2015年高中數(shù)學(xué)步步高大一輪復(fù)習(xí)講義(文科)第三章_32

1、3.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值1 函數(shù)的單調(diào)性如果在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)0，則在這個區(qū)間上，函數(shù)yf(x)是增加的；如果在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)0是f(x)為增函數(shù)的充要條件()(2)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值是唯一的()(3)函數(shù)的極大值不一定比極小值大()(4)對可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f(x0)0是x0點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件()(5)函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值()(6)函數(shù)f(x)xsin x有無數(shù)個極值點(diǎn)()2 函數(shù)f(x)x22ln x的單調(diào)減區(qū)間是()A(0,1) B(1，)C(，1) D(1,1)答案A解析f(

2、x)2x(x0)當(dāng)x(0,1)時，f(x)0，f(x)為增函數(shù)3 (2013浙江)已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，則()A當(dāng)k1時，f(x)在x1處取到極小值B當(dāng)k1時，f(x)在x1處取到極大值C當(dāng)k2時，f(x)在x1處取到極小值D當(dāng)k2時，f(x)在x1處取到極大值答案C解析當(dāng)k1時，f(x)exx1，f(1)0.x1不是f(x)的極值點(diǎn)當(dāng)k2時，f(x)(x1)(xexex2)顯然f(1)0，且x在1的左邊附近f(x)0，f(x)在x1處取到極小值故選C.4 函數(shù)f(x)的定義域為R，f(1)2，對任意xR，f(x)2，則f(x)2x4的解集為(

3、)A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)答案B解析設(shè)m(x)f(x)(2x4)，m(x)f(x)20，m(x)在R上是增函數(shù)m(1)f(1)(24)0，m(x)0的解集為x|x1，即f(x)2x4的解集為(1，)5 函數(shù)f(x)x3ax2在(1，)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案3，)解析f(x)3x2a，f(x)在區(qū)間(1，)上是增函數(shù)，則f(x)3x2a0在(1，)上恒成立，即a3x2在(1，)上恒成立a3.題型一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性例1已知函數(shù)f(x)exax1.(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)是否存在a，使f(x)在(2,3)上為減函數(shù)，若存在，求出a的取值范圍，若

4、不存在，請說明理由思維啟迪函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)中的參數(shù)有關(guān)，要注意對參數(shù)的討論解f(x)exa，(1)若a0，則f(x)exa0，即f(x)在R上單調(diào)遞增，若a0，exa0，exa，xln a.因此當(dāng)a0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為R，當(dāng)a0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是ln a，)(2)f(x)exa0在(2,3)上恒成立aex在x(2,3)上恒成立又2x3，e2exe3，只需ae3.當(dāng)ae3時，f(x)exe3在x(2,3)上，f(x)1，則f(x)的單調(diào)減區(qū)間為_答案(2,2a)解析f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)，由a1知，當(dāng)x0，故f(x)在區(qū)間(，2)上是增函數(shù)；當(dāng)2x2a時

5、，f(x)2a時，f(x)0，故f(x)在區(qū)間(2a，)上是增函數(shù)綜上，當(dāng)a1時，f(x)在區(qū)間(，2)和(2a，)上是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2a)上是減函數(shù)(2)已知a0，函數(shù)f(x)x3ax在1，)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍是_答案(0,3解析f(x)3x2a，f(x)在1，)上是單調(diào)遞增函數(shù)，f(x)0，a3x2，a3.又a0，可知00，函數(shù)f(x)x2(a1)xa(1ln x)(1)求曲線yf(x)在(2，f(2)處與直線yx1垂直的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的極值思維啟迪(1)通過f(2)的值確定a；(2)解f(x)0，然后要討論兩個零點(diǎn)的大小確定函數(shù)的極值解(1)由已知，得

6、x0，f(x)x(a1)，yf(x)在(2，f(2)處切線的斜率為1，所以f(2)1，即2(a1)1，所以a0，此時f(2)220，故所求的切線方程為yx2.(2)f(x)x(a1).當(dāng)0a0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；若x(a,1)，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時xa是f(x)的極大值點(diǎn)，x1是f(x)的極小值點(diǎn)，函數(shù)f(x)的極大值是f(a)a2aln a，極小值是f(1).當(dāng)a1時，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在定義域(0，)內(nèi)單調(diào)遞增，此時f(x)沒有極值點(diǎn)，故無極值當(dāng)a1時，若x(0,1)，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；若x(1，a)，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時x1是

7、f(x)的極大值點(diǎn)，xa是f(x)的極小值點(diǎn)，函數(shù)f(x)的極大值是f(1)，極小值是f(a)a2aln a.綜上，當(dāng)0a1時，f(x)的極大值是，極小值是a2aln a.思維升華(1)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)并不一定就是函數(shù)的極值點(diǎn)所以在求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后一定要注意分析這個零點(diǎn)是不是函數(shù)的極值點(diǎn)(2)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，那么yf(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值設(shè)f(x)，其中a為正實(shí)數(shù)(1)當(dāng)a時，求f(x)的極值點(diǎn)；(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍解對f(x)求導(dǎo)得f(x)ex.(1)當(dāng)a時，若f(x)0，則4x28x30，解得x1

8、，x2.結(jié)合，可知xf(x)00f(x)極大值極小值所以x1是極小值點(diǎn)，x2是極大值點(diǎn)(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)在R上不變號，結(jié)合與條件a0，知ax22ax10在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并結(jié)合a0，知0a1.所以a的取值范圍為a|00)，g(x)x3bx.(1)若曲線yf(x)與曲線yg(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線，求a，b的值；(2)當(dāng)a3，b9時，若函數(shù)f(x)g(x)在區(qū)間k,2上的最大值為28，求k的取值范圍思維啟迪(1)題目條件的轉(zhuǎn)化：f(1)g(1)且f(1)g(1)；(2)可以列表觀察h(x)在(，2上的變化情況，然后確定k的取

9、值范圍解(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因為曲線yf(x)與曲線yg(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線，所以f(1)g(1)且f(1)g(1)，即a11b且2a3b，解得a3，b3.(2)記h(x)f(x)g(x)，當(dāng)a3，b9時，h(x)x33x29x1，所以h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21.h(x)，h(x)在(，2上的變化情況如下表所示：x(，3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x)2843由表可知當(dāng)k3時，函數(shù)h(x)在區(qū)間k,2上的最大值為28；當(dāng)3k0，由f(x)0得x，所以f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(，)上單調(diào)遞增所以，

10、x是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)不存在(2)g(x)xln xa(x1)，則g(x)ln x1a，由g(x)0，得xea1，所以，在區(qū)間(0，ea1)上，g(x)為遞減函數(shù)，在區(qū)間(ea1，)上，g(x)為遞增函數(shù)當(dāng)ea11，即a1時，在區(qū)間1，e上，g(x)為遞增函數(shù)，所以g(x)的最小值為g(1)0.當(dāng)1ea1e，即1a2時，g(x)的最小值為g(ea1)aea1.當(dāng)ea1e，即a2時，在區(qū)間1，e上，g(x)為遞減函數(shù)，所以g(x)的最小值為g(e)aeae.綜上，當(dāng)a1時，g(x)的最小值為0；當(dāng)1a2時，g(x)的最小值為aea1；當(dāng)a2時，g(x)的最小值為aeae.利用導(dǎo)數(shù)求

11、函數(shù)的最值問題典例：(12分)已知函數(shù)f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間0,1上的最小值思維啟迪(1)解方程f(x)0列表求單調(diào)區(qū)間；(2)根據(jù)(1)中表格，討論k1和區(qū)間0,1的關(guān)系求最值規(guī)范解答解(1)由題意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.2分f(x)與f(x)的情況如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，k1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k1，)6分(2)當(dāng)k10，即k1時，f(x)在0,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(0)k；8分當(dāng)0k11，即1k2時，f(x)在0，k

12、1)上單調(diào)遞減，在(k1,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(k1)ek1；當(dāng)k11，即k2時，f(x)在0,1上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(1)(1k)e.10分綜上，當(dāng)k1時，f(x)在0,1上的最小值為f(0)k；當(dāng)1k0.故選C.3 設(shè)aR，若函數(shù)yexax，xR有大于零的極值點(diǎn)，則()Aa1Ca Da0時，ex1，aex1.4 設(shè)函數(shù)f(x)x29ln x在區(qū)間a1，a1上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A1a2 Ba4Ca2 D00)，當(dāng)x0時，有00且a13，解得1a2.5 函數(shù)f(x)x33x22在區(qū)間1,1上的最大值是()A2 B0

13、C2 D4答案C解析f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2.f(x)在1,0)上是增函數(shù)，f(x)在(0,1上是減函數(shù)f(x)maxf(x)極大值f(0)2.二、填空題6 函數(shù)f(x)x的單調(diào)減區(qū)間為_答案(3,0)，(0,3)解析f(x)1，令f(x)0，解得3x0或0x2或a0，a2或aa，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(，)解析f(x)3x2x2，令f(x)0，得3x2x20，解得x1或x，又f(1)，f()，f(1)，f(2)7，故f(x)min，a.三、解答題9 已知函數(shù)f(x)ln x求函數(shù)f(x)的極值和單調(diào)區(qū)間解因為f(x)，令f(x)0，得x1，又f(x)的定義域為(0，

14、)，f(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)極小值所以x1時，f(x)的極小值為1.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)10已知函數(shù)f(x)x2bsin x2(bR)，F(xiàn)(x)f(x)2，且對于任意實(shí)數(shù)x，恒有F(x)F(x)0.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)已知函數(shù)g(x)f(x)2(x1)aln x在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)F(x)f(x)2x2bsin x22x2bsin x，依題意，對任意實(shí)數(shù)x，恒有F(x)F(x)0.即x2bsin x(x)2bsin(x)0，即2bsin x0，所以b0

15、，所以f(x)x22.(2)g(x)x222(x1)aln x，g(x)x22xaln x，g(x)2x2.函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,1)內(nèi)，g(x)2x20恒成立，a(2x22x)在(0,1)上恒成立(2x22x)在(0,1)上單調(diào)遞減，a4為所求B組專項能力提升(時間：30分鐘)1 已知f(x)是可導(dǎo)的函數(shù)，且f(x)f(x)對于xR恒成立，則()Af(1)e2 014f(0)Bf(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0)Cf(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0)Df(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0)答案D解析令g(x)

16、，則g(x)()0，所以函數(shù)g(x)是單調(diào)減函數(shù)，所以g(1)g(0)，g(2 014)g(0)，即，故f(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0)2 如圖是函數(shù)f(x)x3bx2cxd的大致圖像，則xx等于()A. B. C. D.答案C解析由圖像可得f(x)x(x1)(x2)x3x22x，又x1、x2是f(x)3x22x20的兩根，x1x2，x1x2，故xx(x1x2)22x1x2()22.3 已知函數(shù)f(x)x24x3ln x在t，t1上不單調(diào)，則t的取值范圍是_答案(0,1)(2,3)解析由題意知f(x)x4，由f(x)0得函數(shù)f(x)的兩個極值點(diǎn)為1,3，則只要這兩個極值

17、點(diǎn)有一個在區(qū)間(t，t1)內(nèi)，函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1上就不單調(diào)，由t1t1或t3t1，得0t1或2t0時，因為二次函數(shù)yax2(a1)xa的圖像開口向上，而f(0)a0，所以需f(1)(a1)e0，即0a1；當(dāng)a1時，對于任意x0,1，有f(x)(x21)ex0，且只在x1時f(x)0，f(x)符合條件；當(dāng)a0時，對于任意x0,1，f(x)xex0，且只在x0時，f(x)0，f(x)符合條件；當(dāng)a0，f(x)不符合條件故a的取值范圍為0a1.(2)因g(x)(2ax1a)ex，g(x)(2ax1a)ex，當(dāng)a0時，g(x)ex0，g(x)在x0處取得最小值g(0)1，在x1處取得最大值g(1)e.當(dāng)a1時