shù)。因此，為位于處的z方向的電流密度。那么由安培環(huán)路定律得知，即再利用斯托克斯定理，求得 上式對(duì)于任何表面均成立，因此被積函數(shù)為零，即5-15 若無(wú)限長(zhǎng)的半徑為a的圓柱體中電流密度分布函數(shù)，試求圓柱內(nèi)外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 取圓柱坐標(biāo)系，如習(xí)題圖5-15所示。當(dāng)時(shí)，通過(guò)半徑為r的圓柱電流為oxyz習(xí)題圖 5-15由求得當(dāng)時(shí)由求得5-16 證明矢量磁位A滿足的方程式的解為（提示：利用函數(shù)在處的奇點(diǎn)特性）。證明 已知因此xyo習(xí)題圖 5-175-17 已知空間y 0區(qū)域?yàn)榇判悦劫|(zhì)，其相對(duì)磁導(dǎo)

11、率區(qū)域?yàn)榭諝?。試求：?dāng)空氣中的磁感應(yīng)強(qiáng)度時(shí)，磁性媒質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；當(dāng)磁性媒質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度時(shí)，空氣中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B0。解 根據(jù)題意，建立的直角坐標(biāo)如圖5-17所示。 設(shè)磁性媒質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為已知在此邊界上磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量連續(xù)，磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù)。因此，求得，即 設(shè)空氣中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為則由邊界條件獲知，求得，即5-18 已知均勻繞制的長(zhǎng)螺線管的匝數(shù)為N，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，半徑為a，電流為I，如習(xí)題圖5-18(a)所示。試求： 螺線管內(nèi)部中點(diǎn)o處的磁感應(yīng)強(qiáng)度；orRxzyPIdl習(xí)題圖5-18(b)f 螺線管外部P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，圖中。PoNL2ad習(xí)題圖5-18(a)解 螺線管可看作是線密

12、度為的圓柱面電流，如圖習(xí)題圖5-18(b)所示。由題5-9的結(jié)果得知，電流為的電流環(huán)在中點(diǎn)o處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為那么，螺線管在中點(diǎn)o處產(chǎn)生的總磁感應(yīng)強(qiáng)度為 為了計(jì)算螺線管外的場(chǎng)強(qiáng)，可將螺線管看作為由N個(gè)同軸電流環(huán)組成。已知在xoy平面內(nèi)，單個(gè)電流環(huán)I在點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位為 式中，?？紤]到，那么因此 當(dāng)電流環(huán)位于xoy平面時(shí)，r = d，那么，在處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為考慮到，對(duì)于P點(diǎn)而言，可以認(rèn)為每個(gè)電流環(huán)均處于xoy平面內(nèi)。因此，P點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度增加N倍，即5-19 根據(jù)式（5-2-9b），證明。證明 式（5-2-9b）為則利用高斯定理，同時(shí)考慮到，求得但由電流連續(xù)性原理獲知，。因此，。5-20 證

13、明在邊界上矢量磁位A的切向分量是連續(xù)的。解 已知磁通與矢量磁位A的關(guān)系為 類(lèi)似證明磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的方法，緊靠邊界作一個(gè)閉合矩形方框。當(dāng)方框面積趨近零時(shí)，穿過(guò)方框的磁通也為零，那么求得這樣，由此獲知，即邊界上矢量磁位的切向分量是連續(xù)的。5-21 當(dāng)磁導(dǎo)率為的磁棒插入電流為I的螺線管中，若單位長(zhǎng)螺線管的匝數(shù)為N，磁棒的半徑為a，螺線管的內(nèi)徑為。試求：及區(qū)域中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B，磁場(chǎng)強(qiáng)度H及磁化強(qiáng)度；磁棒中的磁化電流密度及磁棒表面的表面磁化電流密度。BACDmz習(xí)題圖 5-22解 根據(jù)題意，螺線管中磁棒位置如圖5-22所示。取圓柱坐標(biāo)系，且令螺線管的軸線與z軸一致。作一個(gè)矩形閉合回路，其中AB

14、和CD邊垂直于螺線管壁，AD邊緊靠在螺線管外壁，BC邊平行于螺線管內(nèi)壁，其長(zhǎng)度為。沿該矩形閉合回路積分，由安培環(huán)路定律知可以認(rèn)為，螺線管中的磁場(chǎng)強(qiáng)度方向均與螺線管的軸線平行，螺線管外附近無(wú)漏磁。那么當(dāng)矩形回路的BC邊位于磁棒內(nèi)時(shí)，若令磁棒內(nèi)的磁場(chǎng)強(qiáng)度為H1，則上述閉合積分變?yōu)橐虼?，磁棒?nèi)的磁場(chǎng)強(qiáng)度為磁棒內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為磁棒內(nèi)的磁化強(qiáng)度為若令磁棒與螺線管壁之間的磁場(chǎng)強(qiáng)度為H2，則上述閉合積分變?yōu)?磁棒與螺線管壁之間的磁感應(yīng)強(qiáng)度為磁棒與螺線管壁之間磁化強(qiáng)度為 磁棒中的磁化電流密度為磁棒側(cè)面的表面磁化電流密度為5-22 已知半徑為a的鐵氧體球內(nèi)部的磁化強(qiáng)度，試求：球內(nèi)磁化電流密度及球面的表面磁化電流密度；磁化電流在球心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。解 球內(nèi)磁化電流密度為球面的表面磁化電流密度為由題5-9的結(jié)果獲知，位于處寬度為的環(huán)行電流在球心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度那么，整個(gè)球面上磁化電流在球心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為5-23 當(dāng)磁矩為25Am2的磁針位于磁感應(yīng)強(qiáng)度B = 2T的均勻磁場(chǎng)中，試求磁針承受的最大轉(zhuǎn)矩。解 當(dāng)磁矩方向與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直